第一篇复变函数论

第一篇复变函数论 第一篇复变函数论

第一章复变函数 重点 1、复数的三种表示及其相互转换； 2、Cauchy-Riemann方程的应用； 3、解析函数及其实部或虚部的求解方法。

y x 3）一个复数对应复平面上的一个向量。 z=x+iy 大小：（向量长度）方向：与x轴夹角（记作幅角）第一章复变函数 §1、1 复数概念及其表示 1、复数:在x、y轴上任意二实数（x，y）总可以定义数z=x+iy, 称z为x,y 复平面上的复数 1）一个复数可以表示复平面上的一点。 2、复数的意义： 2）i称为虚单位 i×i=(-1)

θ称为复数z的幅角, 用argz表示，于是有：Argz=argz+2kp . 0的辅角没有意义如何用复数z的实部x和虚部y表示幅角的主值argz 考虑到：

|Z|= 3、复数的三种表示(数学表示)： z=x+iy 1).代数式 2).三角式 3).指数式由欧拉公式 4、复数的运算

1）和： • 几何意义（几何表示） z2 和的意义差的意义 2）差： -

= 给定一个 z，有n个值，辅角相差的整数倍 3）积：代数式运算三角运算指数运算：推论

= = = = = / = = 4）、商：代数式运算：三角式运算：指数式运算：（便于除法）

= （同一表示） 5）、共轭：共轭复数复数代数式表示 z=x+iy 三角式表示指数式表示

补充：

思考 1 复数共有几种表示？ 2 实数是一维的，复数是二维的，怎么理解？

例1 将 化为三角表示和指数表示. 解: (在第三象限) 三角式: 指数式:

例2 设 求与与例3 设求解:

例4: 计算 的数值解:

z2 z z1 y 2 x 例5：求下列方程所表示的曲线 -2 -1 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ =4 解：（1）|z+i|=2 即是 (x,y) |x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2 (0,-1) 表示圆心在（0，-1）半径2的圆（2）|z-2i|=|z+2| 表示到点2i和到-2两点距离相等点的轨迹。既过原点的直线

y (3)、Im(i+ x A y=-3 S 所以1-y=4 是y=-3的直线 5、复平面与复数球之关系

A S (1)、S位于平面上的坐标原点。 (2)、复平面上的有限远点与球面上的点一一对应。 (3)、复平面上的无限远点对应与球面上北极点N。 (4)、无限远点的模为无限大，其辐角无明确意义。

作业：P6 1（2）、（3）、（5） 2（1）（4）（5）（6） 3（1）（4） Homework

复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点（每一个Z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 与之相对应，则称为Z的函数-复变函数,Z称为的宗量。定义域为E，记作, y x §1、2 复变函数一、复变函数的定义与定义域： 1、复变函数定义：

y v x u ：代表了z（ x-y ）复平面到w（ u-v ）复平面的转换; 一个复平面上点集在另一个复平面上点集的映射。定义域例：则：

y x §1、2 复变函数一、复变函数的定义与定义域： 1、复变函数定义：复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点（每一个Z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称为Z的函数-复变函数,Z称为的宗量。定义域为E，记作, 2、定义域及相关的概念：（1）定义域：函数宗量定义的区域。

以复数为圆心，任意小正实数 为半径作一圆，圆内所有点的集合，称的邻域若及其邻域属于点集E ；则称点为点集E的内点。 y y 内点的定义，不只是对于一点而言。及其邻域均不属于点集E，则称 x x 为点集E的外点。（2）邻域：注（a）任意小的正数为半径，该圆面积可以无穷小. （b）圆内所有点不包括圆周上的点. （c）对一点而言有无穷多个邻域. （3）内点与外点：内点外点

点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也有不属于E的点。点点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也有不属于E的点。点称为该点集E的境界点。 y x （4）境界点与境界线：境界点（边界点）境界线（边界线）境界点的全体。（5）区域与闭区域：是宗量z在复数平面上的取值范围，且满足（1）、全由内点组成（2）、具有连通性记作B。区域集合中任意两点都可用一折线连接起来且折线上的点全都属于该集合。连通性

可以缩成一点 单连通区域复连通区域不都是缩成一点 ii)连通性区域和境界线上的点构成的集B+L=B 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折线上的点全都属于该集合。连通性 C 注 i)区域是开集对于区域B来说，如果其中任做简单闭合曲线，曲线的内部总属于B。如果区域不是单连通闭区域

y x 以（1+2i）为圆心的圆环区域？单连通区域？复连通区域

(m,n为整数) 二、常见复变函数定义： 1、多项式函数： (n为整数) 2、有理式函数: 3、根式函数

4、三角函数 5、双曲函数 6、指数函数 7、对数函数

1) 具有周期性,周期分别是注 1) |sinz|= |cosz|= 2) 可以大于1,与实数领域不同.

计算下列函数值 1) 2) ln(-1) 3) 是多值函数，在复数域中，负实数的对数是有意义的。例1 解: 1)

设那么，的充要条件是三、复变函数的极限和连续性： 1、函数的极限定理（证明略）定理1 复变函数的极限可以化为两个实变函数的极限。

如果 , 则有: 定理2 1) 2) 3) 复变函数的极限运算规则与实变函数的相同. Homework P9 3

y y y v x x x u 复习：复变函数一、复变函数的定义与定义域： 1、复变函数定义：复变函数一元实变函数几何表示定义域是个点集代表了两个复平面之间的转换

可以缩成一点 单连通区域复连通区域点集不都是缩成一点 y y x x 邻域：内点外点边界点与边界线：区域连通性闭区域

二、常见复变函数定义： 1.2.1~1.2.10

设那么，的充要条件是三、复变函数的极限和连续性： 1、函数的极限定理（证明略）定理1 复变函数的极限可以化为两个实变函数的极限。

如果 , 则有: 定理2 1) 2) 3) 复变函数的极限运算规则与实变函数的相同.

一个复变函数对应两个实变函数 若复函数f(z)在点及其邻域内确定，且有即 §1、3 函数的导数 1、函数的连续性则f(z)在z0必连续.(证明略) 复函数的连续实部和虚部连续可见实变函数连续性方面的定理，总是可以适用于复变函数中

若函数 是单值函数,当z在z0 的邻域内沿一切方向,按任何方式趋于点z0时,若极限 2、导数的定义与公式可导一定是连续的，连续的不一定可导 1) 导数的定义具有同一有限值,称f(z)在点z0是可导（可微）的,此极限值为f(z)在点z0的导数（微商）. 记作: 复函数的可导实部和虚部可导

考察沿平行x轴和平行y轴趋于0两种情况下函数的极限. 例：求下列复函数是否可导？（1）平行x轴方向z→0 W=Re（z）在复平面内处处不可导 y=0 （2）平行y轴方向z→0 x=0

2) 常用的导数公式

实数表示 已有了导数／微商的概念，下面看微分：

思考理解： 存在可导比连续更高级可导一定是连续的，连续的不一定可导函数的实部与虚部连续此函数连续函数的实部与虚部可导此函数可导 C---R条件

考察一下 沿实轴和虚轴趋于0两种情况下函数的极限. ( y一定时 1) 平行于实轴趋于0时 3、Cauchy-Riemann方程

= + = 2）平行于虚轴趋于零时 =i (x一定, ) = + =

3）结论------Cauchy-Riemann方程 如果f(z)在点z的导数存在,因为两种方式趋近于零，其极限值应相等则有 Cauchy-Riemann方程在极坐标系下的形式为

1)、 存在，且连续 4、Cauchy-Riemann方程的物理意义 i)将复变函数的实部和虚部联系起来， ii)由方程的实部可求出虚部或反之。Ｃ－Ｒ条件→可导可导→Ｃ－Ｒ条件Ｃ－Ｒ条件是可导的必要条件 5、复变函数可导的充要条件： 2)、f(z)的u、v 满足C—R方程

1)、 存在，且连续 2)、f(z)的u、v 满足C—R方程（证明略）证明: 由条件１）：由条件２）：证毕

求可导函数的四个公式： Ｃ－Ｒ条件

思考： （１）对任一复函数，只要求出上面四个式子中任一式子存在，就可以证明此复函数是可导的？（２）证明一复函数可导有哪几种方法？（１）充要条件法（C-R条件； ux、uy、vx、vy存在且连续）（２）定义法（３）直接求出此函数的导数

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