割線 L

1. 一、圓錐曲線與直線關係 1. 切線與割線的意義： (1) 當直線 L與曲線 交於 P、Q 兩相異點時， 此時稱 L為 的一條割線。 (2) 固定 P點，當 Q 點在曲線 上移動逼近 P點時， 割線 L繞 P點旋轉，當 Q 點一旦與 P點重合， L就不再是割線，此時稱直線 L為曲線 的切線， P 為切點。 P P      切線    Q Q 割線 L 割線 L 本段結束

2. 2. 圓錐曲線與直線關係的判別： 已知圓錐曲線的方程式為 f(x,y)=0及一直線 L：ax+by+c=0， 解聯立方程組 可得 x 的一元二次方程式 px2+qx+r=0，令其判別式 D=q24pr， 則： (1) 當 D>0時，圓錐曲線與直線 L相交於相異兩點 ( L為割線)。 (2) 當 D=0時，圓錐曲線與直線 L相切於一點 ( L為切線)。 (3) 當 D<0時，圓錐曲線與直線 L沒有交點。 本段結束

3. 3. 圓錐曲線的切線： (1) 當直線與橢圓相交於一點時， 此直線必為切線。 (2) 當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行， 則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。 (3) 當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行， 則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。 P  P  P  橢圓的切線 雙曲線的切線 拋物線的切線 To be continued

4. 不一定為切線。 注意：交於一點 (如下圖所示) ( 切線 有重根  判別式 D=0 ) 切線 交於一點。 漸近線 L P  L 軸  P 與拋物線軸平行的直線 與雙曲線之漸近線平行的直線 本段結束

5. 二、圓錐曲線的弦 1. 範例(中點弦)： 求以 (1, 2) 為中點之弦方程式。 解：設此弦交於 A(x1, y1)，B(x2, y2)，則 x1+x2=2，y1+y2=4， A(x1,y1)   M(1,2) B(x2,y2)  所求為 8x+25y58=0。 Let’s do an exercise !

6. 馬上練習：在拋物線 ：y2=6x 的諸弦中， 求以 M(4, 3) 為中點之弦方程式。 Ans：xy1=0。 解：設此弦交於 A(x1, y1)，B(x2, y2)，則 x1+x2=8，y1+y2=6，  A(x1,y1)  M(4,3)  B(x2,y2) 所求為 xy1=0。 ＃

7. 2. 範例：若直線 x+2y=1 與橢圓 x2+4y2=4 交於 P，Q 兩點， 解：將 x=12y代入 x2+4y2=4， 得 8y24y3=0， 設交點 P(x1,y1)，Q(x2,y2)， 根 與 係 數 & (ab)2與 (a+b)2 Let’s do an exercise !

8. 馬上練習：設 a、b 為實數。已知坐標平面上拋物線 y=x2+ax+b 與x 軸 交於 P、Q 兩點， 若拋物線 y=x2+ax+(b+2) (99學測) 與 x 軸交於 R、S 兩點， Ans： 得 x2+ax+b=0 ， 解：將 y=0 (即 x 軸) 代入 y=x2+ax+b， 設交點 P(x1 , 0)，Q(x2 , 0)， 得 x2+ax+(b+2)=0， 將 y=0 代入 y=x2+ax+(b+2)， 設交點 R(x3, 0)，S(x4 , 0)， ＃

9. 三、圓錐曲線的切線 1.「已知切點」的切線方程式： 在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、 橢圓、雙曲線)方程式皆可表為 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中 A、C 不皆為 0。 二次曲線 ：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 上 一已知點 P(x0 , y0) 為切點的切線方程式為 (見附錄二) 2. 範例：求過點 (2, 2) 且與拋物線 x2+xy8=0 相切的直線方程式。 解：切點P(x0 , y0)=(2 , 2)， 整理得切線方程式為 5xy12=0。 Let’s do an exercise !

10. 馬上練習： (2) 求過點 (3, 1)且與雙曲線 4x2y28x2y9=0 相切的直線方程式。 Ans：(1) 3x+2y12=0。 (2) 4xy11=0。 解：(1) 切點 P(x0 , y0)=(2 , 3)， 整理得切線方程式為 3x+2y12=0。 To be continued (2) (2) 切點 P(x0 , y0)=(3 , 1)， 整理得切線方程式為 4xy11=0。 ＃

11. 3.「已知斜率」的切線方程式： 證明：設切線 L：y=mx+k， 得 x2+(mx+k)2=0， 代入 x2+y2=0， 以 x 集項整理得 (+m2)x2+(2mk)x+(k2)=0， 因為相切 x 有重根  (2mk)24(+m2)(k2)=0， (42m2442m2)k2+4(+m2)=0。 得 k2=m2+， To be continued

12. 注意： 設斜率為 m 的切線為 y=mx+k，代入拋物線方程式， 利用相切 判別式 D=0，即可求得 k。 本段結束

13. 4. 範例： 解： 且 m=1 y = x3， 即 x+y3=0 或 x+y+3=0。 Let’s do an exercise !

14. 馬上練習： Ans： x2y+4=0 或 x2y4=0。 解： 即 x2y+4=0 或 x2y4=0。 ＃

15. 5. 範例： 解：設切線 L：x2y=k， x2y=k x2y8=0 x2y+2=0 即 x2y+2=0或 x2y8=0。 ＃ 2x+y+12=0

16. 6. 範例：求斜率為 3 且與拋物線 y=x2+5x+3 相切 的直線方程式，及其切點。 解：設所求 y=3x+k，代入 y=x2+5x+3， x28x+(k3)=0 相切 判別式 D=0  k=19。 得切線為 y=3x+19。 x=4。 且x28x+(193)=0 故切點為 (4, 7)。 Let’s do an exercise !

17. 馬上練習：設拋物線 y=2x23x+1，求斜率為 5 的切線方程式，及其切點。 Ans：切線y=5x7，切點(2, 3)。 解：設所求 y=5x+k，代入 y=2x23x+1， 相切 判別式 D=0 得切線為 y=5x7。 且2x28x+(1+7)=0 x=2。 故切點為 (2, 3)。 ＃

18. 7. 「曲線外」已知點的切線方程式： P  (1) 過拋物線外一點 P，有兩條切線。 P  (2) 過橢圓外一點 P，有兩條切線。 (3) 過雙曲線外一點 P，切線有三種情形： 當 P點為中心時，過點 P的任意直線都不是切線 沒有切線。 只有一條切線。 當 P點不是中心且落在漸近線上時 有兩條切線。 當 P點不在漸近線上且不在雙曲線內部時    P  P  P  本段結束

19. 8. 範例： 解：點 P(1, 4)在橢圓外，故有兩條切線。 故所求切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。 ＃ To be continued  注意

20. 注意：可設過 (1, 4) 的切線其切點為 (x0 , y0)， (1,4)  (x0 , y0)  得切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。 Let’s do an exercise !

21. 馬上練習：求過點 (1, 3)且與雙曲線 4x2y2=4 相切的直線方程式。 Ans：13x6y+5=0，x=1。 點 (1, 3) 不在雙曲線上， 解： 又點 (1, 3) 非中心且不在漸近線 2xy=0 上  兩條切線。 故所求切線為 13x6y+5=0 或 x=1 (鉛直線)。 ＃

22. 9. 範例：求過點 (2, 0)且與拋物線 y=x22x+4 相切的直線方程式。 解：點 (2, 0)不在拋物線上， 設切線方程式為 y=m(x2)，代入 y=x22x+4， 相切 判別式 D=0 解得 m=2 或 6。 故所求切線為 2x+y4=0 或 6xy12=0。 Let’s do an exercise !

23. 馬上練習：求過點 (4, 1)且與拋物線 2x=y2相切的直線方程式。 Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。 解：點 (4 , 1)不在拋物線上，設切線 y+1=m(x+4)， 相切 判別式 D=0， 故所求切線為 x+4y+8=0 或 x2y+2=0。 ＃

24. 四、圓錐曲線的光學性質 1. 拋物線的的光學性質： 由拋物線焦點F射出的光線， 射到拋物線上經反射後，都會與軸平行。 反之，與軸平行的入射光， 射到拋物線上經反射後，都會通過焦點 F。 軸   軸 F F 平行軸的光線反射後必過焦點 焦點射出的光線反射後必平行軸 To be continued

25. 證明：設點 P為拋物線上任一點 準線 L Q H   P 1 A   3 2 M  F 又 QHA 為直角  切線 所以 Q點不在拋物線上， 故 1=2。 且此時 2=3， 1=3 (對頂角相等)， 注意：準線 L上任一點 A 與焦點 F 本段結束

26. 2. 範例：一光線經過點 (7, 4) 沿水平方向前進， 遇到拋物線 ：y2=4x 上一點 P， 經反射後通過  上的點 Q，求 Q 的坐標。 解：光線碰到 上的點 P(4, 4) 後， 反射必過 y2=4x的焦點 F(1, 0)， P   (7,4)  軸 F  Q Let’s do an exercise !

27. 馬上練習：一光線經過點 (4, 6) 沿鉛直方向前進， 遇到拋物線 ：x2=16y 上一點 P， 經反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。 Ans：(16 , 16) 解：光線碰到 上的點 P(4, 1) 後， 反射必過x2=16y的焦點 F(0, 4)， (4,6)   F Q   P 軸 ＃

28. 3. 橢圓的光學性質： P  由橢圓焦點 F2射出的光線， 射到橢圓上的點 P，   F1 F2 經反射後都會通過另一個焦點 F1。 To be continued  證明

29. 證明：以 F2為圓心，半徑為 2a (橢圓長軸長)作一圓， A  設點 A 為圓上任一點 2a Q  3 切線 M  1 2 P   F1 F2 因此 P點在橢圓上。 法線 切線 P  因此 Q 點不在橢圓上。 1 2 O O   F1 F2 且此時2=3， 故1=2。 1=3(對頂角相等)， 注意：F2PF1的平分線即為過 P點的法線。 本段結束

30. 4. 範例：已知橢圓  的兩焦點為 F1(1, 7)、F2(2, 2)， 且 P(5, 3) 在  上，試求過 P 與  相切的直線方程式。 解： F1 切線  4k  D 5k O O  F2  P 法線 切線的斜率 = 3。 故所求切線為 3xy12=0。 Let’s do an exercise !

31. 馬上練習：如圖 F1、F2為橢圓  的兩焦點，直線 L 切  於 P 點， 且F1PF2=600。設 F1、F2對 L 的投影點分別為 A、B， 法線 B Ans：16。 P A  切線 n 300 300 m 解： 300 300   F2 F1 ＃

32. 5. 雙曲線的光學性質： P  由焦點 F1射出的光線，   F2 F1 射到雙曲線上的點 P 其反射光所在的直線會通過另一個焦點 F2。 To be continued  證明

33. 證明：以 F2為圓心，半徑為 2a (雙曲線貫軸長)作一圓， 設點 A 為圓上任一點 Q  P 1 A  2a  3 2 M   因此 P點在雙曲線上。 F1 F2 切線 因此 Q點不在雙曲線上， 且此時 2=3， 1=3(對頂角相等)， 故 1=2。 注意：F2PF1 的平分線即為過 P點的切線。 本段結束

34. 6. 範例：已知 A(4, 3) 為雙曲線 x22y2+4x+4y26=0 上一點，且 F1、F2 為雙曲線的兩焦點，求F1AF2 的分角線方程式。 解：所求即為過 A點的切線 切點 A(x0 , y0)=(4 , 3)， 整理所求為 3x2y6=0。 A  Let’s do an exercise !   F2 F1 切線

35. 若一光線從  的焦點 F1(3, 0) 發射， 馬上練習： 碰到 上的 P 點，反射後通過點A(9, 6)， 已知 P 點在第一象限，求 P 點坐標。 Ans：P (5, 4)。 解：反射線 PA的延長線必過 F2(3, 0)，  A(9,6) P    F2 F1 故所求點 P (5, 4)。 本節結束