Maxwellova-Bolt zmannova, Bose-Einsteinova a Fermi-Diracova štatistika

1. Maxwellova-Boltzmannova, Bose-Einsteinova a Fermi-Diracova štatistika Budeme sa zaoberať systémami pozostávajúcimi z častíc, medzi ktorý- mi je zanedbateľná vzájomná interakcia, z čisto kvantovo-mechanické- ho hľadiska. Identické častice a požiadavky symetrie Uvažujme plyn pozostávajúci z N rovnakých častíc, ktoré nemajú nija- kú ďalšiu štruktúru a ktoré sú uzavreté v nádobe s objemom V. ... všetky súradnice i-tej častice (napr. jej tri kartézske súradnice, alebo spinové súradnice) ... index, ktorý predstavuje možné kvantové stavy tejto častice

2. stav celého plynu je potom popísaný súborom kvantových čísel vlnová funkcia celého plynu je (1)

3. Rozlíšiteľné a nerozlíšiteľné častice

4. Na základe toho, čo sa stane s vlnovou funkciou celého plynu (1), keď zameníme dve jeho častice, t.j. keď priradíme i-tej častici súradnice j-tej častice a  j-tej častici súradnice i-tej častice , rozlišujeme tri prípady – Maxwellovu-Boltzmannovu (MB) štatistiku, Bose-Einstein- ovu (BE) štatistiku a Fermi-Diracovu štatistiku (FD). MB štatistika... rozlíšiteľné častice v tom istom jednočastico- vom stave s môže byť ľubovoľný počet častíc. Neexistujú nijaké požia- davky symetrie na vlnovú funkciu takéhoto plynu pri zámene dvoch častíc“klasický” popis. Pri kvantovo-mechanickom popise systému rovnakých častíc však z  teórie vyplývajú konkrétne požiadavky na symetriu vlnovej funkcie celého systému častíc (1) pri zámene dvoch ľubovoľných častíc ply- nu. V tomto prípade ak zameníme dve ľubovoľné častice, nedostane- me nový stav celého plynu. Keď teda počítame, v koľkých možných stavoch môže plyn byť, musíme s jeho časticami narábať ako s neroz- líšiteľnými.

5. BE štatistika ... častice s celočíselným spinom, vlnová funkcia je sy- metrická, t.j. ostane nezmenená, pri zámene dvoch častíc (1a) Pri zámene ľubovoľných dvoch častíc v BE plyne nedostaneme nový stav tohto plynu. Jeho častice musia byť teda nerozlíšiteľné. Zároveň však nie je kladené nijaké obmedzenie na to, koľko častíc môže byť v  tomto prípade v tom istom jednočasticovom stave.

6. FD štatistika ... častice s poločíselným spinom, vlnová funkcia je anti- symetrická, t.j. zmení znamienko pri zámene ľubovoľ- ných dvoch častíc (1b) Zámena súradníc častíc nevedie k novému stavu celého plynu pri počítaní jeho možných stavov musíme narábať s jeho čas- ticami ako s nerozlíšiteľnými. Zmena znamienka vlnovej funkcie pri zámene ľubovoľných dvoch častíc Ak predpokladáme, že vymeníme dve ľubovoľné častice i a j, ktoré sú v rovnakom jednočasticovom stave s, potom musí platiť rovnica (1a). Zároveň však platí rovnica (1b). Toto je ale možné len vte- dy, keď . Neexistuje nijaký stav FD plynu, v ktorom by ľubo- voľné dve alebo viac častíc boli naraz v tom istom jednočasticovom stave. Toto tvrdenie voláme Pauliho vylučovací princíp.

7. MB BE FD 1 2 3 1 2 3 1 2 3 AB AA A A AB AA A A AB AA A A A  B A A B A  A A A  B A A B A A  B B A “Plyn” pozostávajúci z dvoch častíc A a B, z ktorých každá môže byť v  troch možných kvantových stavoch . Vymenujme všetky možné stavy, ktoré môže tento plyn nadobúdať vo všetkých troch štatistikách, t.j. všetky možné spôsoby, ktorými možno obsadiť tri jednočasticové stavy dvoma časticami v týchto troch prípadoch:

8. Formulácia pomocou vlnových funkcií: ... jednočasticová vlnová funkcia popisujúca jednu časticu v  stave s a so súradnicami Q MB štatistika 9 vlnových funkcií BE štatistika 6 vlnových funkcií FD štatistika 3 vlnové funkcie Indexy i a  j označujú stav jednej častice, t.j. formu jednočasticovej vlno- vej funkcie. Táto forma sa pri zámene dvoch častíc nemení, vy- menia sa len argumenty Q.

9. Príklad jednočasticových vlnových funkcií , , ... súradnice častíc pozdĺž osi x , , ... spinové súradnice častíc Častica A, ktorej súradnice sú , , je v stave 2 a častica B, ktorej súradnice sú , , je v stave 3 Vlnová funkcia v MB štatistike je úmerná Po zámene častíc

10. Vlnová funkcia napr. v BE štatistike Po zámene súradníc dostaneme to isté.

11. Formulácia štatistického problému Plyn rovnakých častíc zaberajúcich objem Vv rovnovážnom stave pri teplote T. r alebo s ... kvantové stavy jednej častice (jednočasticové stavy) ... energia častice odpovedajúca kvantovému stavu r ... počet častíc v stave r R... reprezentuje kvantové stavy celého plynu ... energia celého plynu v kvantovom stave R, ktorému odpovedá častíc v stave , častíc v stave , atď. Zanedbateľne malá interakcia medzi časticami plynu môže- me napísať ako súčet energií jednotlivých častíc r prebieha cez všetly možné kvantové stavy, ktoré môže nadobúdať jedna častica plynu.

12. Celkový počet častíc plynu (2) Partičná funkcia plynu (3) Index sumy prebieha cez všetky možné kvantové stavy R celého plynu, t.j. cez všetky možné hodnoty čísel . ... je úmerné pravdepodobnosti, že sa plyn bude nachádzať v stave, ktoré- mu odpovedá častíc v stave , častíc v stave , atď. Stredná hodnota počtu častíc plynu nachádzajúcich sa v určitom stave s (4)

13. Pomocou partičnej funkcie (3) rovnica (4) bude (5) Disperzia počtu častíc plynu nachádzajúcich sa v stave s:

14. Špecifikácia kvantového stavu MB štatistika ... špecifikujeme všetky možné kombinácie počtov čas- tíc v každom stave, t.j. 0, 1, 2, 3, ... pre každé r, pričom platí podmienka (2)

15. Keďže častice sú rozlíšiteľné, musíme zobrať do úvahy počet spôsobov, ktorými môže byť realizovaná každá takáto kombinácia. Je to preto, le- bo v tomto prípade zámena dvoch častíc, ktoré sú v rôznych stavoch, vedie k inému stavu R celého plynu, aj keď súbor čísel ostane nezmenený. Pri sčitovaní cez kvantové stavy R v prípade MB štatistiky musíme teda špecifikovať nielen to, koľko častíc je v ktorom stave, ale aj to, ktorá častica je v ktorom stave. BE štatistika ... častice považujeme za nerozlíšiteľné, a teda zámena dvoch častíc nachádzajúcich sa v rôznych stavoch nezmení stav celého systému. Pri sčitovaní cez stavy celého systému R sčitujeme teda len cez všetky možné kombinácie čísel , pričom ale aj tu platí podmienka (2). Špeciálny prípad je BE štatistika pre neobmedzené Nfotónová štatistika.

16. FD štatistika ... tiež narábame s nerozlíšiteľnými časticami, takže kvan- tový stav celého systému častíc je úplne určený, ak zadáme súbor čísel . To znamená, že pri sčitovaní cez všetky kvantové stavy takéhoto systému musíme sčitovať cez všetky možné kombinácie , ale teraz každé číslo môže nadobudnúť len hod- notu 0 alebo 1. Ak je celkový počet častíc fixovaný, platí aj v tomto prí- pade podmienka (2). Kvantové rozdeľovacie funkcie Rozdiel medzi BE a FD štatistikou pri : Všetky častice BE plynu budú v stave s ich najnižšou energiou , a teda energia celého plynu bude . Vo FD plyne v každom jednočasticovom stave môže byť najviac jed- na častica stav s najnižšou energiou, dostaneme tak, že budeme postupne obsadzovať jednotlivé energetické hladiny celého systému začínajúc najnižšou energetickou hladinou bez toho, aby sme neja- ké energetické hladiny preskočili.

17. V stave s najnižšou energiou budú teda vo FD plyne častice aj s ener- giami oveľa väčšími, ako je energia základného stavu jednej častice . Celková energia FD plynu v jeho základnom stave bude teda oveľa väčšia ako energia BE plynu v tomto stave. Výpočet strednej hodnoty počtu častíc v určitom stave s: (6) Horný index pri znamienku súm znamená, že pri sčítavaní nebe- rieme do úvahy stav s.

18. Maxwellova-Boltzmannova štatistika Partičná funkcia: Sčítavame cez všetky možné kombinácie čísel také, že platí (2) a také, že výmena častíc medzi dvoma jednočasticovými stav- mi vedie k novému stavu celého systému, ale výmena častíc v rámci jedného jednočasticového stavu neprodukuje nový stav celého systému. ... udáva počet spôsobov, ktorými môžeme umiestniť N rozlíši- teľných častíc tak, aby ich bolo v stave jedna , v stave dva , atď., pričom výmena častíc v rámci jedného stavu nevedie k novému stavu celého systému

19. iný zápis súčtu polynómu partičná funkcia jednej častice Stredná hodnota počtu častíc v stave s: Maxwellovo-Boltzmannovo rozdelenie

20. Disperzia MB rozdelenia:

21. Fermi-Diracova štatistika Pri sčitovaní cez všetky možné stavy plynu vo FD štatistike sčitujeme cez všetky možné kombinácie čísel , z ktorých každé môže nadobudnúť len hodnotu 0 alebo 1, pričom záleží na poradí, pre- tože každé číslo predstavuje iný jednočasticový stav. Zároveň platí podmienka (2). Ak teda v rovnici (6) súčet sa vzťa- huje k obsadeniu stavu s ( môže byť 0 alebo 1), potom ak tento stav je obsadený ľubovoľnou časticou FD plynu, tak platnosť (ľ) znamená, že suma , ktorá prebieha cez všetky stavy okrem s, bude zahŕňať zvyšných častíc, z ktorých žiadna už nemôže byť v stave s. Označme túto sumu n udáva počet častíc, ktoré obsadzujú všetky možné stavy okrem s. ... sčitujeme cez všetky stavy okrem s

22. V (6) explicitne vyjadríme sumu cez a 1 (7) môžeme rozvinúť do Taylorovho ra- du okolo N podľa mocnín , pričom vzhľadom na malosť sa obmedzíme len na jeho prvé dva členy: (8)

23. Aproximácia: (9) ... kompletná partičná funkcia plynu (8) (7)+(9) ... stredný počet častíc FD plynu nachádza- júcich sa v stave s (10) Fermi-Diracovo rozdelenie (10)

24. Partičná funkcia FD plynu (3) Pre FD plyn (3) je súčtom konečného počtu členov musíme použiť aproximatívnu metódu na vyjadrenie FD partičnej funkcie. ... veľmi rýchlo rastúca funkcia ... veľmi rýchlo klesajúca funkcia ... je prakticky nulová všade okrem oblasti ostrého peaku okolo určitej hodnoty Súčet pre všetky bude mať nekonečný po- čet členov, ale významne bude doňho prispievať len niekoľko členov z oblasti peaku.

25. (10) ... šírka maxima ... grandkánonická partičná funkcia logaritmovaním (10) (11) (3) ... Sčitujeme bez obmedzenia cez všetky možné kombi- nácie čísel pričom každé

26. (12) bol zvolený tak, aby funkciamala maximum pre určitú hodnotu derivovaním (11) je funkciou N Rovnica, ktorá určuje (13)

27. Dosadením (12) do (13) prejde (13) na tvar (14) Stredná hodnota počtu častíc v  ľubovoľnom jednočasticovom stave s vo FD plyne je Je 0 na základe (13) ... ekvivalentné rovnici (10)

28. Disperzia FD rozdelenia Zanedbali sme člen , ktorý je veľmi malý, keďže určuje- me z rovnice (13), a teda, pokiaľ teplota nie je taká malá, že len nie- koľko členov sumy predstavujúcej partičné funkcie Z a Z významne prispieva k týmto súčtom, malá zmena jednej energie prakticky nezmení súčty Z a Z , t.j. aj .

29. Bose-Einsteinova štatistika Pri hľadaní výrazu pre stredný počet častíc BE plynu nachádzajúcich sa v stave svyjdeme zo vzorca (6), kde na rozdiel od FD štatistikyprís- lušné sumy budú prebiehať cez všetky možné kombinácie čísel takých, ktoré spĺňajú podmienku (2). S využitím (8) a (9)

30. Suma v argumente logaritmu však predstavuje nekonečný geometrický rad s kvocientom (15) Bose-Einsteinovo rozdelenie

31. Partičná funkcia BE štatistiky Grandkánonická partičná funkciaZ : nekonečné geometrické rady (11) (16)

32. (16) (13) (16) Vzťah, ktorý určuje . Je 0 na základe (13). Ten istý vzorec ako (15)

33. Disperzia BE rozdelenia Korekčný člen : Derivovaním (16)

34. Keď nezanedbáme druhý člen v hranatých zátvorkách, dostaneme len o trochu menšiu disperziu v porovnaní s prípadom, kedy tento člen za- nedbáme. Dôležitosť tohto člena sa však ukáže pri teplotách blízkych absolútnej nule, kedy prakticky všetky častice plynu sa budú nachá- dzať len v stave s najnižšou energiou , t.j. nenulové bude len a pre všetky ostatné stavy bude . V tomto prípade dru- hý člen v hranatých zátvorkách v poslednej rovnici bude mať hodnotu veľmi blízku jednej, a teda správne predpovedá, že fluktuácie počtu častíc v základnom stave sa blížia k nule.

35. Fotónová štatistika Ako sme už uviedli, fotónová štatistika je špeciálnym prípadom Bose- Einsteinovej štatistiky pre nešpecifikovaný celkový počet častíc v ply- ne. Každé v súbore čísel , ktorý udáva počty čas- tíc v jednotlivých stavoch r, teda môže nadobúdať hodnoty od nula až po nekonečno. V takomto prípade sú druhé sumy v čitateli a menova- teli (6), ktoré v sebe nezahŕňajú vybraný stav s, identické, takže sa vykrátia

36. (17) Planckovo rozdelenie Partičná funkcia fotónovej štatistiky Partičná funkcia je daná obecným vzorcom (3), kde suma prebieha cez všetky stavy R príslušného plynu, ktoré sú dané súbormi čísel . Pre fotóny každé z týchto čísel môže nadobúdať hodno- ty od nula po nekonečno

37. nekonečné geometrické rady ... to isté ako vzorec (17)

38. Disperzia fotónového plynu