El triángulo: vértices, ángulos y lados

1. El triángulo: vértices, ángulos y lados Los vértices y ángulos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C B c a Los lados se nombran con letras minúsculas: a, b, c (en posición opuesta a los vértices) C A b B Propiedad: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo llano(ángulo de 180º) A C A + B + C = 180º

2. Matemáticas. 1º E.S.O. Tipos de triángulos según sus ángulos Acutángulo: los tres ángulos son agudos Rectángulo: uno de los ángulos es recto (90º) Obtusángulo: uno de los ángulos es obtuso Agudos Obtuso 90º En un triángulo rectángulo, al lado mayor se le llama hipotenusa y a los otros dos catetos Hipotenusa Catetos

3. a a a a a Tipos de triángulos según sus lados Equilátero: los tres lados son iguales Isósceles: dos lados iguales y uno desigual Escaleno: los tres lados desiguales b a c b

4. B c a C A b Matemáticas. 1º E.S.O. El triángulo: alturas y ortocentro Altura: perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto Ortocentro: punto donde se cortan las alturas

5. B a c A C b El triángulo: mediatrices y circuncentro Mediatriz: recta perpendicular a cada lado que pasa por su punto medio Circuncentro: punto donde se cortan las mediatrices El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por cada uno de los vértices del triángulo Circunferencia circunscrita

6. B a c A C b El triángulo: medianas y baricentro Mediana: recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto Baricentro: punto donde se cortan las medianas

7. B a c A C b El triángulo: bisectrices e incentro Bisectriz: recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos partes iguales Incentro: punto donde se cortan las bisectrices El incentro es el centro de la circunferencia inscrita Circunferencia inscrita

8. a b c Matemáticas. 1º E.S.O. Teorema de Pitágoras a2 b2 En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a2 = b2 + c2 c2

9. 20 cuadraditos c2 a2 100 cuadraditos b2 64 cuadraditos 16 cuadraditos Teorema de Pitágoras (continuación) Matemáticas. 1º E.S.O. c2 36 cuadraditos a2 100 cuadraditos b2 64 cuadraditos + = + =

10. Los cuadriláteros: clasificación Cuadrilátero convexo Cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados Cuadrilátero cóncavo Clasificación de los cuadriláteros convexos Trapezoides: no tienen lados paralelos Trapecios: sólo tienen dos lados paralelos Paralelogramos: tienen los cuatro lados paralelos dos a dos

11. DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS TENEMOS: PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS

12. Los paralelogramos: clasificación Romboide: paralelogramo más general, con dos pares de lados paralelos Rombo: paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales Rectángulo: paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos Cuadrado: paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos

13. Piensa un poco • Tiene los cuatro lados iguales: a) Sólo elcuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo 2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos: a) El cuadrado b) El rectángulo y el romboide c) El rombo 3. Sus cuatro ángulos son iguales : a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo c) El cuadrado y el rectángulo 4. Sus diagonales son perpendiculares: c) El cuadrado y el romboide a) El cuadrado c) El cuadrado y el rombo

14. Área de los paralelogramos Rectángulo y romboide h h b b Área = base  altura A = b  h D Cuadrado Rombo d l Área = lado  lado A = l  l = l2

15. A h B C b Área del triángulo D El área del paralelogramo ABCD es, como sabemos Área = base  altura A = b  h Por tanto, como el triángulo ABC es la mitad

16. b h h h B B B + b Área del trapecio b b B Área del paralelogramo = = base  altura = (B + b)  h Por tanto, como el trapecio es la mitad

17. Área de un polígono regular A la altura de cada triángulo se le llama apotema del polígono Todo polígono regular puede descomponerse en triángulos iguales Observa el hexágono, trazamos los radios y obtenemos seis triángulos equiláteros. a El área de cada triángulo será b El área del hexágono será el área de uno de los triángulos multiplicada por 6 Como 6  L (6 veces el lado) es el perímetro del hexágono, resulta

18. L Sustituyendo 6 x L por el perímetro, nos dará la fórmula del área del hexágono a apotema Por tanto, el área del hexágono y de cualquier polígono regular, será

19. La circunferencia y el círculo Circunferencia: lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia (radio) de uno fijo (centro) Círculo: superficie encerrada en el interior de una circunferencia centro radio

23. Longitud de la circunferencia y de un arco de circunferencia La longitud de la circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el número , o lo que es lo mismo, al doble del radio por el número . r longitud = l= 2 ·  · r larco Aplicando una sencilla regla de tres la longitud de un arco que abarque x grados es: xº

24. r r Área del círculo Observa que cuanto mayor es el número de lados del polígono inscrito en un círculo, más se aproxima el área del polígono al área del círculo Imagina el círculo como un polígono de muchos, muchos lados. Su perímetro sería la longitud de la circunferencia (2 ·  · r) y su apotema el radio (r). Por tanto: De este modo se tiene