Numeričke deskriptivne veličine

1. Numeričke deskriptivne veličine

2. Numeričko opisivanje podataka Centralna tendencija Kvartili Varijacija Asimetrija raspon zakrivljenost aritmetička srednja vrednost interkvartilini raspon zašiljenost varijansa medijana standardna devijacija modus koeficijent varijacije geometrijska srednja vrednost Osobine numeričkih podataka- mere

3. Osobine numeričkih podataka Centralna tendencija (lokacija centra) Varijacija (Rasipanje) Asimetrija

4. Odbacivanje ekstremnih vrednosti Ekstremno visoka vrednost se odbacuje ako je: Ekstremno niska vrednost se odbacuje ako je:

5. Mere centralne tendencije Centralna tendencija Modus Geometrijska srednja vrednost Aritmetička srednja vrednost Medijana najfrekventnija vrednost sredina rangiranih vrednosti

6. dobijena vrednost broj podataka Aritmetička srednja vrednost (average, mean) • Najčešće korišćena mera • Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” • Na njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”) • Izražava se u istim jedinicama kao i osnovni podaci • Izraz za izračunavanje:

7. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 srednja vrednost = 3 srednja vrednost = 4 Aritmetička srednja vrednost Uticaj ekstremnih vrednosti

8. Prosta srednja vrednost vs. ponderisana – težinska srednja vrednost • Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se kada su podaci prikazani kao frekvence: • Ako su podaci grupisani u klasne intervale, ponderisana srednja vrednost se izračunava:

9. Geometrijska srednja vrednost • n-ti koren proizvoda svih članova skupa • Primer: 1,2,3,10 • Gx = 4-ti koren iz 60 = 2.78 • II način izračunavanja Gx: 1. logaritmovanje svakog broja u skupu 2. računanje aritmetičke sredine tih logaritama 3.dizanje osnove logaritma (ln-2.718 ili log-10) na izračunatu aritmetičku sredinu logaritama (korak 2)

10. Skraćena srednja vrednost • Računa se tako što se iz skupa izbace ekstremne vrednosti sa oba kraja raspodele (najniže i najviše vrednosti • 5-25% vrednosti je uobičajeno da se odbaci i onda se računa srednja vrednost • Eliminiše se uticaj ekstremnih vrednosti • Primena – sport da bi se eliminisali efekti ekstremnih ocena dobijenih pogrešnom procenom sudija

11. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 medijana = 3 medijana = 3 Medijana (Me) • Medijana je centralna vrednost u nizu podataka • 50% vrednosti je iznad, 50% ispod medijane • Pre određivanje medijane podaci se urede po veličini • Na Me ne utiču ekstremne vrednosti

12. Određivanje medijane • Pozicija medijane (u uređenim podacima): • Ako je broj podataka neparan, medijana je vrednost u sredini niza • Ako je broj podataka paran, medijana je srednja vrednost dve vrednosti u sredini niza (između N/2 i (N+2)/2) • Napomena: • izraz nije vrednost medijane, već redni broj vrednosti koja predstavlja medijanu

13. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 modus = 9 nema modusa Modus (Mo) • Vrednost koja se pojavljuje najčešće • Na Mo ne utiču ekstremne vrednosti • U skupu može biti jedan ili više modusa • Skup može biti bez modusa • Mo može da se odredi i za numeričke i kategoričke podatke

15. 70 60 50 KV KG 40 Broj osoba 30 20 10 0 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Log PO-aze Log DZO-aze Aktivnost enzima PON1 antimode

16. Skale merenja- mere centralne tendencije • intervalna/skala odnosa - x, Me, Mo • ordinalna – Me, Mo • nominalna – samo Mo!!!

17. 25% 25% 25% 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 Kvartili • Kvartili dele skup uređenih podataka na četiri jednaka dela • Pozicione veličine • Prvi kvartil, Q1 – 25% vrednosti su manje od Q1 • Drugi kvartil, Q2= medijana • Treći kvartil, Q3 = 25% vrednosti su veće od Q1 • Q1 i Q3 nisu mere centralne tendencije

18. Određivanje kvartila • Pozicija (redni broj vrednosti) prvog kvartila: Q1 = (N+1)/4 • Pozicija (redni broj vrednosti) drugog kvartila: Q2 = (N+1)/2 • Pozicija (redni broj vrednosti) trećeg kvartila: Q3 = 3(N+1)/4 gde je N ukupan broj podataka

19. Percentili Pozicija percentila: • Prvi percentil P1: odvaja 1% vrednosti • Q1 = P25 • Q2 = Me = P50 • Q3 = P75

20. varijacija raspon interkvartilni raspon varijansa standardna devijacija koeficijent varijacije isti centar, različita varijacija Mere varijacije • Mere varijacije daju informaciju o rasipanju ili varijabilnosti podataka

21. primer: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 raspon = 14 - 1 = 13 Raspon • Najjednostavnija mera varijacije • Raspon – razlika između najveže i najmanje vrednosti u skupu raspon = xmax – xmin

22. 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 raspon = 12 - 7 = 5 raspon = 12 - 7 = 5 Nedostatak raspona • Ignoriše oblik raspodele podataka • Osetljiv na ekstremne vrednosti 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5 raspon = 5 - 1 = 4 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120 raspon = 120 - 1 = 119

23. medijana (Q2) Q3 Xmax Xmin Q1 25% 25% 25% 25% 12 30 45 57 70 interkvartilni raspon = 57 – 30 = 27 Interkvartilni raspon • Rasipanje unutar srednjih 50%: Q3 – Q1 • Nema uticaja ekstremnih vrednosti primer:

24. Srednje apsolutno odstupanje - So Srednje apsolutno odstupanje (obeležava se sa So) određuje se tako što se zbir apsolutnih vrednosti pojedinačnih odstupanja svakog člana niza od srednje vrednosti podeli ukupnim brojem članova niza:

25. Varijansa • Prosečno (približno) kvadratno odstupanje vrednosti od srednje vrednosti • Izraz za izračunavanje: • N – 1 – broj stepena slobode

26. Standardna devijacija • Najčešće korišćena mera varijacije • Pokazuje varijaciju oko srednje vrednosti • Kvadratni koren iz varijanse • Izražava se u istim jedinicama kao i osnovni podaci

27. Broj stepena slobode - df, θ, φ • φ = N - 1 • φ - broj nezavisnih poredjenja • x1 i x2 nezavisne vrednosti, φ = 2

28. Standardna devijacija - Sd Podaci: 4,9 6,37,7 8,9 10,3 11,7

29. Sd - grupisani podaci

30. Standardna devijacija iz razlike parova U 12 uzoraka seruma određena glukoza u duplikatu

31. mala standardna devijacija velika standardna devijacija Značenje standardne devijacije

32. grupa A sr. vrednost = 15.5 SD = 3,338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 grupa B sr. vrednost = 15.5 Sd = 0,926 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 grupa C sr. vrednost = 15.5 Sd = 4,567 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Poređenje standardnih devijacija

33. Osobine varijanse i standardne devijacije • Svaka vrednost se koristi u izračunavanju • razlika u odnosu na raspon i interkvartilni raspon • Veliki uticaj ekstremnih vrednosti • izračunava se kvadrat odstupanja od srednje vrednosti

34. Koeficijent varijacije - Kv • Mera relativne varijacije (u odnosu na srednju vrednost) • Uvek se izražava u % • Omogućava poredjenje više grupa podataka, čak i kada su izraženi u različitim jedinicama

35. Poređenje koeficijenata varijacije • Grupa A: • srednja vrednost = 50 • standardna devilacija = 5 • Grupa B: • srednja vrednost = 100 • standardna devilacija = 5

36. levostrana simetrična desnostrana = Me = Mo Me Me Mo Mo Asimetrija raspodele • Pokazuju kako su podaci distribuirani • zakrivljenost i zašiljenost

37. Numeričke mere za populaciju i uzorak • Statistički parametri koji se izračunavaju iz populacije opisuju osobine populacije • Statistički parametri koji se izračunavaju iz uzorka opisuju osobine uzorka • Srednja vrednost populacije – μ • Srednja vrednost uzorka – • Standardna devijacija populacije –σ • Standardna devijacija uzorka– Sd

38. Z-score –Standardni skor • Odstupanje posmatrane vrednosti od x izraženo u broju Sd • Z=(x -x)/Sd • Mera relativnog odstupanja • Z pozitivan – veći od većine vrednosti u skupu • Z negativan – manji od većine vrednosti u skupu

39. Z-score

40. Z-score primer • Kontrolom kvaliteta težine tableta dobijeno je 120 vrednosti iz kojih su izračunate srednja vrednost 500.5 mg i Sd 3 mg. Koliki je Z-score za tablete težine 496 mg? • Rešenje (496-500.5)/3=-1.5

41. Z-score primer 2 • Devojka je visoka 160 cm i ima z-score 0.7 u odnosu na x visinu grupe koja iznosi 168 cm. Kolika je Sd?