Árvores Balanceadas (AVL)

1. Árvores Balanceadas (AVL) Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva parrasilva@gmail.com

2. Roteiro • Contextualização • Árvores Balanceadas (AVL) • Operações de Balanceamento

3. Roteiro • Contextualização • Árvores Balanceadas (AVL) • Operações de Balanceamento

4. Contextualização • As ABP estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado. • A desvantagem é que o desempenho da ABP depende da ordem em que os elementos são inseridos. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3

5. Contextualização • Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore. • Como saber se a árvore está balanceada ? • Para cada nó p da árvore a altura da sua sae é aproximadamenteigual à altura da sua sad.

6. Roteiro • Contextualização • Árvores Balanceadas (AVL) • Operações de Balanceamento

7. 130 120 130 100 150 100 200 80 110 80 120 200 110 150 Árvores Balanceadas (AVL) • O nome AVL vem de seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962). • Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se: • Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade. • Operações de consulta, inserção e remoção de nós tem custo O(log2n).

8. Como reconhecer uma árvore desbalanceada? (1/2) • Como saber se a árvore está desbalanceada ? • Verificando se existe algum nodo “desregulado”. • Como saber se um nodo está desregulado ? • Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores. • Por questões de eficiência, estas diferenças são pré-calculadas e armazenadas nos nós correspondentes, sendo atualizadas durante as operações.

9. Como reconhecer uma árvore desbalanceada?(2/2) • Possíveis valores de diferença para cada nó em uma árvore balanceada: -1, 0, 1. • Fator de Balanceamento (FB) de cada nó da árvore • FB(p) = h(sad(p)) – h(sae(p))

10. 0 +6 Inserção: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Inserção: 4, 2, 3, 6, 5, 1 e 7 +5 0 0 +4 +3 0 0 0 0 +2 +1 0 -1 Inserção: 4, 1, 3, 6, 5, 2 e 7 0 +2 -1 0 0 0 Exemplos de cálculos de FB

11. 0 Op. de balanceamento 0 0 0 0 0 0 Operação: Inserção Inserção: 4, 6, 1, 7, 5, 3 e 2. -1 0 +2 -1 0 0 0

12. Inserção: 4, 6, 2 e 7. +2 +1 0 Op. de balanceamento Remover nó 2 +1 0 +1 0 0 0 0 Operação: Remoção

13. Roteiro • Contextualização • Árvores Balanceadas (AVL) • Operações de Balanceamento

14. Operações de Inserção e Remoção • A inserção ou remoção de um nó em uma árvore AVL pode ou não provocar seu desbalanceamento. • Se a árvore AVL ficar desbalanceada, a restauração do seu balanceamento é realizado através de ROTAÇÕES.

15. Tipos de Rotações • Rotação Simples: • Rotação a Esquerda • Rotação a Direita • Rotação Dupla: • Rotação a Esquerda • Rotação a Direita

16. -1 -2 0 0 0 Rotação a direita (nó 8) +1 0 0 -1 0 0 +1 0 0 0 0 0 Exemplos de Rotação Simples • Suponha que nós queiramos inserir o nó 3 na árvore inicial abaixo A inserção do nó 3 produziu um desbalanço no nó 8 verificado pelo FB = -2 neste nó. Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos (nó 8 com FB = -2 e nó 4 com FB = -1) significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES.

17. -2 -2 -1 (a) +1 0 -2 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 Exemplo de Rotação Dupla (1/2) • Suponha que queiramos inserir o nó 5 na árvore abaixo Observe que o nó 8 tem FB = -2 e tem um filho com FB = +1 (sinais opostos). Neste caso, o balanceamento é alcançado com duas rotações. Primeiro: (a) rotação simples sobre o nó 4 (com FB = +1) para a esquerda.

18. 0 (b) 0 +1 -2 0 0 0 -2 0 0 0 0 Exemplo de Rotação Dupla (2/2) Logo após da rotação a esquerda: (b) rotaciona-se o nó 8 (FB = -2) na direção oposta (direita neste caso).

19. 10 15 12 7 21 30 10 15 4 2 1 7 Pseudo-Código: Rotações Simples • Rotação Simples a Esquerda p aponta para o nó desbalanceado q = right(p); hold = left(q); left(q) = p; right(p) = hold; p = q; • Rotação Simples a Direita p aponta para o nó desbalanceado q = left(p); hold = right(q); right(q) = p; left(p) = hold; p = q;

20. Pseudo-Código: Busca e Inserção • Busca e Inserção • Procurar pseudo-código no livro do Tenembaum “Estrutura de Dados Usando C”. pags: 531, 532, 533 e 534.

21. Conclusões • Balanceamento de árvores busca minimizar o número médio de comparações necessárias para localizar qualquer dado. • Operações de inserção e remoção de nós tendem a tornar as árvores desbalanceadas. • Há um custo extra de processamento. • Compensado quando os dados armazenados precisam ser recuperados muitas vezes.

22. AVL Tree Applet • http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htm