Inverse Laplace Transforms

1. Inverse Laplace Transforms

2. Rational Functions • Function ที่เราต้องการจะหา inverse Laplace transform มักจะอยู่ในรูป ฟังก์ชันเศษส่วน (rational function) โดยมีตัวเศษ (numerator: N(s) ) และตัวหาร (denominator: D(s)) ซึ่งอาจจะเขียนได้ว่า • Rational function นี้จะแบ่งออกเป็น • Proper rational functionถ้ากำลังของ sที่ตัวเศษมีค่าน้อยกว่า กำลังของ sที่ตัวหาร ซึ่งสามารถทำการ inverse Laplace transform ได้ต่อไป • Improper rational functionถ้ากำลังของ sที่ตัวเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับกำลังของ sที่ตัวหาร เราจะต้องทำการตั้งหารยาวตัวเศษ เพื่อทำให้เป็น proper rational function เสียก่อน Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

3. Proper Rational Functions • เมื่ออยู่ในรูป proper rational function เราจะสามารถหา inverse Laplace transform ได้ โดยรูปแบบที่จะหาได้นั้น จะขึ้นอยู่กับตัวหารD(s) เป็นสำคัญ ซึ่งแบ่งออกเป็นรูปแบบต่างๆ 3 แบบ ดังนี้ • Simple polesถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้ว่า • Complex Polesถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้ว่า • Repeated polesเกิดจากการที่ simples หรือ complex poles ที่ซ้ำกัน เช่น Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

4. Simples Poles • จาก • จะได้ว่า • โดย • ให้นักศึกษาดู Method 1 จาก Example 15.9 หน้า 693 หรือวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ ดู Method 2 จาก Example 15.9 หน้า 694 ประกอบ Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

5. Complex Poles • จาก • จะได้ว่า • การหาค่า k1นั้นจะทำเช่นเดียวกับกรณี simple pole ส่วนการหาค่า Bและ Cนั้นทำได้หลายวิธี เช่นวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (ดู Method 2 จาก Example 15.11 หน้า 696) หรือแทนค่า sด้วยค่าง่ายๆ เช่น 0 และ 1 แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า Bและ C (ดู Method 1 จาก Example 15.11 หน้า 696) Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

6. Repeated Poles • ทั้ง simples poles และ complex poles สามารถที่จะเป็น repeated poles ได้ แต่ส่วนใหญ่เราจะสนใจที่เป็น simple poles ที่ซ้ำกันเท่านั้น • จาก • จะได้ว่า • การหาค่า k2, k3, .. , knนั้นจะกระทำในลักษณะเดียวกันกับ simple poles Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

7. Repeated Poles (ต่อ) • การหาค่า Aและ Bนั้นหาได้จาก (ดู Method 1 จาก Example 15.10 หน้า 695) • หรือจะโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (ดู method 2 จาก Example 15.10 หน้า 695) Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

8. Long Division • การตั้งหารยาว เป็นวิธีที่ใช้ทำการเปลี่ยน improper rational function ให้เป็น proper rational function • การตั้งหารจะกระทำ โดยอาศัยหลักการหาร polynomial ธรรมดา เช่น • ซึ่งเป็น improper rational function หลังจากทำการหารยาวแล้วจะได้ Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

9. Long Division (ต่อ) Quotient • หารจนส่วนนี้มี order น้อยกว่าตัวหาร ซึ่งจะหารต่อไม่ได้ ส่วนนี้คือ Remainder Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา