1 / 15

2.3.1. Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku

2.3.1. Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio: Siis a n+1 – a n = d (vakio) Jonon yleinen termi: a n = a + (n - 1)d missä

solomon-rogers
Download Presentation

2.3.1. Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 2.3.1. Aritmeettinen jono • jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku • a, a + d, a+2d, a +3d,… • Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio: • Siis an+1 – an = d (vakio) • Jonon yleinen termi: an = a + (n - 1)d • missä • a = jonon ensimmäinen termi • d = erotusluku • Aritmeettisen jonon ratkaiseminen • Lasketaan kaavan an = a + (n - 1)d yhtälöstä kysytyn suureen • (an, a, n tai d) arvo • TAI ratkaistaan a ja d eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, • sillä aritmeettinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja d.

  2. E.1. Mikä on aritmeettisen jonon 2, 5, 8, … sadas termi a = 2 d = 5 - 2 =3 a100 = 2 + (100 - 1)3 = 299 E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen (x – 2) – x = (2x – 1) – (x – 2) -2 = x + 1 x = -3

  3. E.3. Luku 10 on aritmeettisen jonon …, 8, 10, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? a8 = 10 a + (8-1)  2 = 10 a = -4 E.4.Monesko termi on aritmeettisessa jonossa 1, 4, 7, … luku 1000? a = 1 d = 4 – 1 = 3 1 + (n – 1)3 = 1000 1 + 3n – 3 = 1000 3n = 1002 n = 334 an = a + (n - 1)d

  4. E.5. Aritmeettisen jonon kolmas termi on 12 ja yhdeksäs 30. Määritä jonon 10. termi. a3 = a + (3 – 1)  d a9 = a + (9 – 1)  d 6d = 18 d = 3 a = 6 a10 = 6 + (10-1)  3 = 33 an = a + (n - 1)d

  5. 2.3.3. Aritmeettinen summa = summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = missä (ak) on päättyvä aritmeettinen jono

  6. ks. esimerkit 1 & 2 s. 94 - 95 EI KIRJOITETA Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9) 2 + 4 + 7 + 11 + 16 ak+1 – ak = (4(k+1) – 3 ) – (4k – 3) = 4k + 4 – 3 – 4k + 3 = 4 on, k:stä riippumaton

  7. Aritmeettisen summan kaava Sn = missä a1 = ensimmäinen termi an = viimeinen termi n = termien lukumäärä

  8. E.6. Laske S10, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d = 3 – 1 = 2 a10 = 1 + 9  2 = 19

  9. E.7. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7:llä jaollisten kokonaislukujen summa. a1 = 7 d = 7 an = 98 98 = 7 + (n – 1)  7 7n = 98 n = 14

  10. E.8. Mistä n:n arvosta alkaen n:n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000? a1 = 1 d = 1 an = 1 + (n-1) 1 = n n + n2 > 2000 n2 + n – 2000 > 0 n2 + n – 2000 = 0 RTK-kaavalla n  44,2 (n  -45,2) V: n:n arvosta 45 alkaen

  11. E.9. Määritä aritmeettisen jonon a1 ja d, kun a4 = 9 ja S9 = 99. a1 = 9 – 3d 18d + 162 = 198 18d = 36 d = 2 a1 sijoittamalla a1 = 9 – 6 = 3 a1 = 3, d = 2 Kirjan esimerkki 2 ja 4 sivut 97, 98

  12. E.2. s.97 1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 30 senttiä jne. Kuinka paljon syyskuun lopussa? Talletukset: aritmeettinen jono, a1, a2, a3, …, a30 a1 = 10 d = 10 a30 = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt) V: 46,50 €

  13. E.4. s.98 60 000 € lainaa / 15 vuotta Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15  2 = 30 Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€) Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7,5 / 2 = 3,75 % Korot 1. 0,0375  60 000 2. 0,0375  58 000 3. 0,0375  56 000 … 30. 0,0375  2 000 Korot yhteensä 0,0375  60 000 + 0,0375  58 000 + … + 0,0375  2 000 = 0,0375(60 000 + 58 000 + … + 2000)

  14. Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Johdanto S7 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S7 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S7 = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1 2S7 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 2S7 = 7  20

  15. Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an Sn = an + an-1 + … + a2 + a1 2Sn = (a1 +an) + (a2 + an-1) +….+ (an-1+a2) + (an +a1) a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an

More Related