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Professor  Neilton Satel

Aula de Matemática. Professor  Neilton Satel. 25 de outubro de 2011. CONTEÚDO DA AULA: Geometria analítica.

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  1. Aula de Matemática Professor  NeiltonSatel 25 de outubro de 2011 CONTEÚDO DA AULA: Geometria analítica

  2. “Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da nossa palavra. O professor, assim, não morre jamais...” (Rubem Alves,1999).”

  3. CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ BOA AULA

  4. Apolônio de Pérgamo(262 - 190 a.C.) nasceu em Pérgamo, na Ásia Menor e viveu em Alexandria nos fins do século III a.C..Foi contemporâneo de Arquimedes e é unanimemente considerado como um dos mais originais e profundos matemáticos de sempre. A sua obra mais famosa é o Tratado sobre as cónicas(o primeiro estudo sistemático das cônicas), aí definidas como secções de um cone de base circular e designadas por elipse, parábola e hipérbole.  Dos oito livros do tratado, apenas um se perdeu, representando esta obra, segundo alguns autores, o ponto máximo alcançado pela matemática grega. É motivo de admiração a mestria com que Apolônio demonstra centenas de teoremas, recorrendo aos métodos puramente geométricos de Euclides.

  5. MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é: • y + 2x – 2 = 0 • y – x – 2 = 0 • y + 2x + 2 = 0 • y –2x – 2 = 0 • y – 2x + 2 = 0 ( Multiplicando toda a equação por –2 ) Fica: 2x + y = –2  2x + y +2 = 0

  6. Questão 43 página 243 a) Escreva as equações reduzidas das retas que contêm as diagonais do quadrado ABCD dado no sistema cartesiano ao lado.

  7. Questão 43 página 243 b) Compare os coeficientes angulares dessas retas.

  8. 03. Encontre a equação da reta que passa nos pontos A=(0,1) e B = (2 ,5).

  9. 03. Construir usando o GEOGEBRA, o gráfico da função f(x) = 2x +1.

  10. No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1. COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

  11. No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1. COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

  12. No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1. COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

  13. MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é: • y + 2x – 2 = 0 • y – x – 2 = 0 • y + 2x + 2 = 0 • y –2x – 2 = 0 • y – 2x + 2 = 0 ( Multiplicando toda a equação por –2 ) Fica: 2x + y = –2  2x + y +2 = 0

  14. EXERCÍCIO 02:Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

  15. EXERCÍCIO 03:Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4). SOLUÇÃODAQUESTÃO

  16. 3 – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

  17. Vamos calcular a área do triângulo amarelo pela diferença entre a área do retângulo azul e os outros três triângulos na cor verde.

  18. Área do triângulo:

  19. Podemos escrever assim Área do triângulo:

  20. 1 2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1 A = 2 EXERCÍCIO 04 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área) A = 6/2 A = 3 u. a.

  21. EXERCÍCIO 05Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(2,3) e C(4,-1)?

  22. 1 -2.3 + 2.(-1) +4. (-1). –2.(-1) – 4.3 – (-2).(-1) A = 2 RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 05 A = 24/2 A = 12 u. a. Resp: S = 12 u.a. (12 unidades de área)

  23. RETAS Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então: Tomando três pontos numa reta não-paralela aos eixos

  24. DESENVOLVENDO, VEM: COMO: ENTÃO:

  25. EQUAÇÃO GERAL DA RETA: A x + B y + C = 0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: Y = ax + b Onde a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta

  26. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: y = ax + b onde, a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção com o eixo Oy. O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. a = tgα ( abertura ou inclinação da reta )

  27.  Coeficiente angular = 3  Coeficiente angular =2  Coeficiente angular = 1  Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.

  28. EXERCÍCIO 06 Vamos encotrar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). RESOLUÇÃO: Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: 3x + 1.4 + 2.y – 1.y – 2.3 – 4x = 0 –x + y –2 = 0 Ou x – y + 2 = 0

  29. EXERCÍCIO 07 Determine equação da reta que passa pelos pontos A e B na figura abaixo.

  30. Resolução questão 07 Utilize a equação da reta (geometria analítica) dados pelos pontos: (3,5) e (6,0). – 4x – 6 – y + 3y – 4 –2x = 0 – 6x + 2y – 10 = 0 E finalmente a equação GERAL da Reta: 3x – y + 5 = 0 Ou  Y = 3x + 5 Ou a equação REDUZIDA da Reta:

  31. EXERCÍCIO 08 PONTO DE INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pode-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0. Solução: Da equação da reta r  tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1); substituindo na equação da reta s vem:6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0  \ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 \ 44 - 22y = 0 \ 44 = 22y \ y = 2;  substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4. Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).

  32. EXERCÍCIO 09 ( Faap – SP ) Na prática de um cooper, um corredor se desloca do ponto A ( -3, - 2) até o ponto C ( 5, 4) em linha reta, tendo um repouso num ponto B. As possíveis coordenadas deste ponto B são: a)B ( 2, 7) b)B ( 4, 3) c)B ( 3, 5) d)B ( 2, 2) e) B (1 ,1) DICA: encontre a equação da reta -2x – 3.4 + 5y - (-3)y- 5(-2) - 4x = 0 -6x + 8 y –2 = 0 Y = (6x + 2) / 8 Ponto P [ x, (3x +1) /4 ] Y = (3x + 1) / 4

  33. EQUAÇÃO GERAL DA RETA: A x + B y + C = 0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta

  34. Para refletir página 12 Verifique queaa´ + bb´ = 0 e mr.ms = - 1 (retas perpendiculares)

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