Perspektívna kolineácia

1. Perspektívna kolineácia

2. Pojem priestoru • Pojmy súvisiace s trojrozmerným Euklidovým priestorom budeme používať tak ako je obvyklé na stredných školách. Budeme ho označovať E3. • Ak priestor E3 rozšírime o nevlastné prvky ( nevlastné body a priamky) budeme hovoriť o rozšírenom Euklidovom priestore a budeme ho označovať P3 .

3. Rozšírenie Euklidovho priestoru o nevlastné prvky Množinu všetkých rovnobežných priamok nazývame smer, alebo nevlastný bod U a b Rovnobežné priamky a, b majú spoločný nevlastný bod U. U

4. Rozšírenie Euklidovho priestoru o nevlastné prvky Množinu všetkých rovnobežných rovín nazývame poloha, alebo nevlastná priamka Priestor E3 rozšírený o nevlastné body a priamky nazývame rozšírený Euklidovský priestor P3.

5. Perspektívna kolineácia medzi dvoma rovinami • Nech sú dané dve rôznobežné roviny  , ´ • a bod S, ktorý neleží v žiadnej z nich • Zobrazenie, ktoré každému bodu A   priradí bod A´ ´ tak že S  AA´ sa nazýva perspektívna kolineácia medzi rovinami  a ´ S  o A ´ A´ Poznámky :1/ Toto zobrazenie jebijektívne (  ´ , A A´) 2/ Ak by platilo  // ´ toto zobrazenie by bola rovnoľahlosť

6. a b b´ a´ 1 = 1´ Bod sa zobrazuje do bodu A  A´ B B´ C C´ Priamka sa zobrazuje do priamky. Odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi kolineácie v samodružnom bode ( vlastnom alebo nevlastnom.) S  o A ´ A´ Perspektívna kolineácia medzi dvoma rovinami je bijektívne zobrazenie

7. Vlastnosti perspektívnej kolineácie: • Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu útvarov • Perspektívna kolineácia nezachováva rovnobežnosť priamok • Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer bodov na priamke

8. Perspektívna kolineácia nezachováva rovnobežnosť priamok U  S  U  a c   B o A  B´ b b´ c´ A´ 2 = 2´ a´ 1 = 1´ U´ ´ U U´

9. Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer bodov na priamke (ABC) (A´B´C´) S a C o B  A ´ 1 = 1´ a´ A´ B´ C´

10. afinita Porovnajte ! o a a´ A  kolinaácia A´ o  B B´ a 1=1´ A a´ A´ S B B´ 1=1´

11. Obraz štvorca v kolineácii o S A B 1=1´ O D C B´ C´ O´ 3=3´ A´ 2=2´ D´

12. u´ je úbežnica

13. Úloha 10: PK je daná osou o , stredom S a dvojicou zodpovedajúcich si bodov A , A´. Zobrazte útvar F zakreslený v štvorcovej sieti. Riešenie : Uvedomte si, že štvorcová sieť má dve sústavy rovnobežných priamok, ktoré sa zobrazujú do dvoch sústav rôznobežných priamok so spoločnými úbežníkmi U´ a V´, ktoré ležia na úbežnici u´. Všimnite si, že úbežnica v  nepretína útvar F. Preto sa žiadny jeho bod nezobrazí do nevlastného a útvar F sa „nerozpadne“. Poznámka : Ďalšie riešené príklady nájdete v skriptách: Kyselová – Mészárosová – Bašová – Minárová –Pelikánová: Deskriptívna geometria.

14. Porovnajte zobrazenie útvaru „F“ v afinite a kolineácii. Kolineácia Afinita Poznámka : Ďalšie riešené príklady nájdete v skriptách: Kyselová – Mészárosová – Bašová – Minárová –Pelikánová: Deskriptívna geometria.