Transporte em Tempo Mínimo

1. Transporte em Tempo Mínimo Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br

2. Introdução • Modelo do transporte a tempo mínimo se propõe a atender as demandas de diferentes mercados no menor tempo possível. • Exemplos: produtos perecíveis devem ser transportados, ou quando suprimentos militares devem ser enviados às frentes de combate durante uma emergência. • Admite-se a existência de m fábricas com capacidade de produção , ,que devem abastecer n depósitos com demandas tais que: . • Seja o tempo gasto com o transporte do produto da fábrica i para o depósito j, independentemente da quantidade transportada.

3. Introdução • Transportes das fábricas para os depósitos podem ser feitos simultaneamente, e todas as fábricas produzem um único produto. • Para um plano de transporte: a entrega que for a mais demorada determinará o tempo requerido para se completar este plano de transporte. • Deseja-se completar todas as entregas no menor tempo possível. • T= tempo requerido para completar todas as entregas de um determinado plano de transporte  para todo par (i, j), > 0, Sendo = quantidade a ser transportada da fábrica i ao depósito j.

4. Transporte em Tempo Mínimo • Objetivo: encontrar que satisfaçam as restrições de oferta e demanda e minimizem o tempo de entrega t. •  Algoritmo usa o mesmo tipo de quadro de resolução aplicado no “Stepping stone method”. • Observações sobre as etapas de aplicação do algoritmo: • Para achar uma solução básica viável inicial: usar um método análogo ao da regra do menor custo, aplicado aos tempos de entrega. • Com um procedimento análogo ao do “Stepping Stone Method” podem ser encontradas soluções básicas viáveis melhores, se existirem. • A regra para selecionar a variável não-básica, que se tornará variável básica na próxima solução básica viável, sofre modificações.

5. Algoritmo • Passo i: achar solução básica viável inicial com m+n-1 variáveis básicas pela “regra do menor tempo de entrega”. ir ao Passo ii. • Passo ii: calcular o tempo de entrega , , associado a solução básica viável atual. ir ao Passo iii. • Passo iii: eliminar todas as variáveis não-básicas onde tij > T. (basta bloquear estes trajetos). ir ao Passo iv. • Passo iv: Colocar o valor -  para a variável básica com tij = T. Construir um ciclo de compensação com as variáveis básicas e uma das variáveis não-básicas que não tenha sido eliminada no Passo iii: Colocar +  ou -  nas células que compõem o ciclo.

6. Algoritmo • Colocar + na célula não-básica escolhida pois ela deverá receber unidades do produto das variáveis básicas “doadoras” associadas ao valor do ciclo. • Se nenhum ciclo puder ser encontrado solução básica viável atual é ótima (FIM). Caso contrário ir para o Passo v. • Passo v: aumentar  mantendo as variáveis básicas do ciclo  0. Sairá da solução básica atual a variável básica que se anularprimeiro e tem-se uma nova solução básica viável. Voltar ao Passo ii.

7. Exemplo • Achar o plano de entrega do problema de transporte a tempo mínimo, com a1 = 3, a2 = 7, a3 = 5, b1 = 4, b2 = 3, b3 = 4 e b4 = 4. Os tempos de transporte são: • Resolução:

8. Exemplo • As células não básicas têm assim nenhuma será eliminada. • A variável básica x21 tem o maior tempo de entrega colocar -  nesta célula e achar um ciclo: O2D1 • No ciclo: maior  = 2, a variável não-básica O2D2 entra, saindo a variável básica x21. A nova solução básica viável está no quadro 2: Quadro 2

9. Exemplo • O tempo de entrega T=8 da variável x22. As variáveis não básicas x21 e x34 serão eliminadas pois tem • Novo ciclo (Não básica). O maior valor para  é 2 e a nova solução básica está no quadro 3. Quadro 3

10. Exemplo • Tempo de entrega T=7, da variável básica x31. • Novo ciclo (não básica) .O maior valor para  é 2, o que implica que x12 sai para a entrada de x11 na nova solução básica. A variável básica com o maior tempo de entrega x31 permaneceu • Nesta solução atual (quadro 4) T = 7. • Quadro 4

11. Exemplo • Tempo de entrega T=7, da variável básica x31. • Novo ciclo: (Não básica) • Maior valor para  é 1  x14 será substituída por x 33 (quadro 5). Quadro 5

12. Exemplo • Tempo de entrega T=7, correspondente a variável básica x31. • Não há ciclo a partir de x31. • O quadro 5 representa, portanto uma solução ótima. Quadro 5

13. Exemplo • Plano de entrega ótimo: • Enviar 3 unidades de o1 para d1, • Enviar 3 unidades de o2 para d3, • Enviar 4 unidades de o2 para d4, • Enviar 1 unidades de o3 para d1, • Enviar 3 unidades de o3 para d2, • Enviar 1 unidades de o3 para d3, • Menor tempo possível: 7.