微積分精華版 Essential Calculus

微積分精華版Essential Calculus 第 7 章無窮級數

7.1 數列 • 7.2 級數和收斂 • 7.3 積分檢定和互比檢定 • 7.4 其他收斂檢定 • 7.5 泰勒多項式和近似值 • 7.6 冪級數 • 7.7以冪級數表示函數 • 7.8 泰勒和馬克勞林級數

7.1數列 數列 • 數列一詞的意義是指將一組數依序排列，另一種說法是把數列（sequence）定為一個以正整數為定義域的函數，雖然將數列看成函數，習慣上一向是以足碼記號表示此一函數，而非以標準的函數記號來表示。例如將下面這個數列看成函數時，1 對到 a1，2 對到 a2 … 等，a1, a2, a3, ..., an , ... 稱為此一數列的各項（terms），an是第 n 項，數列的全體以 {an} 表示。 p.318

例 1 依序排出數列 p.318

c. 假設遞迴（recursively defined）數列 {cn} 的第一項 c1是25，並且 cn+1 = cn – 5，則此數列的前四項依序是 25, 25 – 5 = 20, 20 – 5 = 15, 15 – 5 = 10, . . . p.318

定義數列的極限 {an} 是一個數列，L 是一個實數。如果任予一個ε> 0，都能找到M > 0，使得n > M 可以推得 |an–L|<ε，我們就稱數列 {an} 的極限（limit）是L，記成以L 為極限的數列，也可稱為收斂到L 的數列，或是簡稱為收斂（converge）數列；如果數列的極限不存在就稱為發散（diverge）數列。 p.319

圖 7.1 只要 n > M，數列的每一項都在 L上，下ε單位之內。 p.319

定理 7.1 數列的極限 • 已知函數 f 在 x →∞ 時有極限 L，亦即如果 f (n) = an，n 是正整數，則數列 {an}亦以 L 為極限 p.319

例 2 求數列的極限 已知數列的一般項為，求此數列的極限。解由定理 1.9 我們有再利用定理 7.1 得出 p.319

定理 7.2 數列極限的性質 p.320

例 3 決定數列的斂散性 a. 我們可以將數列的分子分母同除以 n 得到因此數列收斂到。 b. 由於數列 {bn}= {3 + (–1)n}依序為 2, 4, 2, 4,. . . 其中，2 和 4 輪流出現，因此極限不存在，也就是說此數列發散。 p.320

例 4 利用羅必達規則決定數列的收斂 求證數列收斂。解考慮函數應用兩次羅必達規則，得到由於 f (n) = an，利用定理 7.1 得出所以數列收斂到 0。 p.320

定理 7.3 求數列極限的夾擠定理 p.321

例 5 應用夾擠定理 求證數列收斂，並求其極限。解先找可以夾住 {cn} 的兩個收斂數列，取 an= –1/2n，bn = 1/2n這兩個數列都趨近於 0，將 n ! 與 2n比較，可以看出而且 p.321

這表示，只要 n ≥ 4，就有 2n< n!，因此 如圖 7.2 所示。所以由夾擠定理，得到 p.321

圖 7.2 n≥ 4 時，(–1)n/n! 夾在 –1/2n和 1/2n之間。 p.321

定理 7.4 絕對值定理 如果，則。證明考慮 {|an|} 和 {–|an|}，因為它們都收斂到 0，並且 –|an| ≤ an ≤ |an| 再利用夾擠定理可知 {an} 也收斂到 0。 p.321

例 6 求數列的第 n項 已知數列 {an} 的前五項是請自行選擇 an的一般項，並決定 {an} 的斂散性。解注意到分子是 2 的連續次方，而分母是正奇數，發現到規律是利用羅必達規則求 f (x) = 2x/(2x – 1) 的極限，得到因此，{an} 發散。 p.322

單調數列的定義 如果一個數列 {an} 的各項是遞增的 a1≤a2≤a3≤．．．≤an≤．．．或是遞減 a1≥a2≥a3≥．．．≥an≥．．．我們就稱 {an} 是單調（monotonic）數列。 p.323

例 7 決定數列是否單調 決定下列各數列是否單調。解 a. 數列以 2、4 交替出現，因此不是單調數列。 b. 由於，後項大於前項，所以是單調數列。 c. 非單調，因為 c1 = 1，c3 = 9/7 而 c2 = 4/3，c2 > c1，c2 > c3（但是如果第一項不計的話，c2, c3, c4, ... 是單調數列），如圖 7.3 所示。 p.323

圖 7.3 p.323

有界數列的定義 1. 如果有一個實數 M，使得數列 {an}中的每一項都滿足 an≤M，就稱數列 {an} 有上界（bounded above），而稱 M 是 {an} 的一個上界（upper bound）。 2. 如果有一個實數 N，使得數列 {an} 中的每一項都滿足 an≥N，就稱數列 {an} 有下界（bounded below），而稱 N 是 {an} 的一個下界（lower bound）。 3. 如果數列 {an}同時有上界和下界，就稱 {an} 是有界（bounded）數列。 p.323

完全性（complete）是實數的一個重要的性質。對完全性一個非正式的描述是說實數線沒有任何的間隙。實數的完全性可以保證如果一個數列有上界的話，就一定會有一個最小上界（least upper bound）。 定理 7.5 單調有界數列 • 如果 {an} 是一個單調有界的數列，則 {an} 一定收斂。 p.323

圖 7.4 每一個遞增並且有界的數列都會收斂。 p.324

例 8 單調有界數列 a. 數列 {an}= {1/n} 滿足有界並且單調，因此，由定理 7.5 此數列收斂。 b. 發散數列 {bn}= {n2/ (n +1)} 滿足單調但非有界（此數列有下界，但無上界）。 c. 發散數列 {cn}= {(–1)n} 滿足有界但非單調。 p.324

7.2級數和收斂 無窮級數 • 如果 {an} 是一個無窮數列，則就是一個無窮級數〔infinite series，簡稱級數（series）〕， a1, a2, a3, …稱為級數的項（terms）。 p.325

級數收斂或發散的定義 以 Sn= a1 + a2 +．．．+ an表無窮級數Σan的部分和（nth partial sum）。如果數列 {Sn} 收斂到 S，則級數Σan收斂，並且以 S 為級數和（sum of the series）表成 S = a1 + a2 +．．．+ an+．．．或Σan= S。如果 {Sn} 發散，則Σan發散。 p.326

例 1 級數的收斂和發散 a. 級數的部分和如下。 p.326

圖 7.5 p.326

由於所以此級數收斂，其和為 1。 b. 級數的第 n 個部分和為由於 Sn的極限是 1，所以此級數收斂，其和為 1。 c. 級數的部分和 Sn= n，部分和發散，所以原級數也發散。 p.327

圖 7.6 p.327

例1(b) 中的級數是一個所謂的望遠鏡級數（telescoping series），有如一個用無窮多個由大到小的套筒套成的望遠鏡，以下列形式呈現 p.327

例 2 改寫為望遠鏡級數 求級數的和。解以部分分式的方法，將級數的一般項改寫為這是一個望遠鏡級數，第 n 個部分和是所以級數收斂，其和為1，亦即 p.327

幾何級數 • 例 1(a) 中的級數稱為幾何級數（geometric series），幾何級數一般的形式是 定理 7.6 幾何級數的收斂和發散 • 如果幾何級數的公比為 r，當 | r |≥ 1 時，級數發散；而當 0 < | r | < 1 時，級數收斂，其和為 p.328

例 3 幾何級數的收斂和發散 a. 幾何級數公比 r = ½ ，首項 a = 3。因為 0 <| r | <1，級數收斂，其和為 b. 幾何級數公比 r = 3/2，因為 | r | ≥ 1，級數發散。 p.328

例 4 循環小數化為分數 請將 0.08 化為分數。解首項 a = 8/102，公比 r = 1/102，所以你可以用電算器計算 8 除以 99，看看結果是否為 0.08。 p.329

定理 7.7 無窮級數的性質 • 如果Σan= A，Σbn= B，而 c 是一個實數，則下列級數會收斂到等號右邊的和。 p.329

定理 7.8 收斂級數一般項的極限 定理 7.9 利用一般項檢驗發散 p.329

例 5 利用一般項檢驗發散 雖然一般項的極限是 0，卻不能結論此級數是否收斂。 p.330

例 6 小皮球彈跳問題 一皮球從 6 呎的高度落下，每次反彈的高度都是上一次的 3/4，求皮球經歷的總垂直距離。證明如圖 7.7 所示，總距離是 p.330

圖 7.7 每次反彈高度是前次的四分之三。 p.330

7.3積分檢定和互比檢定 定理 7.10 積分檢定 • 如果 f 在 [1,∞) 上是一個非負的、連續並且遞減的函數，令 an= f (n)，則同時收斂，或同時發散。 p.332

圖 7.8 p.332

例 1 應用積分檢定 應用積分檢定討論級數的斂散性。解函數 f (x) = 1/(x2 + 1) 恆正並且連續。求 f 的導函數當 x > 1時，f '(x) 恆負，所以 f 遞減，因此滿足積分檢定的條件。從 1 到 ∞ 積分得到因此原級數收斂。 p.332

圖 7.9 因為瑕積分收斂，所以原級數也收斂。 p.333

p-級數與調和級數 稱為 p-級數（p-series），其中 p 是一個正數，判斷 p-級數的斂散性非常簡單，當 p = 1 時，級數稱為調和級數（harmonic series）。一個廣義調和級數（general harmonic series）形如Σ1/(an + b)。 p.333

定理 7.11 p-級數的收斂和發散 • p-級數 1. 當 p > 1 時，p-級數收斂，而 2. 當 0 < p ≤ 1 時，p-級數發散。 p.333

例 2 p-級數的收斂和發散 a. 由定理 7.11，調和級數發散。 b. 由定理 7.11，p = 2 時下列級數收斂。 p.334

例 3 檢定級數的斂散性 決定級數是否收斂。解此級數與發散的調和級數類似，如果一般項比調和級數的一般項大的話，此級數就一定發散，但是，它的一般項事實上比較小，應用積分檢定令首先，在 x ≥ 2 的範圍，f (x) 恆正並且連續。其次將 f (x) 改寫為 (x ln x)–1並求其導函數得到 p.334

可以看出當 x ≥ 2 時，f '(x) < 0，所以 f 遞減，結論是 f (x) 在 [2, ∞) 上滿足積分檢定的條件。再將 f (x) 從 2 積分到，得到所以原級數發散。 p.334

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