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Diagnostic Pépite et Conceptions. Plan. Profils cognitifs en algèbre Relecture possible en terme de conception Objets de l’algèbre Étude de cas Analyse a priori d’une tâche Tentative d’interprétation des procédures en terme de conception Reformulation en termes de conceptions (essais)
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Plan • Profils cognitifs en algèbre • Relecture possible en terme de conception • Objets de l’algèbre • Étude de cas • Analyse a priori d’une tâche • Tentative d’interprétation des procédures en terme de conception • Reformulation en termes de conceptions (essais) • Vers une esquisse de conceptions en algèbre
Le domaine de l’algèbre élémentaire Dimension objet • Objets • Expressions, formules, équations, fonctions • Statuts des lettres : variable, indéterminée, inconnue • Systèmes de représentation • représentation symbolique algébrique • articulation avec d’autres systèmes de représentation Dimension outil, selon les champs de problèmes • Outil de résolution • via leur mise en équation • problèmes (arithmétiques ou non) modélisés sous forme d’équations • viamodélisation de problèmes intra ou extra mathématiques • modélisés sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables • de généralisation et de preuve (cadres numérique et géométrique) • de calcul (cadres algébrique et fonctionnel) Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire 3
Diagnostic • Déterminer les compétences et les connaissances des élèves en algèbre : • étude des procédures utilisées pour résoudre des problèmes du domaine algébrique • Diagnostic • 20 taches diagnostiques et une grille d'analyse multidimensionnelle (dimensions et critères) • Niveau microscopique : codage des réponses • Niveau macroscopique : Profils cognitifs en algèbre • Caractéristiques personnelles : %, leviers et fragilités • Echelle de compétence • Stéréotype : 3 dimensions (usage de l'outil algébrique, traduction, calcul algébrique) os
UA : Usage de l’outil algébrique • UA4 : Outil algébrique non disponible et conception arithmétique : • du connu vers l’inconnu • « = » annonce de résultat • lettre étiquette • preuve par l’exemple • UA3 : Pseudo-algébrique : • usage de « lettre-objet » • « pseudo » règles de formation, de traduction • « = » non équivalence (abréviation) • UA2 : Algébrique dans un domaine d’application privilégiant un des statuts de la lettre • erreurs de traduction si reformulation nécessaire • UA1 : Algébrique • disponibilité de l’outil algébrique et mobilisation adaptée. • adaptabilité du statut des lettres en lien avec les classes de problèmes
Échelles sur la composante Usage de l’algèbre (UA) • Plusieurs conceptions peuvent cohabitées. • UA 4 : démarche arithmétique privilégiée sur les différents types de problèmes (modélisation, preuve) • UA 3 : pseudo algébrique dans un domaine majoritaire • UA 2 : algébrique sur un domaine d’application majoritaire limité à un ou 2 types de problèmes (statut des lettres) et peu complexes (affines, congruents) • UA 1 : algébrique sur un vaste domaine d’application, problèmes de tous types, congruents ou non
Composante : calcul algébrique (CA) • CA3 : Cohabitation de plusieurs conceptions dans un ensemble de pbs (preuve, …) dont pseudo-structurale mettant en jeu des règles de formation et de transformation incorrectes du type concaténation (= « abréviation », lettres-objets non liés à nombre) • CA2 : Traitement essentiellement syntaxique avec des erreurs récurrentes de transformation privilégiant une conception procédurale des expressions (lettre évaluée, cohabitation = « annonce résultat », équivalence, équivalence expressions non mobilisée, ….) • CA1: Traitement algébrique prenant en compte les aspects syntaxique et sémantique des expressions s’appuyant sur une adaptabilité dans l’interprétation des expressions selon les usages visés (conception structurale).
Composante : traduction algébrique • blabla
Odile, Jules, Bertille • Odile : • UA3, TA3, CA2 • Jules • UA3, TA2, CA3 • Bertille • UA2, TA1, CA2
Relecture possible • Réinterpréter les règles d’action • Théorèmes en actes, propriétés en actes • Relativement à des concepts en jeu dans la résolution • Difficultés • Analyse multidimensionnelle : articuler les conceptions relatives à plusieurs concepts • Un vs plusieurs concepts • Cohabitation de plusieurs conceptions
11 Preuve et programme de calcul
Égalité • Conceptions sous-jacentes aux règles d’action mobilisant l'égalité ? • Caractéristiques : • Relation d'équivalence • Conservation de l'égalité par opérations • Conceptions • Abréviation • (P) Production d’expressions numériques, (R) Règles de traduction, (L) Symbolique, (Σ) Perceptif • Annonce de résultat : priorité à l'évaluation du calcul • Relation d'équivalence
Expressions • Conceptions sous-jacentes aux règles d’action pour interpréter une expression ? • Caractéristiques • Écriture symbolique liée à la structure d'expression • Dénotation d'une expression • Adaptabilité dans l'interprétation d'une expression • Registre des écritures algébriques • En articulation avec d'autres registres • Type de problèmes • Développement, factorisation • Variables didactiques • Nature et complexité de l'expression
Équivalence des Expressions • Conceptions sous-jacentes aux règles d’action pour transformer une expression ? • Caractéristiques • Conservation de la dénotation par application d’identités • adaptabilité entre aspects procédural / structural, syntaxique /sémantique • Distinction processus/résultat d’un calcul • Type de problèmes • Développement, factorisation • Variables didactiques • Nature et complexité de l'expression
4 conceptions principales • Conception : assemblage • Contrôle : • Obtenir un résultat sans signe opératoire • Ex : an + bn = abn • Conception linéarisation • Contrôle : • via des expressions 1e degré • Ex : x² → 2x ; • Conception : procéduro-syntaxique • Contrôle : • Application d’une règle (souvent fausse) sans contrôle de la dénotation • Ex : a2 + b2 = (a + b)2, a2 = 2a • Conception : identité
Perspectives • Plusieurs concepts • C’est quand il y a un décalage qu’on va pouvoir jouer
