Jo van den Brand nikhef.nl/~jo/ne April 27, 2011

1. Nuclear energy FEW course Jo van den Brand www.nikhef.nl/~jo/ne April 27, 2011 Week 5, jo@nikhef.nl

2. Inhoud • Jo van den Brand • Email:jo@nikhef.nl URL: www.nikhef.nl/~jo • 0620 539 484 / 020 598 7900, Kamer T2.69 • Book • Elmer E. Lewis, Fundamentals of Nuclear Reactor Physics • Week 1 Nuclear reactions, neutron interactions • Week 2 Neutron distributions in energy • Week 3 Reactor core • Week 4 Reactor kinetics • Week 5 Neutron diffusion, distribution in reactors • Week 6 Energy transport • Week 7 Reactivity feedback, long-term core behavior • Website: www.nikhef.nl/~jo/ne • Werkcollege • Woensdag, Mark Beker (mbeker@nikhef.nl) • Tentamen • 23 mei 2011, 8:45 – 10:45 in HG-10A05, 2 uur • Herkansing: 22 augustus 2011, 8:45 – 10:45 • Beoordeling: huiswerk 20%, tentamen 80% (alles > 5) Jo van den Brand

3. Diffusie van neutronen

4. Diffusie van neutronen Tot nu toe hebben we globaleneutronendiffusie met PNLgekarakteriseerd • Diffusievergelijkingnodig • Verbandtussenreactorafmetingen, vorm en criticality • Ruimtelijke flux distributies in power reactoren • Aannamen • Eenenergie-groep model • Neutron flux en werkzamedoorsnedenzijn al gemiddeld over energie • Diffusievergelijking en randvoorwaardenopstellen • Eenvoudige 1D gevallen • Eindigecilindersymmetrische reactor core Ruimtelijkeneutronenbalans (steady state conditie) Volume element Ergeldt Neutronenstroom is het nettoaantalneutronen/cm2/s door het y-zvlak in de positievexrichting op punt (x,y,z)

5. Diffusievergelijking Aantalneutronendat door het voorvlaknaarbinnenstroomt En door het achtervlaknaarbuiten Evenzovoor de anderevlakken Nettoneutronenlek per secondeuit de kubus Gebruikdefinitie van partiëleafgeleide We vindendan Verdergeldt

6. Diffusievergelijking Invullen in van gevondenuitdrukkingen in Levert Schrijfneutronenstroom in vectorvorm Definitie van gradiënt We vindendan de balansvergelijking Diffusiebenadering: relatietussenstroom en flux Wet van Fick Neutron diffusievergelijking Diffusie coefficient Ergeldt met transport cross section Gemiddeldeverstrooiingshoek (isotroop: 0)

7. Nonmultiplying systems • Aannamen • Uniform medium zondersplijtbaarmateriaal en zonderbronterm • Flux verandertnauwelijks in y en z (afhankelijkheidkanverwaarloosdworden) constant constant Definieerdiffusielengte We vindendan Source free Probeeroplossing van vorm Invullenlevert met Twee mogelijkeoplossingenvoorneutronflux Randvoorwaardennodigomcoefficiententebepalen Neemaandatneutronen van links komen

8. Voorbeeld: uniformebronterm Dan geldt We vinden Oplossing van de vorm Particuliereoplossing Oplossing van homogenevergelijking We vindendan We hebbenweer twee randvoorwaardennodig Neemaandatuniformebronverdeeld is van en dat Dan geldt

9. Randvoorwaarden Partiëlestromen Stroom in negatievex-richting Stroom in positievex-richting Diffusiebenaderinglevert We hadden • Vacuum boundaries • Hiergaangeenneutronen door • Eenoneindig vacuum zonderneutronenbronnen Vacuum boundary rechts op xr Dan geldt Isotropeverstrooiing en weglengte Gebruik of

10. Sferischegeometrie Met Laplace operator in 1D sferischecoördinaten Voorbeeld: puntbronSp op r = 0 Voorr > 0 geldtdan Definieer Probeerweer Ditlevert Randvoorwaardedus Randvoorwaardebijoorsprong is subtieler Alsdan met Hiermeevinden we Ergeldt

11. Diffusielengte Afstand die een neutron aflegt van geboorte op r = 0 tot absorptie Ergeldt Met Uitrekenenlevert Diffusielengte is evenredig met rmsdiffusieafstand van geboorte tot absorptie Vrijeweglengte Isotropeverstrooiing Met en Dus Voorwaarde: c > 0.7

12. Multiplying systems We beschouweneen uniform sferischesysteem met splijtbaarmateriaal Neutron diffusievergelijking Deel door D en gebruik en levert in 1D Voor de oplossinggeldtweer met Ookgeldt Gebruikweer Probeerweer We vindenvoor de flux

13. Multiplying systems We hadden Randvoorwaarden: eindig, enkelvoor Met definitie Flux Gebruikvoor de ge-extrapoleerdebolstraal, met conditie DatleverteenrelatievoorC1 Aldus Alsdan en Datlevert

14. Kritische reactor Flux neemt toe met toenemende Ditkomt door de noemer in Als de flux oneindigwordt is de bol critical We verwachtendat de uitdrukkingvoor de flux singulierwordt p flux oneindig Criticality condition vooreindige reactor Voor de sferische reactor geldt De nonleakage probability is dus Merk op: dusgeldt Zoalsverwachtneemtnonleakage toe met de ge-extrapoleerdereactorstraalgemeten in diffusielengten Material buckling term Geometric buckling term CriticalityBg= Bm

15. Neutron distributies

16. Neutron distributies Diffusievergelijking in cilindrischecoordinaten Tijdonafhankelijk (zonderbron) Enkeloplossingvoorkritische reactor (anderstijdafhankelijkeoplossingen) Neemaandat je het aantalneutronen per splijtingkuntvarieren, dan Neemaandat met de reactor kritisch is (k = 1), met echtaantal Dan geldt en dus Dit is eeneigenwaardenvergelijking: eigenwaardek, eigenfunctie ErgeldtD = constant, en en Dan geldt Ermoet nu gelden Buckling Bvolgtuit Helmholtz vergelijking

17. Eindigecilindrische core Cilindrische reactor (extrapolated straal en hoogte) Dan geldt met Separabeleoplossing Invullen We vinden Probeer Randvoorwaarden Positieve flux

18. Radiëleoplossing We hadden Bessel functies Merk op Verder Buckling Fluxverdeling

19. Reactor vermogen Energie per kernsplijting #splijtingen / cm3 / s Reactor vermogen Flux invullen Herschrijven met Verandervariabele en gebruik Bessel functierelatie Evenzo, met

20. Neutron leakage Two group approximation: neutronenmigratie in slowdown en thermischgebied Definieersnelle en thermische flux Diffusievergelijkingvoorsnelleneutronen Fastfission Thermalutilization: absorbed in fuel # snelle neutronen geproduceerd / cm3 / s Fastleakage Verlies door slowing down Diffusievergelijkingvoorthermischeneutronen Thermische leakage Bronterm thermische neutronen Berekendiffusiecoëfficiënten en removal werkzamedoorsnede

21. Two group approximation Deel door en endefinieer en Beschouwuniforme reactor met zero flux randvoorwaarden. Dan weer en Gebruikditom de Laplace operatorenteelimineren en Combinerenlevert met We vinden Bepaaldiffusielengtenuit transport, resonantie en absorptiewerkzamedoorsneden

22. Migratielengte Ergeldt Voorgrote reactor is B2klein en kanB4verwaarloosdworden We vindendan migratielengte Grootstecorrectievoorthermischediffusielengte in geval van H2O gemodereerde power reactoren Ditkomt door de groteabsorptiewerkzamedoorsnede van waterstof • Snellereactoren (diffusie en migratielengtezijnhetzelfde): • SFR: M = 19.2 cm • GCFR: M = 25.5 cm

23. Leakage en design Ergeldt Stel we hebbeneencilindrische reactor met De buckling volgtuit Aldus Leakage van neutronenwordtprimairbepaald door Karakteristiekedimensie in eenheden van migratielengten • Ontwerp van reactor core: • KiesvermogenP • Bepaalstructuur van de core lattice • Kiesbrandstof, moderator, koelmiddel en anderematerialen • Bepaal volume ratio’s en geometrischeconfiguraties (straal fuel rods, etc.) • Kies lattice parameters, zodatvoorgegeven enrichment kbijnaoptimaal is en de powerdichtheid van fuel naarkoelmiddelmaximaal • Nu ligt de migratielengteM vast • Lattice design en maximum/gemiddelde flux bepaalt power density • Vermogen en power density bepalen core volume • Fuel enrichment wordtaangepastom de juistektekrijgen

24. Energie transport

25. Energie transport In het voorgaandehebben we tijd- en ruimteverdelingen van neutronen in een reactor besproken In eenkritische reactor is flux evenredig met vermogen • Bijhoogvermogen • Thermischelimietbepaalt maximum vermogen (oververhitting fuel) • Dichthedenveranderen (reactivity feedback effecten) Core averaged power density Power peaking factor Constructiekostennemensterk toe met volume V optimaliseer Maximalewordtbepaald door materiaaleigenschappen • Minimale peaking factor wordtbepaald door reactor fysica • Niet-uniformeverdelingen van fuel enrichment • Plaatsing van control rods and andere neutron poisons • Gekozen core volume bepaalt • Core-averaged fuel enrichment • Non-leakage probabilities

26. Core properties

27. Finite cylindrical core Vermogensdichtheid [ W / cm3 ] In eenkritische reactor is flux evenredig met vermogen # fission / cm3 /s # Ws / fission Voorcilindrische reactor Core averaged power density Cilindrischegeometrie Normering en Power peaking factor met radiale en axiale peaking • Local peaking factor Fl • Fuel element manufacturing tolerances • Local control and instrumentation perturbations • Flatten power distribution (reduceer peaking) • Meerdereradiële zone’s met verschillendefuel enrichment • Partially inserted control-rod banks

28. Voorbeeld: uniform cylindrical core Flux in uniforme core Power density distributions en Normalisatiecoefficientenvolgenuit en Dezeintegralenhebben we al eensuitgerekend. Ergeldt Zowel Bessel functiealscosinushebben maximum waarde 1 Peaking factoren:

29. Heat transport Fuel – coolant model: goedvoorthermische en fast reactors Thermal power per unit length van fuel element (linear heat rate in W/cm) Surface heat flux in W/cm2 Voorcilindrisch element met straala geldt Oppervlak van lattice cell met 1 fuel rod Thermische power geproduceerd per unit core volume is Voorcilindrische reactor Combinerengeeft Aanname: reactor met Nidentiekecellen Thermische weerstand (1/warmte geleiding) Dan geldt Totale lengte fuelrods Temperatuurverschiltussen fuel en coolant Gemiddeld over pa2 van fuelrod Gemiddeld over koelkanaal Ergeldt Thermische weerstand reactor core Gemiddeld over volume