F II– 13 Magnetic ké pole způsobené proudy

1. FII–13 Magneticképole způsobené proudy

2. Hlavní body • Síly působící na pohybující se náboje • Biot-Savartův zákon • Ampérův zákon • Výpočet některých magnetických polí

3. Síla působící na elektrický náboj v pohybu I • Protože proudy jsou pohybující se elektrické náboje, platí pro proudy vše, co platí pro náboje v pohybu. • Síla , kterou působí magnetické pole o indukci na náboj q, pohybující se rychlostí je popsána Lorentzovým vztahem:

4. Síla působící na elektrický náboj v pohybu II • Obecněji se Lorentzovou silou nazývá síla, která zahrnuje společné působení elektrických a magnetických sil: • Tento vztah může být považován za definici elektrických a magnetických sil a může být počátečním bodem pro jejich studium.

5. Síla působící na elektrický náboj v pohybu III • Lorentzova síla je centrem celého elektro- magnetismu. Vrátíme se k ní probráním několika příkladů a zjistíme, že pomocí ní lze jednoduše vysvětlit téměř všechny elektromagnetickéjevy. • Nyní si ukážeme, jak je magnetické pole generováno kvantitativně.

6. Biot-Savartův zákon I • Existuje mnoho analogií mezi elektrostatickým a magnetickým polem a nabízí se otázka, zda existuje vztah analogický Coulombovu zákonu, který by popisoval, jak na sebe působí dva krátké rovné kousky vodičů, protékaných proudem. Takový vztah existuje ale právě jeho složitost je důvodem pro rozdělení problémů magnetismu na generaci polí a jejich působení.

7. Biot-Savartův zákon II • Vše, co je potřebné pro nalezení sil, kterými na sebe působí dva makroskopické vodiče libovolné velikosti a tvaru je aplikovat princip superpozice a integrovat. • V obecném případě se takovým způsobem musí postupovat, ale v případě speciální symetrie existuje analogická pomůcka, jako je Gaussova věta elektrostatiky.

8. Magnetické pole přímého vodičeprotékaného proudem I • Mějmenekonečnývodiči, který ztotožníme s osou x. Proud Ipoteče ve směru +x.Nalezneme magnetickou indukci v bodě P [0, a]. • Základem je použití principu superpozice. Vodič rozdělíme na malé kousíčky stejné délky dx asečteme příspěvek každého z nich.

9. Magnetické pole přímého vodiče II • Příspěvek jednoho kousíčku zjistíme použitím Biot-Savartova zíkona: • Protože oba vektory, které se vektorově násobí, leží v rovině x, y. , bude nenulová jen z-tová složka , což vede ke značnému zjednodušení. Vidíme, odkud se bere pravidlo pravé ruky!

10. Magnetické pole přímého vodiče III • Kousek vodiče délky dxo souřadnici xtedy přispívá: • Zderje vzdálenost dxod P aje úhel mezi spojnicí dxsP a osou x. Musíme vyjádřit všechny proměnné jako funkci jedné z nich, například .

11. Magnetické pole přímého vodiče IV • Prordostáváme: a prox a dx (-je zde proto, abychom dostali pro malé  záporná x!):

12. Magnetické pole přímého vodičeV • Takže konečně dostáváme: Závěry, vyplývající ze symetrie vysvětlíme později!

13. Ampèrův zákon • Podobně jako v případě elektrostatického pole existuje v magnetismu zákon, který může výrazně usnadnit výpočty v případech speciální symetrie a může být také použit pro vysvětlení fyzikálních myšlenek v mnoha důležitých situacích. • Je to Ampérův zákon, který dává do souvislosti křivkový integrál přes uzavřenou křivku s proudy, které tato křivka obemyká.

14. Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem VI • Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k , čili siločáru, na níž je navíc Bvšude konstantní. Potom lze Bvytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty – uzavřené křivky.

15. Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem VII • Mějme přímý dlouhý vodič protékaný proudem I. • Předpokládáme, že B(r)je osově symetrická a vodič je přirozeně osou symetrie. • Siločáry jsou kružnice a tedy naše integračnícesta bude kružnice s poloměrem r, která prochází bodem, kde chceme zjistit velikost magnetického pole. Potom:

16. Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem VIII • Vektory magnetické indukce jsou tečné ke kružnicím, jejichž centrem je vodič, které jsou tudíž siločáramy, a klesá s první mocninou vzdálenosti. • To je situace podobná jako u elektrostatického pole dlouhého nabitého vodiče. Ovšem siločáry elektrického pole jsou radiální, zatímco siločáry pole magnetického jsou kružnice, tedy jsou navzájem v každém bodě kolmé.

17. Magnetické pole ve středu čtvercového závitu protékaného proudem I • Použitím Ampérova zákona jsme dostali stejný výsledek podstatně jednodušeji. Jednalo se ale o speciální případ. • Zkusme spočítat magnetickou indukci ve středu čtvercového závitu a x a oprotékaného proudem I. Je zjevně superpozicí, součtem příspěvků všech 4 stran. Každý musí být nalezen podobně jako u pole nekonečného vodiče, ale s vhodnými integračními mezemi.

18. Magnetické pole ve středu čtvercového závitu II • Příspěvek jedné strany je: atd.

19. Síla mezi dvěma přímými vodiči I • Mějme dva dlouhé rovné paralelní vodiče vzdálené d, protékané proudyI1 a I2, které mají stejný směr. • Nejprve nalezneme směry sil a potom, díky symetrii, můžeme jednoduše pracovat s velikostmi. Je vhodné vyjádřit sílu na jednotku délky:

20. Síla mezi dvěma přímými vodiči II • Tento vztah je použit také jako definice 1 ampéru: 1 ampér je konstatníproud, protékaný dvěma přímými, rovnoběžnými, nekonečně dlouhýmy vodiči o zanedbatelném průřezu, vzdálenými 1 metr, který by způsobil sílu rovnou 2 10-7 Nnametr jejich délky.

21. Giancoli • Kapitola 28 – 1, 2, 3, 4,6

22. Magnetické působení dvou proudů I Mějme dva proudy I1 aI2protékající dva krátkérovné kousky vodičů a . Potom síla působící na druhý kousek v důsledku existence prvního kousku je: Tato velmi obecný vztah plně popisuje silové působení, ale prakticky je velmi obtížně použitelný.

23. Magnetické působení dvou proudů II Proto se dělí na vztah popisující působení pole na proud: A na vztah pro výpočet pole, který se nazývá Biot-Savartův zákon:

24. Magnetické působení dvou proudů III Uvědomíme-li si, že: je jednotnový vektor určující směr od prvního proudu k druhému , vidíme, že magnetické síly klesají také se druhoumocninou vzdálenosti.

25. Magnetické působení dvou proudů IV Škálovací konstanta 0 = 4 10-7Tm/Ase nazývá permeabilita vakua. V některých pramenech se nepoužívá, protože 0 , 0 a c nejsou nezávislé přírodní konstanty. Mezi permitivitou a permeabilitou vakua a rychlostísvětla platí vztah: ^

26. Ampérův zákon Mějme obecně několik vodičů, protékaných proudy I1, I2 …(třeba i nulovými) potom: • Všechny porudy se sčítají, ale musí se vzít v úvahu i jejich směr (smysl)! ^