Kollisionserkennung

1. Kollisionserkennung Simulation und 3D-Proggrammierung Dozent Prof. Dr. M. Thaller Referentin Nadya Steinert

2. Rückblick: Umgebungskugel und Umgebungsquader • Umgebungskugel ist durch ihren Radius definiert, Mittelpunkt ist identisch mit dem des Modells. • Umgebungsquader ist durch den minimalen und den maximalen Vektor definiert. • Minimaler Vektor ist die linke hintere untere Ecke des Quaders. • Maximaler Vektor ist die rechte obere vordere Ecke. • Umgebungskugel und Umgebungsquader schließen ein Modell vollständig ein.

3. Das Prinzip der Kollisionserkennung • Warum wird es mit Kugeln und Quadern gerechnet? • Damit ist es leichter zu rechnen als mit den Dreiecken des Modells. • Die Modelle liegen innerhalb der Kugeln und Quadern, also wenn z.B. eine Linie die Hülle trifft, dann wird automatisch auch das Modell getroffen. • So werden die komplizierten Berechnungen mit den Dreiecken gespart, wenn das nicht der Fall ist.

4. Kugel - Kugel • Um die Kollision zwischen zwei Objekte zu bestimmen , wird es zuerst geprüft, ob sich deren Umgebungskugeln schneiden. • Bei Kugelkollision kann genauso vorgegangen werden, wie bei der Kollision zweier Kreise. • Es gibt vier Möglichkeiten:

5. Kugel - Kugel • A) Keine Kollision; d > r1 + r2 • B) Berührung; d = r1 + r2 • C) Schnitt; d < r1 + r2 • D) Einschließung; d <= r1 - r2

6. Kugel - Kugel • Wenn die Distanz d zwischen den beiden Kreisen kleiner oder gleich der summe der Radien ist, kollidieren die Kreise an mindestens einer Stelle. • Bei dreidimensionalen Kugeln gilt das gleiche, nur bei der Berechnung von d geht es um Vektorlengenberechnung. • Für die Funktion tbSphereHitsSphere brauchen wir einen Vektor(Mittelpunkt) und eine Flieskommazahl(Radius).

7. Kugel - Kugel • Die Funktion tbSphereHitsSphere

8. Linie - Kugel • Wenn ein Torpedo, als ein Punkt betrachtet wird, und es soll eine Kugel treffen, können wir die alte Position des Torpedos mit der neuen verbinden. So haben wir Linie und Kugel. Wir brauchen Gleichungen für die Kugel und für die Linie.

9. Die Kugelgleichung • (x – xM)² + (y – yM)² + (z – zM)² = r² Im dreidimensionalen Raum werden die Punkte durch Vektoren ersetzt. Wenn die Entfernung des Punktes zum Mittelpunk gleich dem Radius ist, dann liegt der Punkt auf der Kugel. Zum ersten mal wird ein Vektor quadriert. Der Vektor wird mit Hilfe des Punktproduktes mit sich selbst multipliziert. So hat man das Quadrat der Vektorlänge.

10. Die Geradengleichung • Die gerade muss mit Hilfe von Vektoren dargestellt werden. • Man braucht einen beliebigen Punkt, der dazu führende Vektor heißt Stützvektor p, einen Richtungsvektor u und einen Parameter s : x = p + s . u Durch das s – Parameter bewegt man sich vom Stützvektor entlang des Richtungsvektor über die Gerade. s kann positiv oder negativ sein, was die Richtung andeutet.

11. Geraden- und Kugelgleichung kombinieren • s eingesetzt in die Geradengleichung soll einen Punkt liefern, der die Kugelgleichung erfüllt. • Die zwei Gleichungen: g : x = p + s . u k : (x – m)² = r² g wird in k eingesetzt : -u . ( p – m) ± √(u . (p –m))² - u² . ((p-m)² -r²) s1,2 = u²

12. Geraden- und Kugelgleichung kombinieren • Wichtig hier ist die Diskriminante: • Diskriminante > 0 : zwei Schnittpunkte(den kleineren Wert benutzen, näher zum Startpunkt) • Diskriminante = 0 : ein Schnittpunkt • Diskriminante < 0 :kein Schnittpunkt Das wird dann in die Funktion tbLineHitsSphere gepackt.

13. Linie - Dreieck • Nächster Schritt, falls der vorherige positiv ausgefallen ist : Linie – Dreieck. • Zuerst wird geprüft ob die Linie die Ebene des Dreiecks schneidet. • Vorgehensweise wie bei der Kugel : s eingesetzt in die Geradengleichung, liefert einen Punkt der auch die Ebenengleichung erfüllt • g : x = p + s . u • E : n . x + d = 0

14. Linie - Dreieck • g in E einsetzen: • s = - n . p + d n . u Es wird getestet ob der Nenner gleich Null ist und s muss im Intervall [0;1] liegen. Wenn Nenner gleich Null – Linie verläuft parallel zur Ebene, in diesem Fall wird Startpunkt der Linie in die Ebenengleichung eingesetzt.

15. Linie - Dreieck • Daraus wird die Funktion tbLineHitsPlaneimplementiert. • Schnellere Methode findet den Punkt nicht, sondern ob es einen gibt oder nicht : Start- und Endpunkt der Linie werden in die Ebenengleichung eingesetzt. Wenn sie gleiche Vorzeichen haben, liegen die auf der gleichen Seiteund schneiden die Ebene nicht ;wenn unterschiedliche Vorzeichen – Ebene wird geschnitten; wenn Null – Linie liegt auf der Ebene.

16. Liegt der Schnittpunkt im Dreieck? • Die Fläche eines Dreiecks ist durch drei Ebenen begrenzt, die entlang der Kanten erstrecken und einen Normalenvektor senkrecht zu den Kanten haben. • Die Ebenen werden generiert und der P unkt wird in die Ebenengleichungen eingesetzt. Wenn ein Wert kleiner null herauskommt, liegt der Punkt nicht auf der Ebenen ; wenn der Wert größer oder gleich null ist liegt der Punkt innerhalb des Dreiecks .

17. Ein anderer Einsatz • Der Schnittpunkt zwischen Linie und Ebene wird berechnet. • Ein neues Koordinatensystem mit Ursprung eines der Punkte des Dreiecks wird gebildet, Achsen sind nicht mehr rechtwinklig. • Position des Schnittpunkts muss ins neue Koordinatensystem umgerechnet werden(baryzentrischen Koordinaten), was sofort die Frage beantwortet:

18. Ein anderer Ainsatz • x-Koordinate < 0: Punkt nicht im Dreieck • y- Koordinate < 0: Punkt nicht im Dreieck • Summe der x- und y-koordinate > 1: Punkt nicht im Dreieck Daraus wird die zweite Funktion für Linie und Dreieck implementiert: tbLineHitsTriangle2

19. Dreieck - Dreieck • Ebene von Dreieck 2 wird berechnet • Dreieck 1 wird Punkt für Punkt durchgegangen; wenn alle Punkte auf der gleichen Seite – Dreiecke schneiden sich nicht • Jetzt das Gleiche, nur umgekehrt, dabei merkt man sich welche Punkte der Dreiecke alleine auf ihrer Ebenenseite liegen • Dreiecke schneiden sich normalerweise in einer Linie – die Schnittlinie L

20. Dreieck - Dreieck • Dreieck 1 schneidet Ebene 2 in Linie L1 und umgekehrt. • Zuerst müssen beide Schnittlinien L1 und L2 gefunden werden; der Bereich, wo sie sich überlappen ist die gesuchte L • L1 und L2 bestehen von zwei Punkten: einen Start- und einen Endpunkt • Das sind die Schnittpunkte der Dreieckvektoren mit der anderen Ebene

21. Dreieck - Dreieck • Es müssen die s-Werte für L1 und L2 berechnet werden • Die Werte für beide Schnittlinien werden sortiert, um zu wissen welcher das Minimum und welcher das Maximum ist • Minimum und Maximum bilden jeweils ein Intervall • Die Intervallüberlapung beider Linien wird gesucht; es gibt sechs Überlapugszustände

22. Dreieck - Dreieck • Die Funktion tbTriangleHitsTrianglewird implementiert

23. Linie - Quader • Unterschied zu Kugeln: - Kugeln sind mathematisch leichter auszudrücken - Eine Drehung verändert ihre Form nicht • Berechnung eines Quaders - es werden nur die linke untere vordere Ecke und die rechte obere hintere ecke benötigt - wir arbeiten zuerst mit achsenausgerichteten Umgebungsquadern

24. Linie - Quader • Ein Quader ist ein von sechs Ebenen abgegrenzter geschlossener Raum • Ein Punkt der im Quader liegt, liegt auf der Hinterseite jeder der Ebenen • Es gibt normalerweise zwei Punkte, die den Quader schneiden, wir wählen denjenigen, mit der kürzesten Distanz zum Startpunkt des Strahls

25. Linie - Quader • Bei frei drehbaren Quadern: - müssen nur die Ebenen mit der Transformationsmatrix des Objektes transformiert werden - die Ebenen werden mit Hilfe der Eckpunkte des Quaders berechnet ( für eine Ebene werden drei Punkte benötigt), wenn diese vor Erstellung der Ebene transformiert werden ist das Problem gelöst - für achsenausgerichteten Quadern wird einfach die Identitätsmatrix eingegeben

26. Punkt im Quader • Beim achsenausgerichteten Quader: -wenn die Koordinaten des Punkts auf allen drei Achsen zwischen dem Minimum und Maximum des Quaders auf dieser Achse liegen, dann ist der Punkt drin • Beim drehbaren Quader: - setzt man den Punkt in die Gleichungen der sechs Ebenen ein - da alle Ebenen nach außen zeigen, sobald ein positives Ergebnis vorliegt, liegt der Punkt nicht im Quader

27. Punkt im Quader • Die Funktion tbPointHitsBoxwird dieses Prinzip angewendet • Bei der Funktion tbPointHitsBox2 : - werden keine Ebenen berechnet - anstatt den Quader zu transformieren, wird der Punkt mit Hilfe der invertierten Transformationsmatrix transformiert - der Punkt erhält Quaderrelevante Koordinaten(hier gilt das Prinzip des achsenausgerichteten Quaders)

28. Linie - Quader • Implementieren der Funktion tbLineHitsBox;folgende Parameter werden gebraucht: - Start- und Endpunkt der Linie - Die Eckvektoren des Umgebungsquader - Die Transformationsmatrix - Einen tbVector-3-Zeiger, welcher mit den Schnittpunkten gefüllt wird • Wir brauchen die Funktion tbLineHitsPlaneS,die mit dem Linienabschnitt s rechnet und einen float- Wert zurückgibt

29. Quader - Quader • Zwei Quader Kollidieren genau dann, wenn sich mindestens ein Punkt des einen Quaders innerhalb des anderen befindet; der Quader wird Punkt für Punkt in eine bestimmte Schrittweite durchlaufen(je kleiner die Schrittweite , desto genauer die Kollisionserkennung) • Die Funktion tbBoxHitsBoxwird implementiert

30. Wie wird es mit Modellen umgegangen? • 1. Optimierung : Bereitstellen der Vektoren und Indizes: - bei Kollision müssen die einzelnen Vertizes und Indizes schnell griff bereit sein - direkt nach laden des Modells alle Positionsvektoren und Indizes aus den Buffern extrahieren und speichern( für schnelleren Zugriff)

31. Wie wird es mit Modellen umgegangen? • 2. Optimierung: Vorberechnung der Dreiecksebenen - wir berechnen die Ebene des Dreiecks und die drei Seitlichen Ebenen und speichern sie - dann muss der Schnittpunkt später nur in drei Ebenengleichungen eingesetzt werden - mit der ersten Ebene des Dreiecks erhalten wir auch noch den Normalenvektor

32. Wie wird es mit Modellen umgegangen? • 3. Optimierung: Octrees - für jedes Modell ein Octree erstellen - Octree ist eine baumartige Struktur, bei der ein Modell in acht Stücke aufgeteilt wird und jedes Stück wiederum aufgeteilt wird bis eine bestimmte Tiefe erreicht wird - für jedes Teil wird ein umgebender Quader angefertigt - Die Knoten beinhaltet nur Zeiger auf ihre Unterknoten; nur der Endknoten beinhaltet die eigentlichen Dreiecken

33. Wie wird es mit Modellen umgegangen? • Bäume spielen auch beim Rendern eine große Rolle; nur die sichtbaren Knoten werden gerendert und es werden keine unnötige Brechnungen für die unsichtbaren durchgeführt

34. Vorberechnungen • Zuerst werden die Positionsvektoren jedes Vertex und alle Indizes in der tbModel-Klasse bereitgestellt; das sind die Extradaten • Die Init-Methoden von tbModelerhalten noch zwei weitere BOOL-Parameter - der eine bestimmt, ob Extradaten generiert werden sollen (bGenerateExtraData) - der zweite sagt ob nur Extradaten erwünscht sind ; in dem Fall werden dann Vertex-Buffer, Index-Buffer, Effekte, Lichter nach dem Laden gelöscht(bExtraDataOnly)

35. Vorberechnungen • Kopieren der Positionsvektoren - Positionsvektoren und Indizes werden in tbvector3 gesteckt und es wird genügend Speicherplatz reserviert - Vertizes bestehen aus mehreren Parametern, wir brauchen nur den Positionsvektor, der immer an erster Stelle ist ; die Größe des Vertex ist auch bekannt, also ist das Herauskopieren kein Problem -Ein BYTE-Zeiger wird erstellt, der zuerst auf den Anfang des Vertx-Buffer-Daten zeigt, der erste Pos.vektor wird herauskopiert und der Zeiger wird um die Vertexgröße erhöht, um am Anfang des nächsten Vertex zu kommen

36. Vorberechnungen • Kopieren der Indizes – es wird genauso wie bei den Vertizes vorgegangen • Berechnung der vier Ebenen jedes Dreiecks - als erstes wird Speicherplatz reserviert; Der Zeiger auf die Liste heißt tbPlane* - als nächstes werden die Ebenen berechnet; dazu wird jedes Dreieck durchgegangen und die Positionsvektoren seiner drei Vertizes herausgefunden -Dann werden die Ebenen mit den Funktionen tbPlaneFromPoints und tbPlaneFromPointsNormalausgerechnet

37. Vorberechnungen • Der Octree –Struktur - eine BOOL-Variable, die bestimmt ob ein Knoten Endknoten ist oder nicht - für normale Knoten: 8 Zeiger auf die untergeordneten Knoten - für Endknoten: die Anzahl der Dreiecke und eine Liste mit den Dreiecken dieses Knotens -für alle Knoten speichern wir den Quader, der diesen knoten und alle untergeordneten Knoten umgibt ; benötigt werden maximaler und minimaler Vektor ; die sechs Ebenen des Quaders werden berechnet und gespeichert

38. Vorberechnungen • Einrichten des Wurzelknotens - der Wurzelknoten ist der Zeiger m_pRootNode und er enthält 8 Zeiger auf die Unterknoten - dieser Knoten wird in UpdateExtraDatainitialisiert, zuerst ist er ein Endknoten und bIsLeafwird auf true gesetzt - die darin enthaltenen Dreiecke ensprechen der Anzahl der im Modell enthaltenen -für die Bounding-box werden die Werte kopiert, die in tbModelgespeichert sind

39. Vorberechnungen • Rekursives Aufteilen eines Knotens - die rekursive Funktion(tbModel::SplitNode) teilt einen Knoten in 8 Unterknoten auf und ruft sich selbst wieder auf bis eine maximale Unterteilungstiefe erreicht ist, oder ein Knoten nur noch wenige Dreiecke hat - der rekursiven Funktion wird der zu unterteilende Knoten übergeben(tbmodelOctreeNode) und ein int-Wert mit der maximalen Unterteilungstiefe; beim Wiederaufruf wird dieser wert um eins verringert

40. Vorberechnungen • Schritt 1: Festlegen der Bounding-Box jedes neuen Knotens - die Methode SplitNodegeht in einer for-Schleife alle 8 Knoten durch und reserviert Platz; dann wird die Bounding-Box jedes neuen Unterknotensfestgelegt ; später wird bestimmt , welche Dreiecke zu diesem Knoten gehören und welche nicht - der Knoten wird genau in der Mitte aufgeteilt; der Mittelwert aus maximalen und minimalen Vektor wird in die temporäre Variable vCentergespeichert - der erste Knoten soll links unten und vorne liegen; der minimale Vektor wird von dem zu unterteilenden Knoten kopiert ; als maximaler Vektor kommt vCenter in Frage

41. Vorberechnungen • Schritt 2: Zuordnen der Dreiecke • Einem Knoten wird ein Dreieck dann zugeteilt, wenn: - sich mindestens ein Vertex in der Bounding-Box befindet - mindestens eine Seite die Bounding-Box schneidet - mindestens eine Seitenhalbierende die Bounding-Box schneidet

42. Vorberechnungen • Das erste wird mit tbPointHitsBoxberechnet und die anderen Bedingungen mit tbLineHitsBox; es kann vorkommen dass ein Dreieck zu mehreren Boxen gehören kann. Bei Kollision ist das egal, beim rendern würde das aber Probleme bereiten • Wir erstellen eine temporäre Liste die Platz für alle Dreiecke des zu unterteilenden Knotens hat; dann geht man alle Dreiecke durch und prüft ob sie die oberen Bedingungen erfüllen, wenn ja, wird der Dreieck in di temp. Liste aufgenommen und der Zähler wird hochgezählt; die dazugehörigen Dreiecke werden in die eigentliche Liste kopiert • Die bIsLeafVariable wird entsprechend neugesetz

43. Vorberechnungen • Schritt 3: die Rekursion - nachdem ein neuer Unterknoten erstellt wurde, muss er wieder unterteilt werden; der Parameter der Unterteilungstiefe wird um eins verringert • Löschen des Octrees - es wird wieder rekursiv vorgegangen; die Funktion DeleteNode wird einmal auf den Wurzelknoten aufgerufen - DeleteNode löscht zuerst die dreiecksliste, dann die Unterknoten und schließlich den eogenen Knoten

44. Linien und Modelle • Transformation der Linie - anstatt das ganze Modell in absolute Koordinaten zu transformieren, transformieren wir die Linie mit der inversen Transformationsmatrix • Das rekursive Prinzip - einer rekursiven Funktion werden die Linie(transformiert), das Modell und den Octree-Knoten übergeben - die Funktion prüft ob die Linie die Bounding-Box trifft; wenn das ein Endknoten ist, wird der Kollisionstest Dreieck für Dreieck durchgeführt

45. Linien und Modelle • Der Test mit den Dreiecken - wir haben bereits die Extradaten berechnet - zuerst prüfen, ob die Linie die Ebene des Dreiecks schneidet , wenn nicht, dann Abbrechen - dann mit der Funktion tbPlaneDotCoordsüberprüfen ob der Punkt im Dreieck liegt; wenn ein negativer Wert rauskommt , kann es abgebrochen werden

46. Kollision zwischen zwei Modelle • Die rekursive Funktion - die Funktion heißt tbModelHitsModelRec - sie erhält als Parameter beide Modelle, die Matrix jedes Modells, die inverse Matrix und den Octree-Knoten • 1.Schritt: schneiden sich die Bounding-Boxes? - zuerst wird geprüft , ob sich die Bounding-Boxes schneiden, wenn nicht brechen wir ab

47. Kollision zwischen zwei Modelle • 2.Schritt: Fallunterscheidung – es muss zwischen vier Fälle unterschieden werden 1. Beide Knoten sind Endknoten 2. Knoten A ist ein Endknoten, Knoten B nicht 3. knoten B ist ein Endknoten, Knoten A nicht 4. Beide Knoten sind keine Endknoten

48. Kollision zwischen zwei Modelle • Fall 1 - es muss die Kollision zwischen den Dreiecken von Knoten A und B getestet werden - anstatt beide Modelle in absolute Koordinaten zu transformieren, transformieren wir das eine Modell in das Koordinatensystem des anderen; die dazu gehörige Matrix ist das Produkt aus der Matrix des zu transformierenden Modells und der inversen Matrix - um Zeit zu sparen wird der Knoten mit den wenigen Dreiecken ausgewählt

49. Kollision zwischen zwei Modelle - die Dreiecke von Knoten B werden mit einer for-Schleife durchlaufen, die Vektoren werden mit der errechneten Matrix transformiert, die neuen Vektoren werden in vTriA , vTriB und vTriCgespeichert - die Dreiecke von Knoten A werden analog durchlaufen; - mit der Funktion tbtringleHitsTriangle, wird die Kollision zwischen zwei Dreiecke getestst

50. Kollision zwischen zwei Modelle • Fall 2 und Fall 3 - wenn Knoten A ein Endknoten ist und Knoten B nicht, dann wird jeder Unterknoten von B durchlaufen und auf Kollision getestet(rekursiv) - zum Schluss kommt man zum Fall 1 • Fall 4 -wenn beide Knoten keine Endknoten sind , wird es wie bei Fall 2 vorgegangen, zum Schluss kommt man zum Fall 1