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Monte Carlo Simulation Part.2 Metropolis Algorithm

Monte Carlo Simulation Part.2 Metropolis Algorithm. Dept. Phys. Tunghai Univ. Numerical Methods C. T. Shih. Simple/Importance Sampling. 當我們用 MC 法計算積分時，若該函數為常數函數 f(x)=constant ，則取樣數不管多少，準確度皆為百分之百 相對的，如果 f(x) 為 delta 函數，則取樣數不管多少，準確度幾乎皆為零

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Presentation Transcript

  1. Monte Carlo SimulationPart.2 Metropolis Algorithm Dept. Phys. Tunghai Univ. Numerical Methods C. T. Shih

  2. Simple/Importance Sampling • 當我們用 MC 法計算積分時，若該函數為常數函數 f(x)=constant，則取樣數不管多少，準確度皆為百分之百 • 相對的，如果 f(x) 為 delta 函數，則取樣數不管多少，準確度幾乎皆為零 • 也就是說，如果在積分區間內，f(x) 為一平滑函數，則 MC 法較準確，如果f(x)的變動很劇烈，則 MC 法的誤差會變大

  3. Weight Function: w(x) • 因此，在 f(x) 變化劇烈時，在以 MC 取樣時，最好依據 f(x) 的大小來決定取樣機率 • 亦即：|f(x)| 大的，對∫f(x)dx的貢獻較大，如果沒有被選中則結果的誤差極大 • 解決方式：改變 x 被選中的機率，讓 |f(x)| 大的被選中的機率增加 • Weight distribution function: w(x)，決定每個x被選中的機率

  4. Weight Function: w(x) • w(x) 必須歸一化，即在積分區間內∫w(x)dx=1 • 由於 x 的選取已被 w(x) 扭曲，所以計算積分時要把這個部分「還」回去：若一共取樣了M個x，則其積分值為

  5. Metropolis 演算法 • 如何產生一連串的 x，使得 x 的分佈滿足 w(x)?步驟如下： • 由均勻亂數產生一任意 x，a<x<b • 再產生另外一個亂數 x’，a<x’<b • 兩者的機率權重比為 P(x→x’) w(x’)/w(x) • 若 P ≧ 1，則接受 x’ 為新的 x 值 • 若 P < 1，則產生一亂數 y，若 y<P，則接受 x’ 為新的 x，否則下一個被選取的仍然是舊的 x • 如此即可得到一連串的 x，重複此步驟 M 次，將每次所得到的 x 所對應的 f(x)/w(x) 求平均，即為所求之積分近似值

  6. f(x) 與 w(x) • 最好的 w(x) 當然就是 |f(x)| 本身，但是因為 w(x) 必須滿足 ∫w(x)dx=1，所以得先對 w(x) 做積分 → 回到問題的原點 • 但是如果 f(x) 是物理上的 probability distribution function（如波茲曼函數），我們經常要積分的是一些物理量的平均值： • 這類問題即可以 Metropolis algorithm 來產生根據 f(x) 所分佈的 M 個 x

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