Ricorsione

1. Ricorsione • Strumento potente per definizioni matematiche • Possibilità di definire insieme infinito di oggetti con regola finita • possibilità di descrivere un insieme infinito di computazioni con un programma finito

2. Ricorsione in matematica • Le formule matematiche sono spesso espresse in termini ricorsivi • Esempio: definizione di fattoriale 1!=1 N!=N * (N-1)!

3. Metodi ricorsivi • Contengono riferimenti espliciti a sé stessi • direttamente ricorsivi • Un metodo ne invoca un altro e l’esecuzione di quest’ultimo porta ad un certo punto ad invocare nuovamente (direttamente o indirettamente) il metodo originale • indirettamente ricorsivi

4. Ricorsione infinita • Requisito fondamentale: • chiamata ricorsiva subordinata ad una condizione che ad un certo istante deve divenire non soddisfatta • Qualsiasi definizione ricorsiva deve avere una parte non ricorsiva, detta base della ricorsione, che permette alla ricorsione stessa di terminare • Nell’esempio precedente del fattoriale la base è 1! che è posto uguale ad 1

5. Variabili in metodi ricorsivi • Ogni invocazione genera un nuovo insieme di variabili locali • Ogni parametro riceve un valore iniziale in base alla nuova invocazione • Ogni volta che il metodo termina si ritorna al metodo che lo ha chiamato ( che potrebbe essere lo stesso)

6. Numeri di Fibonacci • Schema più complicato di composizione ricorsiva che potrebbe (e dovrebbe) essere tradotto in forma iterativa • Definizione: • fib0 = 0 • fib1 = 1 • fibn+1 = fibn + fibn-1

7. Implementazione ricorsiva int computeFib(int n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1) return 1; return computeFib(n-1)+computeFib(n-2); }

8. 5 4 3 2 3 1 2 2 1 0 1 1 0 1 0 Numero di invocazioni • Numero totale di invocazioni cresce esponenzialmente

9. Implementazione iterativa int computeFib(int n) { int i = 1, x = 1, y = 0; while (i < n) { i = i+1; x = x+ y; y = x -y; } return x; }

10. Considerazioni • Ricorsione deve essere evitata se esiste una soluzione iterativa ovvia • Non vuol dire evitare la ricorsione a qualunque costo • esistono molte buone applicazioni della ricorsione • algoritmi per loro natura ricorsivi vanno implementati con metodi ricorsivi

11. Le torri di Hanoiinventato nel 1880 da Lucas • Tre aste (o torri) ed n dischi di dimensioni diverse (con buco per inserirli nelle aste) • All’inizio tutti i dischi sono nell’asta 1 • in ordine decrescente di grandezza • Obiettivo: portarli nella torre 3 rispettando le regole seguenti • nessun disco mai sopra uno più piccolo • si può spostare un solo disco alla volta • dischi sempre collocati su una torre (non a parte) • solo disco in cima ad una torre può essere spostato

12. Algoritmo ricorsivo • Obiettivo: spostare k dischi da torre 1 a torre 3 • Algoritmo: • Spostare k-1 dischi da torre originalea torre temporanea • Spostare 1 disco da torre originale a torre di destinazione • Spostare k-1 dischi da torre temporanea a torre di destinazione

13. Implementazione 1 void moveTowers(int k, int o,int d) { if (k > 0) { moveTowers(k-1, o, 6-o-d); System.out.println("Sposta da "+o+"a"+d); moveTowers(k-1,6-o-d,d); } }