Juho Kokkala

1. IEJ-puut, yhteisjakaumat, A-kyllästetyt liitospuut, maksimitodennäköisyys-konfiguraatiot ja leviämisaksioomat s. 202-208 Juho Kokkala

2. Sisältö • 1. Alkuevidenssileikkauspuut (IEJ-puut) • 2. Yhteisjakaumat • 3. A-kyllästetyt liitospuut • 4. Maksimitodennäköisyyskonfiguraatiot • 5. Leviämisaksioomat

3. Konfiguraation todennäköisyys • Evidenssi e • P(e) saadaan marginalisoimalla kaikki muuttujat separaattorin S viestien tulosta P(S,e)

4. Konfiguraation todennäköisyys • Konfiguraatio c (A=a, B=b, C=c) • P(e) • Syötetään evidenssi c ja uusitaan leviäminen, saadaan P(c,e) • Perussääntö • Entä jos halutaan P(e’) useille e’e?

5. Alkuevidenssiliitospuut • Neljä postilaatikkoa: 2 sisään, 2 ulos • Kaksi leviämistä, viestit alkuperäisestä ja uudesta leviämisestä • Verkon eri osiin liittyvät evidenssit eV, eW S ФV ФeV V W ФW ФeW

6. Alkuevidenssiliitospuut • P(S) =ФVФW • P(S, eV  eW)=ФeVФeW • P(S,eV)=ФeVФW • P(S,eW)=ФVФeW

7. Yhteisjakaumat • P(A,B)? • Liitospuun solmun osajoukolle helposti • Jokaisen konfiguraation syöttäminen evidenssinä raskasta • Leviäminen s.e. jätetään halutut muuttujat eliminoimatta

8. A-kyllästetyt liitospuut • P(A|X) useille muuttujille X • Suoritetaan täysi leviäminen eliminoimatta A:ta -> A-kyllästetty liitospuu • Muuttujajoukko W: W-kyllästetty liitospuu

9. Todennäköisyydet kyllästetystä leikkauspuusta • Olkoon T W-kyllästetty leikkauspuu ja e evidenssi. • Valitaan solmu V tai separaattori S, joka sisältää X:n • P(V W,e) on V:n potentiaalijoukon ja saapuvien viestien tulo. • P(W,X,e)=

10. Todennäköisyydet kyllästetystä liitospuusta 2 4. 5. • Kullekin X P(X|W,e) yhdellä paikallisella operaatiolla • W-kyllästetyt alkuevidenssileikkauspuut

11. Maksimitodennäköisyyden konfiguraatio • Hevossiittolaesimerkki: kenen jälkeläinen todennäköisimmin ei-kantaja? • Yksinkertainen verkko A->B->C

12. Maksimitodennäköisyyden konfiguraatio • Maksimoinnin distributiivisuus: • Muuttujien pois maksimointi -> max-marginaali • max:lla samantyyppiset ominaisuudet kuin ∑:lla -> max-leviäminen vastaavasti kuin (summa-)leviäminen

13. Maksimitodennäköisyyden konfiguraatio, lause 6.1 • Olkoon jakaumaa P(U) esittävä Bayes-verkko BN, sen liitospuu T ja evidenssi e, {e1,…,em} • Suoritetaan täysi max-leviäminen • Jokaiselle separaattorille S separaattorin viestien tulo on maxU\SP(U,e) • Jokaiselle solmulle V V:n potentiaalien ja saapuvien viestien tulo on maxU\VP(U,e)

14. Leviämisaksioomat • Arvotusten joukko Ψ ja universumi U • Jokaiseen arvotukseen v liittyy • Arvotuksien yhdistelyoperaattori × ja projektio-operaattori v↓V

15. Leviämisaksioomat • (i) • (ii) • (iii) • (iv) • (v) • (vi) • (Yleensä oletetaan , yhdistelyn neutraalialkio)

16. Leviämisaksioomat • Kun aksioomat (i)-(vi) toteutuvat, mielivaltaiselle X voidaan laskea leviämisalgoritmillä • Bayes-verkoissa yhdistely vastaa tuloa ja projektio marginalisointia • Max-leviämisessä projektio vastaa max-marginalisointia • Muita sovelluksia?

17. Yhteenveto • Alkuevidenssiliitospuut • Yhteisjakaumat • A-kyllästetyt liitospuut • Maksimitodennäköisyyden konfiguraatio max-leviämisellä • Leviämisaksioomat

18. Kotitehtävä 23 (1/2) • Bayes-verkko BN: C A B D

19. Kotitehtävä 23 (2/2) • (a) Muodosta BN:n C-kyllästetty liitospuu • (b) Selvitä D:n tila todennäköisimmässä konfiguraatiossa max-leviämisellä