统计推断 (statistical inference)

1. 第四章 统计推断(statistical inference)

2. 第四章 统计推断 由一个样 本或一糸 列样本所 得的结果 来推断总 体的特征 假设检验 统 计 推 断 参数估计

3. 任务 分析误差产生的原因 确定差异的性质 排除误差干扰 对总体特征做出正确判断

4. 第四章 假设检验的原理与方法 第一节 样本平均数的假设检验 第二节 样本频率的假设检验 第三节 参数的区间估计与点估计 第四节 方差的同质性检验 第五节

5. 第一节 假设检验的原理与方法

6. 第一节 假设检验 一 概念 ： 假设检验（hypothesis test）又称显著性检验（significance test）,就是根据总体的理论分布和小概率原理，对未知或不完全知道的总体提出两种彼此对立的假设，然后由样本的实际原理，经过一定的计算，作出在一定概率意义上应该接受的那种假设的推断。

7. 小概率原理 概率很小的事件在一次抽样试验 中实际是几乎不可能发生的。 如果假设一些条件，并在假设的条件下能够准确地算出事件Ａ出现的概率α 为很小，则在假设条件下的n次独立重复试验中，事件A将按预定的概率发生，而在一次试验中则几乎不可能发生。  =0.05/0.01

8. 平均数的检验 参数检验 频率的检验 假 设 检 验 方差的检验 秩和检验 符号检验 非参数检验 游程检验 秩相关检验

9. 二 、假设检验的步骤 例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数0＝126(mg/L)， 2 ＝240(mg/L)2的正态分布。现用克矽平对6位矽肺病患者进行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x =136(mg/L)。 治疗前 0＝126 2 ＝240 N ( 126,240 ） 治疗后 n ＝6 x ＝136 未知 那么 ＝0 ? 即克矽平对治疗矽肺是否有效？

10. 1 、提出假设 H0 误差 效应 无效假设 /零假设 /检验假设 0＝  对 立 处理 效应 备择假设 /对应假设 0  HA

11. 平均数的假设检验 x-0＝136-126＝10(mg/L)这一差数 是由于治疗造成的，还是抽样误差所致。 例：克矽平治疗矽肺病是否能提高血红蛋白含量？ 检验治疗后的总体平均数是否还是治疗前的126(mg/L)？ H0:μ=μ0 =126(mg/L) HA:μ≠μ0 本例中零假设是指治疗后的血红蛋白平均数仍和治疗前一样，二者来自同一总体，接受零假设则表示克矽平没有疗效。 而相对立的备择假设表示拒绝H0，治疗后的血红蛋白平均数和治疗前的平均数来自不同总体，即克矽平有疗效。

12. 2 、 确定显著水平 能否定H0的人为规定的概率标准称为显著水平，记作。 统计学中，一般认为概率小于0.05或0.01的事件为小概率事件,所以在小概率原理基础上建立的假设检验也常取=0.05和=0.01两个显著水平。 ＝0.05 ＝0.05 显著水平* P<  ＝0.01 极显著水平**

13. x-  136-126 u= = = 1.581 x √40 3 、选定检验方法，计算检验统计量，确定概率值 根据研究设计的类型和统计推断的目的选择使用不同的检验方法。 例： P( u >1.581)=2×0.0571=0.1142

14. 4、作出推断结论：是否接受假设 小 概 率 原 理 接受H0 否定HA P> 可能正确 否定H0 接受HA P<  可能错误

15. 例：上例中 P＝0.1142>0.05 所以接受H0，从而得出结论：使用克矽平治疗前后血红蛋白含量未发现有显著差异，其差值10应归于误差所致。

16. 已知： P( u >1.96) =0.05 0.025 0.95 0.025 P( u >2.58) =0.01  u >1.96 P( u ) <0.05 差异达显著水平 u >2.58 P( u ) <0.01 差异达极显著水平

17. P(-1.96x <x< +1.96x) =0.95  + 1.96x 三 、双尾检验与单尾检验 0.025 0.95 0.025 左尾 右尾 0 -1.96x +1.96x 否定区 接受区 否定区 临界值： + ux u

18. P(-2.58x <x< +2.58x) =0.99 0.005 0.99 0.005 左尾 右尾 0 -2.58x +2.58x 否定区 接受区 否定区 双尾检验 (two-sided test) 临界值： + 2.58x

19. 单尾检验 (one-sided test) 假设： H0：  ≤0 HA： > 0 H0：  ≥0 HA： < 0 0.95 0.05 0.05 0.95 接受区 1.64 -1.64 接受区 否定区 右尾检验 左尾检验

20.   ２ ２ 否定区 接受区 否定区  接受区 否定区 双尾 检验 分位数 u 0.05=1.96 u 0.01=2.58 ＞ 单尾 检验 分位数 u 0.05=1.64 u 0.01=2.33 查表时，单尾概率等于双尾概率乘以2

21. 假设检验的两类错误 H0正确　　H0 错误 否定H0错误()　　 推断正确(1-) 接受H0推断正确(1-)错误() 四 、两类错误 第一类错误（type I error），又称弃真错误或 错误; 第二类错误（ type IIerror） ，又称纳伪错误或 错误

22. Ⅰ Ⅱ 0  0.95 0.025 =0 错误 Ⅰ和Ⅱ重合 0.025 犯第一类错误的概率等于显著水平值

23. Ⅰ和Ⅱ不重合  Ⅰ Ⅱ C1 C2   2 2 -u 0 u  犯第二类错误的概率记为值

24. 结论 １、 两类错误既有联系又有区别 错误只在否定H0时发生 错误只在接受H0时发生 错误增加  错误减小 错误增加  错误减小

25. 结论 2、 还依赖于 - 0 的距离 3、n ,2 可使两类错误的概率都减小.

26. 0.95 0.05 0.05 0.95 接受区 1.64 -1.64 接受区 否定区 单尾检验 否定区只在一侧 右尾检验 左尾检验

27. 假设检验的步骤: 分 析 题 意 提 出 假 设 确 定 显 著 水 平 计 算 检 验 统 计 量 作 出 推 断

28. 第二节 样本平均数的假设检验

29. 大样本平均数的假设检验 －－u检验 单样本 小样本平均数的假设检验 －－t检验 双样本

30. 样本平均数 的假设检验 一、一个样本平均数 的假设检验

31. 适用范围：检验某一样本平均数x所属的总体平均数是否和某一指定的总体平均数0相同。若相同，则说明该样本属于这个以0为平均数的指定总体；若不相同，则说明该样本所属的总体与这个指定总体（ 0）不同，即有显著或极显著差异。

32. 1、总体方差σ2已知，无论n是否大于30都可采用u检验法1、总体方差σ2已知，无论n是否大于30都可采用u检验法 例：某鱼场按常规方法所育鲢鱼一月龄的平均体长为7.25cm，标准差为1.58cm，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽取100尾进行测量，其平均体长为7.65cm， 问新育苗方法与常规方法有无显著差异？ 分析 （１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2已知 ， 采用u检验； （２）新育苗方法的鱼苗体长≥ 或≤常规方法鱼苗体长， 应进行双尾检验。

33. H0:μ=μ0=7.25(cm)， 即新育苗方法与常规方法所育鱼苗一月龄体长相同； HA:μ≠μ0 （１）假设 选取显著水平α＝0.05 （2）水平 （3）检验 u >1.96 （4）推断 否定H0，接受HA； 认为新育苗方法一月龄体长与常规方法有显著差异。

34. 样本(n>30) x 2、总体方差σ2未知，但n>30时，可用样本方差s2来代替 总体方差σ2，仍用u检验法 s2 总体 (μ0) σ2

35. 例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上，现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为30.2mm，标准差为2.5mm，例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上，现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为30.2mm，标准差为2.5mm， 问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产要求？ 分析 （１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知， n=400 > 30，可用s2代替σ2进行u检验； （２）棉花纤维只有>30mm才符合纺织品的生产要求，因 此进行单尾检验。

36. （１）假设 H0:μ≤ μ0=30(cm)， 　即该棉花品种纤维长度达不到纺织品生产的要求。 HA:μ>μ0 选取显著水平α＝0.05 （2）水平 （3）检验 u <1.645 （4）推断 接受H0，否定HA； 认为该棉花品种纤维长度不符合纺织品生产的要求。

37. 样本(n<30) x 3、总体方差σ2未知，且n<30时，可用样本方差s2来代替 总体方差σ2，采用df=n-1的t检验法 s2 总体 (μ0) σ2

38. 例：某鱼塘水中的含氧量，多年平均为4.5(mg/L)，该鱼塘设10个点采集水样，测定含氧量为：4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)例：某鱼塘水中的含氧量，多年平均为4.5(mg/L)，该鱼塘设10个点采集水样，测定含氧量为：4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L) 试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。 分析 （１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知， n=10 < 30，可用s2代替σ2进行 t 检验； （２）该次测定的水中含氧量可能>或<多年平均值，用双 尾检验。

39. H0:μ＝ μ0=4.5(mg/L)，即认为该次测定与多年平均值没有显著差别。 HA: μ≠ μ0 （１）假设 （2）水平 选取显著水平α＝0.05 （3）检验 t 0.05(9) =2.262 P>0.05 （4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA； 认为该次抽样所测结果与多年平均值无显著差别，属于随机误差。

40. 样本平均数 的假设检验 二、两个样本平均数 的假设检验

41. 适用范围：检验两个样本平均数x1和x2所属的总体平均数1和2是否来自同一总体。适用范围：检验两个样本平均数x1和x2所属的总体平均数1和2是否来自同一总体。

42. 样本1 X1 样本2 X2 两个样本平均数的假设检验步骤 总体1 μ1 1、提出假设 总体2 μ2 无效假设H0: μ1=μ2，两个平均数的差值 是随机误差所引起的； 备择假设HA: μ1=μ2，两个平均数的差值 除随机误差外 还包含其真实的差异，即由处理引起的；

43. 2、确定显著水平：0.05或0.01 3、检验统计量 两个样本平均数的差数 (1)样本平均数差数的平均数 = 总体平均数的差数.

44. (2)样本平均数差数的方差 = 两样本平均数方差之和. 样本平均数差数的标准误

45. σ12=σ22=σ n1=n2=n σ12=σ22=σ n1=n2=n

46. 当σ12 和σ22已知 H0：μ1=μ2=μ时

47. 当σ12 和σ22未知，两样本都为大样本时 H0： μ1=μ2=μ时

48. 当σ12 和σ22未知，两样本都为小样本时 H0： μ1=μ2=μ时

49. 接受H0否定HA 或 否定H0接受HA 或 4、作出推断，并解释之

50. 成组数据平均数的比较 试 验 设 计 成对数据平均数的比较