1 / 28

Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną

Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną. Opis zadania. Dla dystrybuanty F(x) , która ma dobrze określoną funkcję odwrotną : losujemy niezależnie liczby u 1 , u 2 , . . . , u n z rozkładu jednostajnego U [0, 1];

tamal
Download Presentation

Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną

  2. Opis zadania Dla dystrybuanty F(x),która ma dobrze określoną funkcję odwrotną: • losujemy niezależnie liczby u1, u2, . . . , unz rozkładu jednostajnegoU[0, 1]; • przekształcamy xk = F−1(uk) dlak = 1, 2, . . . , n; • przez Sn(x)oznaczamy ilość tych elementów ciągux1, x2,..., xn, których wartośćjest mniejsza niż x. • nazywamy dystrybuantą empiryczną. • Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant Foraz dla kilku rzędów parametru n porównać (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę empirycznąFn(x)z dystrybuantą teoretyczną F(x).

  3. Dystrybuanta empiryczna a PWL • Zauważamy, że Snoznacza ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego, gdzie sukces w i-tej próbie to zdarzenie {Xi < x} , a p=F(x) • Zatem Sn ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p=F(x) • Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika: • Co oznacza, że dla odpowiednio dużego nFn(x)≈F(x), czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem dystrybuanty teoretycznej

  4. Rozkład wykładniczy n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0210044 Największe odchylenie: 0,324

  5. Rozkład wykładniczy n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00193983 Największe odchylenie: 0,1799

  6. Rozkład wykładniczy n=100 Błąd średniokwadratowy: 0,000781755 Największe odchylenie: 0,0281

  7. Rozkład wykładniczy n=1000 Błąd średniokwadratowy: 1,6035 · 10-7 Największe odchylenie: 0,0006999997

  8. Rozkład Cauchy’ego n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,00684262 Największe odchylenie: 0,0965

  9. Rozkład Cauchy’ego n=20 Błąd średniokwadratowy: 7,5326 · 10-5 Największe odchylenie: 0,0381

  10. Rozkład Cauchy’ego n=50 Błąd średniokwadratowy: 0,000646874 Największe odchylenie: 0,0256

  11. Rozkład Cauchy’ego n=100 Błąd średniokwadratowy: 1,43857 · 10-5 Największe odchylenie: 0,0038

  12. Rozkład Cauchy’ego n=1000 Błąd średniokwadratowy: 1,59877 · 10-7 Największe odchylenie: 0,0003999

  13. Rozkład arcsin n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,00706723 Największe odchylenie: 0,1878

  14. Rozkład arcsin n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,000405924 Największe odchylenie: 0,0442997

  15. Rozkład arcsin n=100 Błąd średniokwadratowy: 0,000122224 Największe odchylenie: 0,0110998

  16. Rozkład arcsin n=500 Błąd średniokwadratowy: 2,54179 · 10-7 Największe odchylenie: 0,0014028

  17. Rozkład arcsin n=2000 Błąd średniokwadratowy: 8,76349 · 10-8 Największe odchylenie: 0,000296098

  18. Rozkład Pareto z param. 2 n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0285624 Największe odchylenie: 0,1733

  19. Rozkład Pareto z param. 2 n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00223757 Największe odchylenie: 0,0477

  20. Rozkład Pareto z param. 2 n=100 Błąd średniokwadratowy:0,000619006 Największe odchylenie: 0,0249999

  21. Rozkład Pareto z param. 2 n=500 Błąd średniokwadratowy: 4,75187 · 10-5 Największe odchylenie: 0,00690007

  22. Rozkład Pareto z param. 2 n=2000 Błąd średniokwadratowy: 4,00494 · 10-8 Największe odchylenie: 0,000400007

  23. Rozkład kwadratowy n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0262666 Największe odchylenie: 0,183

  24. Rozkład kwadratowy n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00031811 Największe odchylenie: 0,0185

  25. Rozkład kwadratowy n=100 Błąd średniokwadratowy: 2,99292 · 10-6 Największe odchylenie: 0,0173001

  26. Rozkład kwadratowy n=1000 Błąd średniokwadratowy: 4,57001 · 10-9 Największe odchylenie: 0,0021

  27. Wnioski: • Gdy liczba prób o rozkładzie, którego dystrybuanta wynosi F(x), dąży do nieskończoności to dystrybuanta empiryczna tych prób dąży do dystrybuanty teoretycznej • Niektóre dystrybuanty empiryczne dążą szybciej do odpowiadającym im dystrybuant teoretycznych. • Przy odpowiedniej liczbie prób możemy rozpoznać jakiego typu jest przybliżana dystrybuanta

  28. Dziękujemy za uwagę!

More Related