VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

2. Variável Aleatória Uma função X: W R que associa a cada elemento wdo espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. • A variável aleatória pode ser classificada em: • Variável aleatória discreta • Variável aleatória contínua

3. w1 w2 w3 w4 w5 w6  X x1 x2 x3 x4 1. Se os valores possíveis xi formam um conjuntoenumerável de pontos da reta, X é denominada variável aleatória discreta. 2. Se o conjunto de valores possíveis é qualquerintervalo de números reais, X é denominada variável aleatória contínua.

4. Exemplos: 1) Observa-se o sexo das crianças em famílias com três filhos (M: masculino e F: feminino). ={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)} w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M). Então X: W  R é uma v.a. discreta, pois X(wi) = {0, 1, 2, 3} (X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}). 2) Observar o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica. Defina T: tempo de tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso. Então, T: W  R. T é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real positivo.

5. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Caracterização O termo aleatório indica nossa incerteza sobre uma futura realização possível da variável observada. Função de probabilidade:Éa função que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada pela tabela: Uma função de probabilidade deve satisfazer:

6. Exemplo 1: O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres? Vamos definir a v.a. X: nº de mulheres na comissão.

7. Espaço amostral Probabilidade X Assim, P (X 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0,291 + 0,056 = 0,347.

8. Exemplo 2:Um dado é lançado duas vezes, de forma independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor do que 6?  = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Qual é a probabilidade de cada ponto wi de  ? Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo e sendo os lançamentos independentes, P(wi) = 1/36 , qualquer wi  .

9. Defina X: soma dos pontos. Função de probabilidade de X: Então, P(X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36 = 0,278

10. Podemos estar interessados em outras v.a.’s. Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos Z: diferença entre os pontos do 2º. e do 1º. lançamento U: pontos observados no 2º. lançamento

11. MÉDIA E VARIÂNCIA Qual é o valor médio da soma dos pontos no lançamento de dois dados? Valor Esperado (média): Dada a v.a. X, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médio ou valoresperado ou esperança matemáticade Xo valor Notação:  = E(X) No exemplo, para média de X ( soma de pontos), temos: E(X) = 2.(1/36) + 3.(2/36) + ... + 11.(2/36) + 12.(1/36) = 252/36 = 7 ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento dos dois dados é igual a 7.

12. = Var(X). Notação: σ2 = Notação: σ DP(X). Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn, Da relação acima, segue que Desvio Padrão:É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é,

13. 1 2 2 1 . . . . = + + + + Var(X) (2 - 7) (3 - 7) ... (11 - 7) (12 - 7) 2 2 2 2 36 36 36 36 210 = = 5 , 83. 36 1 2 2 1 . . . . = + + + + E(X ) 2 3 ... 11 12 2 2 2 2 2 36 36 36 36 1974 = = 54 , 83 36 No exemplo, Alternativamente, poderíamos calcular e, portanto, Var(X) = 54,83 – 72 = 5,83.

14. Propriedades: 1) Se X = a, em que a é uma constante, então E(X) = a e Var(X) = 0. 2) Se Y = aX + b, em que a e b são constantes, então E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b e Var(Y) =Var(aX + b) = a2 Var(X). 3) Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias, então E(X1 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).

15. MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS MODELO DE BERNOULLI Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados. • Exemplos: • uma peça é classificada como boa ou defeituosa; • o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo; • um paciente submetido a um tratamento durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; • um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; • no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5.

16. Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso-fracasso. Esses experimentos (se forem independentes e com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) recebem o nome de Ensaios deBernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli. • Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume apenas dois valores: • 1 se ocorrer sucesso, • 0 se ocorrer fracasso. • Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada por p,0 < p < 1.

17. 1, se ocorrer “sucesso” X = 0, se ocorrer “fracasso” Segue que E(X) = p, Var(X) = p(1 – p). “X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de Bernoullicom parâmetro p, isto é, e sua função de probabilidade pode ser representada pela tabela Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomial.

18. MODELO BINOMIAL Exemplo: Um dado equilibrado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duasvezes? Denotamos, S: sucesso, ocorre a face 5; F: fracasso, não ocorre a face 5; É fácil ver que p = P(sucesso) = 1/6 e q = 1 – p = P(fracasso) = 5/6 = {SSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF}

19. Estamos interessados no número total de sucessos que, no caso, é o número de vezes que a face 5 é observada nos 3 lançamentos. ProbX S (SSS) p3 3 p p S q (SSF) p2q 2 F (SFS) p2q 2 S p S q p F q (SFF) pq21 F (FSS) p2q 2 p S q p S q (FSF) pq21 F (FFS) pq21 S p F q F q F (FFF) q30

20. Podemos escrever essa função como 3 æ ö k k 3 - ç ÷ = = = P(X k) p q , k 0, 1, 2, 3. ç ÷ k ç ÷ è ø No exemplo, = = P (X 2) 0,0694. A função de probabilidade de X é dada por

21. n æ ö k n - k ç ÷ = = = P(X k) p (1 - p) , k 0, 1, ... , n. ç ÷ k è ø Experimento binomial:é o experimento que consiste em n ensaios de Bernoulli, ou seja, (i) cujos ensaios são independentes, e (ii) para o qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio é sempre igual a p, 0 < p < 1. Distribuição binomial:A v.a. X, correspondente ao número de sucessos num experimento binomial, tem distribuição binomial com parâmetros n e p com função de probabilidade Notação: X~ b(n; p).

22. Resultado: Se X~ b(n; p), então média:  = E(X) = np variância: 2 = Var(X) = np(1-p)

23. Exemplo utilizando o MINITAB: Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a resposta ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões? X: nº de questões que o aluno acertará X ~ b(12; 0,25)

24. No MINITAB, > pdf; > bino 12 0,25. Portanto, P(X 6) = 0,0544. Probability Density Function Binomial with n = 12 and p = 0,25 x P( X = x ) 0 0,0317 1 0,1267 2 0,2323 3 0,2581 4 0,1936 5 0,1032 6 0,0401 7 0,0115 8 0,0024 9 0,0004 10 0,0000 Temos que E(X) = np = 12x0,25 = 3, ou seja, em média, o aluno que responder ao acaso todas as questões, acertará 3.