Alberi di copertura minimi

1. Alberi di copertura minimi

2. Alberi di copertura minimi Dato un grafo pesato G = (V,E), si richiede di trovare un albero T = (V,E’), E’E, tale che la somma dei pesi associati agli archi di T sia minima. L’albero T è detto albero di copertura minimo (minimum spanning tree, MST) di G.

3. MST: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h h f 1 2

4. MST: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h h f 1 2

5. MST - Algoritmo di Kruskal MST-Kruskal(G,w) A =  foreach vertice v  V[G] do Make-Set(v) ordina gli archi di E[G]per pesi non decrescenti foreach (u,v)  E[G] in ordine di peso non decr.do ifFind-Set(u)  Find-Set(v) thenA = A  {(u,v)} Union(u,v) return A Make-Set(v): crea un insieme con unico membro v Find-Set(v): restituisce il rappresentante dell’insieme contenente v Union(u,v): unisce i due insiemi che contengono u e v

6. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

7. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

8. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

9. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

10. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

11. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

12. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

13. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

14. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

15. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

16. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

17. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

18. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

19. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

20. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

21. Kruskal: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

22. Kruskal: correttezza Teorema Siano G(V,E) il grafo dato in input G’(V,E’) sottografo di qualche MST di G, contenente tutti i vertici e alcuni archi di G G1(V1,E1)  G2(V2,E2) - partizione di G’ in due componenti non connesse e  E arco di peso minimo che connette G1 e G2 Allora anche G’(V,E’ {e}) è un sottografo di qualche MST

23. Kruskal: correttezza e’ G1 G2 e Sia T’ un albero di copertura contenente e’, con w(e’)w(e). Se si sostituisce e’ con e si ottiene un altro albero di copertura T con w(T’)  w(T). Quindi T è un albero di copertura di costo inferiore a T’.

24. Kruskal: complessità Inizializzazione: O(V) Ordinamento archi: O(E lg E) Operazioni nella foresta di insiemi disgiunti: O(E) Tempo complessivmante richiesto: O(E (E,V)) = O(E lg* E) T(V,E) = O(V) + O(E log E) + O(E log E) = O(E log E)

25. MST: algoritmo di Prim Nell’algoritmo di Prim gli archi dell’insieme in costruzione formano sempre un unico albero MST-Prim(G,w,r) Q = V[G] foreach u  Q dokey[u] =  key[r] = 0 [r] =nil while Q   do u =Extract-Min(Q) foreach v  Adj(u) do ifv  Q and w(u,v) < key[v] then[v] = u key[v] = w(u,v)

26. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

27. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

28. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

29. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

30. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

31. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

32. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

33. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

34. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

35. Prim: esempio 8 7 b c d 9 4 2 4 11 14 e a i 7 6 10 8 h g f 1 2

36. Prim: complessità T(V,E) = O(V) + O(V log V) + O(E) = O(E + V log V)