NORMALLİK, BASIKLIK, ÇARPIKLIK

1. NORMALLİK, BASIKLIK, ÇARPIKLIK

2. İŞLENECEK KONULAR Ortalama, Ortanca ve Mod’un karşılaştırılması Değişim Katsayısı Normallik Basıklık Çarpıklık Z Puanı

3. ARİTMETİK ORTALAMA MEDYAN VE MODUN KARŞILAŞTIRILMASI NORMAL DAĞILIM Üç merkezi eğilim ölçüsünün (aritmetik ortalama, mod ve medyanın) birbirine eşit olduğu durumda dağılım normal bir dağılım göstermiştir. Aritmetik ortalama dağılımdaki tüm puanlar dikkate alınarak hesaplandığı için normal dağılımın olduğu durumda en kararlı ve en doğru sonucu veren merkezi eğilim ölçüsü aritmetik ortalamadır ve ileri düzey matematiksel işlemler içinde en uygun merkezi eğilim ölçüsüdür. Mod = Medyan = Aritmetik Ortalama

4. ARİTMETİK ORTALAMA MEDYAN VE MODUN KARŞILAŞTIRILMASI ÇARPIKLIK Dağılım uç değerlerde belli bir birikim sonucu olarak sağa ya da sola çarpık bir biçimde oluşuyorsa uygun olan merkezi eğilim ölçüsü ortancadır. Çünkü ortalama puanların daha az gözlendiği çarpık tarafa doğru eğilim gösterirken ortanca bu çarpıklıktan etkilenmeyecektir.

5. ARİTMETİK ORTALAMA MEDYAN VE MODUN KARŞILAŞTIRILMASI SOLA ÇARPIK DAĞILIM Sola çarpık ya da negatif çarpık olarak tanımlanan bu dağılımda kolay bir testten alınan puanların dağılımı verilmektedir. Ortalama aşırı puanların olduğu sol tarafa doğru çekilmekte ve böylece ortalama, ortancanın soluna düşmektedir. Sonuçta Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod gibi bir sıralama ortaya çıkmaktadır. Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod Sola Çarpık Dağılım

6. ARİTMETİK ORTALAMA MEDYAN VE MODUN KARŞILAŞTIRILMASI SAĞA ÇARPIK DAĞILIM Sağa çarpık ya da pozitif çarpık olarak tanımlanan bu dağılımda zor bir testten alınan puanların dağılımı verilmektedir. Ortalama aşırı puanların olduğu sağ tarafa doğru çekilmekte ve böylece ortalama, ortancanın sağında kalmaktadır. Sonuçta Mod < Medyan < Aritmetik Ortalama gibi bir sıralama ortaya çıkmaktadır. Mod < Medyan < Aritmetik Ortalama Sağa Çarpık Dağılım

7. DEĞİŞİM KATSAYISI (V) Yüzde olarak gösterilir ve ölçümler arasındaki değişimin azlığı ya da çokluğu hakkında bilgi verir. Farklı birimlere sahip verilerin dağılımını karşılaştırmak için kullanılır. Gruplar arası karşılaştırmada V’si küçük olan grubun diğerine göre daha benzeşik olduğu söylenir. Standart sapmanın ortalamaya bölünmesiyle elde edilen değin yüz ile çarpımına eşittir.

8. DEĞİŞİM KATSAYISI (V) Tek bir grubun ilgilenilen değişken bakımından benzeşik olup olmadığını karşılaştırmada % 50 sınır değeri ölçüt olarak kabul edilir. Değişim Katsayısı % 50’den küçükse grup benzeşik, değilse ayrışık olarak yorumlanabilir.

9. NORMAL DAĞILIM Normal dağılım, çan biçiminde sağ ve sol alanları birbirine eşit, simetrik bir eğridir. Bu özelliği sebebiyle çan eğrisi olarak da adlandırılır. Standart normal dağılım altındaki puanların ortalaması 0 ve standart sapması 1’dir. Ortalamanın sol tarafındaki (altındaki) birimler negatif (-1, -2, -3), ortalamanın sağ tarafındaki (üstündeki) birimler (+1, +2, +3) pozitiftir. Mod = Medyan = Aritmetik Ortalama

10. NORMAL DAĞILIM Standart normal dağılım eğrisi şu özelliklere sahiptir: • Eğri dikey eksene göre simetriktir. • Puanlar merkez (ortalama ya da dikey eksen) etrafında kümelenme gösterir. • Mod, medyan ve aritmetik ortalama grubu tam ortadan ikiye ayırır. • Dağılımın her iki ucu giderek yatay eksene yaklaşır. Ancak hiçbir zaman bu eksene değmez. Normal dağılım eğrisi altındaki alan sınırsızdır. • Mod=Medyan=Aritmetik ortalama birbirine eşittir. • Çarpıklık Katsayısı = 0’dır. • Normal dağılım eğrisinin ortalaması 0 ve standart sapması 1’e eşittir.

11. NORMAL DAĞILIM Eğer dağılım normal dağılım özelliği gösteriyor ise sınırları içinde gözlemlerin %68 i bulunur. σ + 1 σ _ X 68% + 1 σ _

12. NORMAL DAĞILIM İki standart sapma sınırları içinde gözlemlerin %95 i, üç standart sapma sınırları içinde gözlemlerin %99.7 si bulunur. + 2 σ _ + 3 σ _ 95% 99.7% + 3 σ _ + 2 σ _

13. ÇARPIKLIK Bir dağılımda ortalama ve ortanca ayrı ayrı noktalar üzerinde ise dağılım çarpıktır. Çarpıklık katsayısının 0’dan küçük olması çarpıklığın sola (negatif) büyük olması ise sağa (pozitif) doğru olduğunu sıfıra eşitse dağılımın ortalamaya göre simetrik olduğunu gösterir. Çarpıklık, bir dağılıma ilişkin ölçme sonuçlarının nasıl dağıldığı hakkında bilgi verir. Çarpıklık katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanır: 3 (Ortalama – Medyan) Çarpıklık katsayısı = Standart Sapma 13

14. BASIKLIK Dağılımın genişliği yorumlanmak istenirse basıklık katsayısı kullanılır. Basıklık katsayısının 0’dan küçük olması dağılımın basık, büyük olması sivri, sıfıra eşit olması ise dağılımın standart normal dağılıma uygun olduğunu gösterir. 14

15. STANDART PUANLAR Standart puanlar, ham puanların standart bir dağılıma dönüştürülmesidir. Bu amaçla kullanılan Z ve T gibi dönüştürme formülleri vardır. Farklı sınıflardaki öğrencilerin aynı dersten aldıkları puanlara bakarak bir karşılaştırma yapmak yanıltıcı olur. Karşılaştırmanın yapılabilmesi için, önce ham puanların ortak bir puan sistemine, yani Z ve T puanlarına çevrilmeleri gerekmektedir.

16. STANDART PUANLAR Yapılan ölçümlerin sonucu elde edilen puanların aritmetik ortalamasının 0 standart sapmasının 1 kabul edildiği puanlardır. Z puanı kişinin puanının sınıf ortalamasından kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir. Z puanı normal dağılım gösteren standart bir puandır. Z puanı aşağıdaki formülle hesaplanır. Z PUANI

17. STANDART PUANLAR Z PUANI ÖRNEK Bir öğrencinin kimya ve tarih derslerine ilişkin betimsel istatistikler: Bu öğrencinin kimya dersine ilişkin standart puanı; Bu öğrencinin tarih dersine ilişkin standart puanı; Bu sonuçlara baktığımızda, öğrencinin kimya dersi Z puanı tarih dersi Z puanından daha büyük olduğundan, kimya dersinden daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz.

18. STANDART PUANLAR Z PUANI ÖRNEK Ali, matematik sınavında sınıfın aritmetik ortalamasından 1 standart sapma (+1Sx) yüksek puan almıştır. Ali bu sınavdan 1z puanı almıştır. “Ali sınıfın % kaçından başarılıdır?” sorusu için dağılımın solundaki alanlar 1z puanına kadar toplanır: 0,13 + 2,15 + 13,59 + 34,13 + 34,13 = 84,13 Ali matematik sınavında sınıfın %84,13’ünden daha iyi puan almıştır.

19. STANDART PUANLAR Z PUANI ÖRNEK “1z alan Ali sınıfın yüzde kaçından daha başarısızdır?” sorusu için z puanının sağına düşen alanlar alınan puana kadar toplanır: 0,13 + 2,15 + 13,59 = 15,87 Ali matematik sınavında sınıfın %15,87’sinden daha düşük puan almıştır.

20. STANDART PUANLAR T puanı, Z puanı ile ilgili bazı problemlerin (negatif puanlar, sıfır puan, kesirli puanlar) üstesinden gelmek için kullanılan, ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan normal dağılım gösteren ve tüm değerleri pozitif olan standart bir puandır. T PUANI ). 10 X - . S ( 50 + T = T = 50 + 10 * Z

21. STANDART PUANLAR T ve Z PUANLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

22. Teşekkürler.