Uv ä znenie farby v QCD na mrie ž ke – Centr á lne vortexy a Gribovov horizont

1. Uväznenie farby v QCD na mriežke – Centrálne vortexy a Gribovov horizont + Jeff Greensite a Daniel Zwanziger JG, ŠO: Coulomb energy, vortices, and confinement, PR D67 (2003) 094503; hep-lat/0302018 JG, ŠO, DZ: Coulomb energy, remnant symmetry, and the phases of non-Abelian gauge theories,PR D69 (2004) 074506; hep-lat/0401003 JG, ŠO, DZ: Center vortices and the Gribov horizon, hep-lat/0407032 JG, ŠO, …: Localized eigenmodes of covariant Laplacians in the Yang–Mills vacuum, in preparation http://www.dcps.savba.sk/olejnik/seminars/praha05.pps

2. Časť I.Úvod do kvantovej chromodynamiky na mriežke

3. Kvantová chromodynamika • Kvantová chromodynamika je kalibračná teória interakcií farebných kvarkov, antikvarkov a gluónov s neabelovskougrupou symetrie SU(3). • Lagranžián: • Tenzor farebného poľa: • Interakčné vrcholy:

4. Význačné vlastnosti QCD • Lokálna kalibračná invariantnosť: • Renormalizovateľnosť. • Asymptotická voľnosť. • Uväznenie farby:Kvarky, antikvarky a gluóny sa vyskytujú len v „bezfarebných“ stavoch, t.j. singletoch grupy SU(3). Môžu to byť singletné stavy kvarku a antikvarku (mezóny), troch kvarkov alebo antikvarkov(baryóny resp. antibaryóny), dvoch či troch gluónov(tzv. gluóniá) a iné. • Nevyhnutnosť použiť neporuchové metódy.

5. Čo nás zaujíma v kvantovej teórii poľa? • Výpočet Greenových funkcií: • Wickova rotácia: • Príklad:

6. Spojitý priestor nahradíme mriežkou (napr. hyperkubickou) s mriežkovoukonštantou a. Fyzikálne polia v spojitých bodoch časopriestoru nahradíme poľami, definovanými na prvkoch mriežky (v uzloch, na spojoch, na plaketách, atď.). Systém vložíme do konečného objemu V=L3£ T a naň naložímevhodné, obyčajne (anti)periodické okrajové podmienky. Prechod na časopriestorovú mriežku

7. Na čo slúži mriežka? • Matematicky korektná definícia dráhového integrálu. • Neporuchová regularizácia kvantovej teórie poľa, odrezané sú hybnosti p O(1/a). • Výpočet dráhového integrálu je možné uskutočniť numericky, bez použitia poruchovej teórie. • Lokálna kalibračná invariantnosť je zachovaná, rotačná a translačná invariantnosť je (sčasti) narušená.S chirálnou symetriou sú problémy.

8. Fyzikálne premenné: Tenzor poľa: Kalibračná invariantnosť: Kalibračné polia na mriežke

9. Účinok pre kalibračné polia: • Greenove funkcie: • Problémy s fermiónmi: grassmannovské premenné, nelokálnosť efektívneho účinku, nefyzikálne póly (doubling), chirálna limita.

10. Wilsonovo kritérium uväznenia • Wilsonova(–Wegnerova) slučka – meria magnetický tok cez slučku C, resp. kreuje elektrický prúd pozdĺž C: • Wilsonovo kritérium: • Medzikvarkový potenciál, strunové napätie:

11. Uväznenie kvarkov v limite silnej väzby • Silná väzba [SU(2)]:

12. Grupové integrály: Wilsonova slučka musí byť „pokrytá“ plaketami: Toto však nedokazuje uväznenie vo limite slabej väzby!

13. Metóda Monte Carlo • Na mriežke počítame mnohonásobný integrál: • Metropolisov algoritmus: • Meníme Una U’tak, aby bola splnená podmienka detailnej rovnováhy. • Ak S(U’)< S(U), zmenu akceptujeme. • Ak S(U’) S(U), zmenu akceptujeme s pravdepodobnosťou e-S(U’)/ e-S(U). • Vedie k rovnovážnemu rozdeleniu Peq(U) ~ e-S(U).

14. Spojitá limita • Na mriežke vždy meriame bezrozmerné veličiny. Aby sme určili m, meriame v skutočnosti ma. • Fyzikálne relevantný je pomer mk rozmernému parametru QCD LL : • Vďaka asymptotickej voľnosti sa dáaLL vyrátať pomocou poruchovej teórie: • Ak ma zodpovedá fyzikálnej veličine:

15. Príklad – medzikvarkový potenciál

16. Je QCD na mriežke len pre bohatých? • Kvantitatívny smer: snaha o výpočet vlastností hadrónov, ich hmotností, šírok rozpadov, atď., maticových elementov rôznych silných procesov z prvých princípov, vychádzajúc zo znalosti hodnôt základných parametrov, ktoré vystupujú v lagranžiáne QCD. • Teraflopy, veľké peniaze. • Kvalitatívny smer: úsilie o pochopenie a opísanie fyzikálneho mechanizmu rôznych javov, napr. uväznenia alebo naruženia chirálnej symetrie. • Menšie počítače, zjednodušené modely.

17. Časť II.O slonovi, slepcoch a dvoch modeloch uväznenia

18. Modely uväznenia farby v QCD • Prvý prístup: snažiť sa nahradiť konfigurácie kalibračných polí [SU(N) matice na spojoch mriežky] niečím jednoduchším, čo reprodukuje podstatné javy fyziky uväznenia: • Abelovské monopóly. • Centrálne vortexy. • Instantóny. • Meróny. • Druhý prístup: hľadať, aká časť konfiguračného priestoru kalibračnej teórie spôsobuje nekonečnú energiu izolovaných farebných nábojov a lineárny rast potenciálu medzi statickým kvarkom a antikvarkom. • Gribovov–Zwanzigerov mechanizmus.

19. It was six men of Indostan To learning much inclined, Who went to see the Elephant (Though all of them were blind), That each by observation Might satisfy his mind […] John Godfrey Saxe (1816-1887), americký básnik The Blind Men and the Elephant • Moral: • So oft in theologic wars, • The disputants, I ween, • Rail on in utter ignorance • Of what each other mean, • And prate about an Elephant • Not one of them has seen! • [Nahradiť: theologic … physical?] • J. Hošek: „Faktickým důsledkem současné existence n různých modelů confinementu je, že nejméně n-1 z nich je špatných.“

20. Uväznenie a centrálne vortexy • Centrum grupy hrá dôležitú úlohu pri uväznení: V prípade grupy SU(N) sa reprezentácie grupy rozpadajú na N „reprezentačných tried“ (charakterizované sú tzv. N-alitou) podľa toho, ako sa daná reprezentácia Lieovej grupy transformuje pri transformáciách zo ZN. Potenciály pre kvarky z rôznych reprezentácií budú mať strunové napätie, ktoré závisí iba od N.

21. Tenký vortex • ED:

22. ‘t Hooftov operátora kritérium uväznenia • Neabelovský prípad: Singulárna kalibračná transformácia kreuje tenký centrálny vortex. • ‘t Hooftov operátor:

25. Identifikácia centrálnych vortexov na mriežke:Centrálna projekcia v maximálne centrálnej kalibrácii • Uskutočníme kalibračnú transformáciu [SU(2)]: tak, aby bol maximálna hodnota veličiny: • Centrálna projekcia: • Interpretácia MCK: optimálny fit reálnej konfigurácie súborom tenkých centrálnych vortexov.

26. Výsledky štúdia vortexov v mriežkových konfiguráciách • Dominantnosť centra grupy. • Predčasná linearita. • P-vortexy lokalizujú centrálne vortexy. • P-vortexy lokalizujú fyzikálne objekty. • Centrálne vortexy sú korelované s uväznením kvarkov, narušením chirálnej symetrie a topologickými vlastnosťami teórie. • Prechod medzi fázou uväznenia a fázou bez uväznenia možno chápať ako prekolačný fázový prechod. • Abelovské monopóly sú korelované s P-vortexami.

27. Scenár uväznenia v coulombovskej kalibrácii • Maxwellove rovnice v elektrodynamike: • Coulombovská kalibrácia: • Ostávajúca voľnosť: • Klasický hamiltonián:

28. Klasický hamiltonián QCD in coulombovskej kalibrácii: • Faddejevov—Popovov operátor:

29. Gribovovaoblasť (GO):množina priečnychpolí, pre ktoré je F-P operátor pozitívny; lokál. minimáI. Gribovov horizont:hranica GO. Fundament. modulárnaoblasť (FMO): absolútne minimáI. GO a FMO sú konvexné a ohraničené oblasti. Scenár uväznenia: Rozmernosť konfiguračného priestoruje obrov-ská, preto je možné očakávať, že väčšinarelevantných konfigurácií sa nachádza blízko horizontu. Ak je hustotakonfigurácií pri horizonte veľká, spôsobí výrazné zvýšenie coulombovskej interakčnej energie páru a uväzneniekvarkov. Gribovovanejednoznačnosť and kópie

30. Podmienka uväznenia cez stavy F-P operátora • Coulombovská vlastná energiaizolovaného farebného náboja: • F-P operátor v SU(2):

31. Vlastné stavy F-P operátora:

32. Nevyhnutná podmienka divergencie e: • V nultom ráde v silnej väzbovej konštante: • Aby boli farebné náboje uväznené, je potrebný nejaký mechanizmus, ktorý zvyšuje r(l) a F(l) v oblasti malýchl.

33. Tri súbory konfigurácií • Úplné Monte Carlo konfigurácie: • “Vortexové” konfigurácie: • “Bezvortexové” konfigurácie: • Odstránenie vortexov: • odstráni strunové napätie, • obnoví chirálnej symetrie, • vynuluje topologický náboj konfigurácií. • Philippe de Forcrand, Massimo D’Elia, hep-lat/9901020 • Každý z troch súborov bol prevedený do coulombovskej kalibrácie maximalizovaním veličiny (pre každý čas t):

34. Úplné konfigurácie

37. Vortexové konfigurácie

40. Bezvortexové konfigurácie

41. Poučenia • Úplné konfigurácie: Správanie hustoty vlastných hodnôt a F(l) pri malýchlje konzistentné s divergentnou coulombovskou vlastnou energiou stavov s farebnými nábojmi. • Vortexové konfigurácie: Vortexový obsah konfigurácií je zodpovedný za zvýšenie hustoty vlastných hodnôt a F(l) v okolí nuly. • Bezvortexové konfigurácie: Predstavujú len malú poruchu k teórii bez interakcie.

42. Kalibračná teória s higgsovským poľom • Osterwalder, Seiler ; Fradkin, Shenker, 1979; Lang, Rebbi, Virasoro, 1981 Vortex depercolation Vortex percolation

43. Fáza „uväznenia“

45. „Higgsovská“ fáza

46. Coulombovská energia statického páru • Fyz. stav s kvark-antikvark. párom v coulomb. kalibrácii: • Korelátor dvoch Wilsonových čiar: • Potom:

47. Meranie coulombovskej energiena mriežke • Korelátor na mriežke: • Otázky: • RastieV(R,0) lineárnesRpri veľkýchb? • Jescoul rovnaké akosasympt? • Čo sa stane, keď odstránime centrálne vortexy?