J ELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

1. JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

2. Jelenértékszámítás-technika • A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil (cash flow pattern) – ezt ábrázoltuk pénzáramlás diagramos formában • Vannak „nevezetes” profilok, amikhez „nevezetes” képletek tartoznak (azaz a profil jelenértéke zárt alakban megadható) • Egyéb esetekben a profil pontos jelenértéke csak körülményesen számolható – célszerű közelítésekkel élni • Ezen formulák és közelítések közül tekintünk most át néhányat…

3. Egyszeri pénzáram • Single cash flow, lump sum • Egy tetszőleges N-ik periódus végén bekövetkező F pénzáram • Jelenértéke, P (a már ismert kamatos kamatozás logikáját tükrözve):

4. Egyszeri pénzáram – példák • Legalább hány periódus múlva kell, hogy befolyjon egy F = 100 összegű pénzáram, hogy jelenértéke kisebb legyen, mint 50, ha a diszkontráta 10%? • Megoldás: 100/(1+0,1)N = 50, amit átrendezve: • N = ln2 / ln1,1 ≈ 7,27, tehát: legalább 8 periódus • (Megjegyzés: bármilyen logaritmust használhattunk volna) • Mekkora diszkontráta mellett lesz egy 8 periódus múlva befolyó F = 150 összegű pénzáram jelenértéke 90? • Megoldás: 150/(1+r)8 = 90, amit átrendezve: • r = (150/90)1/8 – 1 ≈ 6,59%

5. Annuitás • Annuity • Egyenletes pénzáramlás-sorozat: azonos összegek minden periódus végén N perióduson keresztül • Jelenértéke (vö. mértani sor összegképlete):

6. Annuitás – példák (I.) • Mekkora egy A = 100 összegű 15 periódus hosszú annuitás jelenértéke, ha a diszkontráta 12%? • Megoldás: P = 100*[(1+0,12)15 – 1]/[0,12*(1+0,12)15] ≈ 681 • Legalább hány periódusig kell, hogy tartson egy A = 50 összegű annuitás, hogy jelenértéke nagyobb legyen, mint 100, ha a diszkontráta 18%? • Megoldás: 50*(1,18N – 1)/(0,18*1,18N) = 100, amit átrendezve: • 1 – 1,18-N = 2*0,18, amit tovább rendezve: • N = -ln0,64 / ln1,18 ≈ 2,7, tehát legalább 3 periódus • Melyiket választaná: ma 10 millió Ft vagy 15 éven keresztül évi 1 millió Ft, ha a diszkontráta 10%? • Megoldás: 1*(1,115 – 1)/(0,1*1,115) ≈ 7,61 < 10, tehát előbbit

7. Annuitás – példák (II.) • Legalább mekkora A összegűnek kell lenni egy 10 periódus hosszú annuitásnak, hogy jelenértéke legalább 80 legyen, ha a diszkontráta 15%? • Megoldás: A*(1,1510 – 1)/(0,15*1,1510) = 80, amiből A ≈ 16 • *Egy 12 periódus hosszú A = 75 összegű annuitás jelenértéke közelítőleg mekkora diszkontráta esetén 750? • Megoldás: 75*[(1+r)12 – 1]/[r*(1+r)12] = 750, átrendezve: • (1+r)12 – 1 = 10*r*(1+r)12, ami egy 13-adfokú egyenlet… • Ha r kicsi (≈0), akkor (1+r)12 ≈ 1+12*r (elsőrendű Taylor-sor) • Így: 12*r = 10*r*(1+12*r) és mivel r ≠ 0: r= 0,2/12 ≈ 1,67% • Ellenőrizzük le: 75*(1,016712 – 1)/(0,0167*1,016712) ≈ 809

8. Örökjáradék • Perpetuity • Egy annuitás, ami a végtelenségig tart • Jelenértéke (az annuitás formulájának N = végtelen-ben vett határértéke):

9. Örökjáradék – példák • Mennyi egy A = 100 összegű örökjáradék jelenértéke, ha a diszkontráta 20%? • Megoldás: P = 100/0,2 = 500 • Mekkora A összegűnek kell lennie egy örökjáradéknak, hogy jelenértéke 250 legyen, ha a diszkontráta 15%? • Megoldás: A/0,15 = 250, amiből A = 37,5 • Egy A = 25 összegű örökjáradék jelenértéke mekkora diszkontráta esetén 100? • Megoldás: 25/r = 100, amiből r = 25%

10. Lineárisan növekvő pénzáramsorozat • Lineargradient series • Periódusról periódusra azonos G összeggel növekvő pénzáramok sorozata • A profilt leíró képlet: • A profil jelenértéke:

11. Lineárisan növekvő… – példák (I.) • Mennyi a jelenértéke a következő pénzáramsorozatnak: F0= 0, F1= 1000, F2 = 1300, F3= 1600, F4= 1900, F5= 2200 és F6= 2500, ha a diszkontráta 14%? • Megoldás: észre kell venni, hogy a sorozat két részből tevődik össze: egy A = 1000 annuitás és egy G = 300 lineáris gradiens 6 perióduson keresztül • Az annuitás jelenértéke: PA = 1000*(1,146 – 1)/(0,14*1,146) ≈ 3889 • A gradiens jelenértéke: PG = 300*(1,146 – 0,14*6 – 1)/(0,142*1,146) ≈ 2475, tehát összesen: 6364 • Mekkora A összegű, ugyanolyan időtartamú annuitásekvivalens az előző példa pénzáramsorozatával? • Megoldás: A*(1,146 – 1)/(0,14*1,146) = 6364, amiből A ≈ 1637

12. Exponenciálisan növekvő pénzáramsorozat • Geometricgradient series • Periódusról periódusra azonos g (százalékos) ütemben növekvő pénzáramok sorozata • A profilt leíró képlet: • A profil jelenértéke:

13. Exponenciálisan növekvő… (II.) • Ha az exponenciális növekedés a végtelenségig tart (~örökjáradék), akkor a jelenérték (N→∞): • Példák: legyen g = 3% és r = 10%, exp. növ. sorozat • Mekkora a jelenérték, ha F1 = 100 a kezdő pénzáram és 5 perióduson át tart a sorozat? • Megoldás: P = 100*[1 – (1,03/1,1)5]/(0,1 – 0,03) ≈ 400 • Mekkorának kell lenni F1 -nek, hogy a jelenérték 320 legyen? • Megoldás: F1 ≈ 320/4 = 80

14. Exponenciálisan növekvő… (III.) Példák folyt. • Ha F1 = 100, legalább hány periódusig kell, hogy tartson a sorozat, hogy a jelenérték nagyobb legyen, mint 500? • Megoldás: 1 – 500/100*(0,1 – 0,03) = (1,03/1,1)N • N ≈ ln0,65 / ln0,94 ≈ 6,96, tehát 7 periódusig • Ugyanezek a kérdések, csak g = 10% • Megoldások: P = 5*100/1,1 ≈ 455; F1 = 320*1,1/5 ≈ 70; N = 500*1,1/100 ≈ 5,5, tehát 6 periódusig • És ha a sorozat a végtelenségig tart? • Akkor g = 10%-nál a jelenérték nem létezik (végtelen) • P = 100/(0,1 – 0,03) ≈ 1429; F1 = 320*(0,1 – 0,03) = 22,4

15. Exponenciálisan növekvő… (IV.) Példák folyt. • A sorozat a végtelenségig tart. Ha F1 = 100 és r = 10%, akkor mekkora g-nél, illetve ha g = 3%, akkor mekkora r-nél lesz a jelenérték 1250? • Megoldás: 100/(0,1 – g) = 1250, amiből g = 2% • Hasonlóképp: 100/(r – 0,03) = 1250, amiből r = 11%

16. Perióduson belüli pénzáramok (I.) • Intraperiod cash flow • Egy előre meghatározott hosszúságú (pl. egy év) kamatperióduson (interest period) belül tetszőleges időpontban jelentkező pénzáram • Az eddig tekintett profiloknál mindig csak a periódusok végén volt pénzáram • A perióduson belüliség megengedésével a valóság jobban leírható – pl. egy projektnek a valóságban jellemzően év közben is vannak pénzáramai

17. Perióduson belüli pénzáramok (II.) • Lényeges megjegyzés: a definiált kamatperiódus hossza tetszőleges lehet, így a korábban megismert profilokat értelmezhetjük éves, havi, heti, stb. szinten egyaránt – azaz éves, havi, heti, stb. felbontásban adják meg a pénzáramok alakulását • Ezért is használtam az „év” helyett az általánosabb „periódus” kifejezést! • Természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszára vonatkoztatva kell megadni – pl. éves felbontású profilhoz éves diszkontráta • Hogyan válthatjuk át a diszkontrátát a különböző hosszúságú periódusokra? → kamatos kamatozás logikája • t és T azonos mértékegységben!

18. Perióduson belüli pénzáramok (III.) • Példa: ha az éves diszkontráta 12%, akkor mennyi a negyedéves diszkontráta? • t= 0,25 év, T = 1 év, rt= (1+0,12)0,25/1– 1 = 2,87% • t= 1 negyedév, T = 4 negyedév, rt= (1+0,12)1/4– 1 = 2,87% • Vissza a perióduson belüli pénzáram jelenértékéhez, ami a következőképp adható meg (tFa kamatperiódus mértékegységében!): • Példa: mekkora egy 17 hónap múlva befolyó F = 100 pénzáram jelenértéke, ha az éves diszkontráta 20%? • Megoldás: P = 100/(1+0,2)17/12 ≈ 77,24

19. Perióduson belüli pénzáramok (IV.) • A perióduson belüli pénzáram jelenértéke formulájának bizonyítása (nem kell tudni): • Legyen a kamatperiódus hossza tF, ekkor: • A jelenérték pedig: • Behelyettesítve rtF-etadódik: • → Ezt állítottuk

20. Perióduson belüli pénzáramok (V.) • Nézzünk egy projektet „sok” perióduson belüli pénzárammal: • A pontos jelenértéket úgy kapnánk, ha egyesével diszkontálnánk minden pénzáramot, majd jelenértékeiket összegeznénk • Körülményes, fáradságos → célszerű közelítésekkel élni

21. Időzítési konvenciók (I.) • Időzítési konvenciók: periódusonként aggregáljunk minden pénzáramot a periódus egy kitüntetett pontjába! • Periódusvégi konvenció (end-of-periodconvention): a periódus minden pénzárama a periódus végére tolva, majd ezen „aggregált” pénzáramok diszkontálása • Ez a klasszikus, tankönyvi eljárás, ezt csináltuk eddig mi is: csak a periódusok végén volt pénzáram • Közelítésnél örök dilemma: egyszerűség, praktikusság vs. pontosság • Kérdés 1: mekkora hibát véthetünk a periódusvégi konvencióval? • Kérdés 2: javítható-e valamilyen egyszerű módon a periódusvégi konvenció pontossága?

22. Időzítési konvenciók (II.) • Ismerkedjünk meg néhány más időzítési konvencióval: • Periódus-eleji konvenció (beginning-of-periodconvention): a periódus minden pénzárama a periódus elejére tolva • Periódus-közepi konvenció (mid-periodconvention): …közepére tolva • Egy speciális időzítési konvenció: Harmonikus konvenció (harmonicconvention): periódus-eleji és -végiharmonikus közepe (Andor és Dülk, 2013a) • A számtani és a mértani átlagot is megvizsgáltuk már (Andor és Dülk, 2013b), de ezekkel most nem foglalkozunk… • Az említett konvenciók mind előállnak a periódusvégi jelenérték (PE) egyszerű korrekciójával (ld. köv. dián)

23. Időzítési konvenciók (III.) • A formulák: • Definiáljuk a relatív hibát (ε) a következőképp: • Kérdés: legyen szó bármilyen tényleges pénzáram-profilról, mekkora az elméletileg elkövethető lehetséges legnagyobb relatív hiba (LLRH)? • Azaz: legyen szó bármilyen profilról, ennél nagyobb hibát biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával

24. Időzítési konvenciók (IV.) • Az említett konvenciókra levezethető, hogy a LLRH (εmax-szal jelölve): • A sorrend igaz bármely pozitív diszkontrátára • A harmonikus konvenció minimalizálja a LLRH-t! • 20%-os diszkontráta esetén pl. E: 16,67%, B: 20%, M: 9,55%, H: 9,09% • Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel, és a korrekció könnyen elvégezhető… < < <

25. Időzítési konvenciók (V.) • Mi a helyzet konkrét pénzáramprofilok esetén? • Például ún. PERT-jellegű profilok esetén periódusvégi konvencióra: r

26. Időzítési konvenciók (VI.) • Továbbra is PERT: harmonikus konvenció és a konvenciók összevetése: r r

27. Időzítési konvenciók (VII.) • Leolvashatók a konvenciók hibái, így a pontos jelenérték megadható a nomogramok segítségével: • Általánosságban megállapítható: a harmonikus (és a periódus-közepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan pontosak • PE mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye! • Záró megjegyzés: figyelem! Az említett konvenciók csak a jelen-értékre (PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV = -F0 + PV) közvetlenül nem! • Mert F0 egy „speciális”, konvención kívüli pénzáram

28. Konvenciók – példák (I.) • Egy projekt 20 perióduson keresztül minden periódusban összesen 100 összegű pénzáramot termel, a diszkontráta 25%. • Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi, -eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval? • Legfeljebb mekkora hibát véthetünk ezen konvenciók alkalmazásával? • Mekkora a pontos jelenérték, ha a pénzáramok mintázata minden periódusban PERT-jellegű, c = 0,55 paraméterrel? (nomogram mellékelve) • A pontos jelenérték fényében melyik konvenció a legpontosabb? • Mi az egyes konvenciók szerint a projekt megvalósítandóságáról szóló döntés, ha a kezdő beruházási összeg F0 = 420?

29. Konvenciók – példák (II.) • Megoldások: • Periódusvégi jelenérték: az ismert annuitás-képlettel: PE = 100*(1,2520 – 1)/(0,25*1,2520) ≈ 395 • Periódus-eleji jelenérték: PB = PE *1,25 = 494 • Periódus-közepi jelenérték: PM = PE *1,251/2 = 442 • Harmonikus jelenérték: PH = PE *1,25/1,125 = 439 • LLRH-k: E: 0,25/1,25 = 20%; M: 1,251/2 – 1 = 11,8%; B: 0,25 = 25%; H: 0,25/2,25 = 11,1% • Nomogramonc = 0,55 és r = 25% kombináció: E: -10%, amiből Ppontos = 395/(1 – 0,1) = 439 • Ebből látszik, hogy jelen esetben a harmonikus konvenció a legpontosabb (éppen mondjuk teljesen pontos…) • A periódusvégi kivételével mindegyiknél pozitív az NPV, tehát a projekt megvalósítandó (és valóban, mert 439 – 420 = 19 > 0)

30. Konvenciók – példák (III.) • Adott két pénzáram és időzítéseik: F1 = 70, F2 = 110 és t1 = 0,4 év, t2 = 9,6 hónap, és a negyedéves diszkontráta 4,66%. • Mekkora a pénzáramok jelenértéke periódusvégi, periódus-eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval? • Mekkora a pontos jelenérték? • Mekkora a periódusvégi, illetve a harmonikus konvenció hibája?

31. Konvenciók – példák (IV.) • Megoldás: • Átváltások azonos időmértékegységre (most: évre): • t2 = 9,6/12 = 0,8 év • Éves diszkontráta r = (1+0,0466)4 – 1 = 20% • PE = (70+110)/(1+0,2) = 150 • PB = 150*(1+0,2) = 180 • PM = 150*(1+0,2)0,5 = 164,32 • PH = 150*(1+0,2)/(1+0,2/2) = 163,64 • Ppontos = 70*(1+0,2)-0,4 + 110*(1+0,2)-0,8 = 160,15 • A hibák pedig: E: 150/160,15 – 1 = -6,3% és H: 163,64/160,15 – 1 = +2,2%