Programmazione di calcolatori

1. Programmazione di calcolatori Lezione III Cenni di teoria ingenua degli insiemi Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

2. Gli insiemi Mercoledì Domenica Lunedì Martedì Sabato Giovedì Venerdì • Insieme: una collezione di oggetti distinti detti elementi • Esempio: i giorni della settimana Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

3. Gli insiemi • Esempio: i numeri interi positivi minori o uguali a 10 10 7 1 5 9 2 4 8 3 6 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

4. Notazione A 1 2 3 5 4 • Appartenenza: se a è un elemento di A, scriveremo se a non è un elemento di A, scriveremo • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

5. Definizione di un insieme I giorni della settimana I numeri interi positivi minori o uguali a 10 • Modalità di definizione di un insieme: • intensionale • estensionale • Definizione intensionale: descrizione della caratteristica posseduta da tutti e soli gli elementi dell’insieme • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

6. Definizione di un insieme i giorni della settimana i numeri interi positivi minori o uguali a 10 • Definizione estensionale: elenco di tutti e soli gli elementi dell’insieme • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

7. Intensionale vs Estensionale • intensionale • estensionale ? 979.418 … 1.039.806 1.009.311 126 26 … 9 63 979.418 … • Esempio: • Esempio: • estensionale • intensionale { x | x = i3+4i2-2i+6, iN, 1  i 100} Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

8. Intensionale vs Estensionale Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

9. Sottinsieme • Sottinsieme: A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B Giorni della Settimana (GdS) Feriali Domenica Lunedì Sabato Martedì Festivi Giovedì Venerdì Mercoledì • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

10. Prodotto cartesiano • Prodotto Cartesiano: il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme di tutte le coppie il cui primo elemento appartiene ad A e il cui secondo elemento appartiene a B Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

11. Prodotto cartesiano Numeri Decimali xNumeri Romani (1, I) (2, I) Numeri Decimali 1 (3, I) (1, II) (1, IV) 2 3 (2, II) (1, III) (3, II) (2, IV) (3, III) I Numeri Romani (2, III) IV (3, IV) II III • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

12. Prodotto cartesiano • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

13. Relazioni binarie • Relazione binaria R tra A e B: è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per B Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

14. Relazioni binarie Numeri Decimali x Numeri Romani Numeri Decimali 1 (1, III) (1, IV) 2 (2, III) (3, IV) 3 (2, IV) (1, II) Maggiori Uguali di (1, I) (2, I) I (2, II) Numeri Romani IV (3, I) (3, III) II III (3, II) • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

15. Relazioni binarie • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

16. Funzioni • Funzione: una funzione f da A in B è una relazione binaria che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B f  AxB t.c. aA  (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f  b=b’ Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

17. Funzioni Numeri Decimali xNumeri Romani Numeri Decimali 1 (1, III) 2 (1, IV) 3 (2, III) (3, IV) (1, II) (2, IV) (2, I) (3, II) (3, I) I Numeri Romani Conversione IV (3, III) (1, I) II III (2, II) • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

18. Funzioni • Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

19. Funzioni Numeri Decimali xNumeri Romani (1, III) (1, IV) (2, III) (3, IV) (1, II) (2, IV) (2, I) (3, I) (3, II) (1, I) (3, III) (2, II) • E’ una funzione? Funzione ? NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

20. Funzioni • E’ una funzione? NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

21. Nome, dominio, codominio, immagine Nome Codominio Dominio • Notazione: • Immagine di f: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

22. Nome, dominio, codominio, immagine • Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani Numeri Decimali 1 (1, III) 2 (1, IV) 3 (2, III) (3, IV) (1, II) (2, IV) (2, I) (3, II) (3, I) IV Conversione Numeri Romani I (3, III) (1, I) Immagine II III (2, II) Dominio Codominio Nome Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

23. Definizione di una funzione • Signature o arietà: • nome • dominio • codominio • Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

24. Definizione di una funzione • Esempio: funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato • Signature o arietà: • Nome: quadrato • Dominio: N • Codominio: N • Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio: quadrato(x) = x*x Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

25. Funzioni iniettive • Funzione iniettiva: f : AB è iniettiva se associa a valori diversi del dominio valori diversi del codominio o più formalmente f : A B è iniettiva se  a e a’A t.c. a ≠ a’  f(a) ≠ f(a’) Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

26. Funzioni iniettive? SI SI NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

27. Funzioni iniettive? • La funzione identità f(x)=x • La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 • La funzione g : Z→N definita da g(x)=x2 • La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI SI NO NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

28. Funzioni suriettive • Funzione suriettiva: f : ABè suriettiva se e solo se Im(f) = B o analogamente f: A B è suriettiva  bB,  aA, t.c. f(a)=b Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

29. Funzioni suriettive? SI NO SI Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

30. Funzioni suriettive? • La funzione identità • La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 • La funzione g : N→N definita da g(x)=x2 • La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI NO NO SI Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

31. Funzioni biunivoche • Funzione biunivoca: SI f: A B è biunivoca se e solo se è iniettiva e suriettiva NO NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

32. Funzioni invertibili • Funzione inversa: se f: A B è biunivoca allora esiste f-1: B A, t.c. se b=f(a) allora f-1(b)=a,  bB f-1 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

33. Equipotenza tra insiemi • A è equipotente a B (AB) se e solo se  f : A →B biunivoca • Esempio: N  {x | x = i  3, i  N} Npari Ndispari Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi