Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik Prof. Dr. Wolfram Koepf

1. Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik Prof. Dr. Wolfram Koepf Fachbereich Mathematik/Informatik Universität Gh Kassel koepf@mathematik.uni-kassel.de http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf

2. T3 - Tagung Ludwig-Windthorst-Haus Lingen (Ems) 19. Oktober 2001

3. Fachgruppe Computeralgebra • Fachgruppe der DMV, GI, GAMM • Regelmäßige Herausgabe des Rundbriefs • Referent für Didaktik • Regelmäßige Tagungen zum Thema „Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung“ • Informationen auf meiner Homepage http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf • Homepage http://www.gwdg.de/~cais

4. Mein persönlicher Computeralgebra-Werdegang • 1988: Erster Kontakt mit Computeralgebra (Reduce, Maple, Mathematica, DERIVE) • 1990: Stipendium der Alexander von Hum-boldt-Stiftung. Forschungsprojekt zur Verwendung von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht • 1992: Analysis-Vorlesungen an der Freien Universität Berlin mit DERIVE • 1993: Lehrbuch Mathematik mit DERIVE

5. 1993-1997: Mitarbeiter am Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik in Berlin • 1994: Buch Höhere Analysis mit DERIVE • 1996: Buch DERIVE für den Mathematik-unterricht • 1996-heute: Gewähltes Mitglied der Leitung der Fachgruppe Computeralgebra der DMV/GI/GAMM, Referent für Lehre und Didaktik

6. 1997-2000: Professor für Angewandte Mathematik an der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig • 1998: Buch Hypergeometric Summation • seit 2000: Professor für Computational Mathematics an der Universität Gh Kassel • 2000: Buch Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis

7. Kleiner Satz von Fermat • Für eine Primzahl p   und a  gilt ap= a (mod p) • Fermattest: Ist diese Beziehung für eine Zahl a  nicht erfüllt, so ist p keine Primzahl!

8. Euklidischer Algorithmus • Den größten gemeinsamen Teiler von a und b berechnet man so: • ggT(a,b) = ggT(|a|,|b|), falls a<0 oder b<0 • ggT(a,b) = ggT(b,a), falls a<b • ggT(a,0) = a • ggT(a,b) = ggT(b, a mod b)

9. Effiziente Berechnung von Potenzen • Die modulare Potenz an (mod p) berechnet man am besten durch Zurückführen auf Exponenten der Größe n/2 (Divide-and-Conquer-Algorithmus): • a0 mod p = 1 • an mod p = (an/2 mod p)2 mod p für gerade n • an mod p = (an-1 mod p) .a mod p

10. Algebraische Zahlen • Algebraische Zahlen sind als Nullstellen ganzzahliger Polynome erklärt, z. B. • 2: x2 - 2 • i: x2 + 1 • 2 + 3: x4 - 10 x2 + 1 • 2 + 3 + 5 : x8 - 40 x6 + 352 x4 - 960 x2 + 576

11. Faktorisierung von Polynomen • Polynome mit rationalen Koeffizienten können algorithmisch faktorisiert werden! • Dies funktioniert sogar, wenn mehrere Variablen im Spiel sind. • Algorithmische Faktorisierungen über  dagegen sind nur unter Verwendung algebraischer Zahlen möglich, z. B. x2-2 = (x-2)(x+2). • Moderne schnelle Algorithmen gibt es nicht in DERIVE, aber in Maple, Mathematica, ...

12. Wo ist der zweite Pol? • Während graphische Taschenrechner und Computeralgebrasysteme im Allgemeinen auf Anhieb Funktionsgraphen darstellen, gibt es auch Fälle, wo hierzu Kurvenuntersuchungen nötig sind. • Wo ist der zweite Pol der Funktion

13. Lineare Gleichungssysteme • Lineare Gleichungssysteme sind schlecht konditioniert, wenn die zugehörigen Geraden bzw. Ebenen etc. fast parallel sind. • Dann lassen sich offenbar die Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden etc. nur ungenau bestimmen.

14. Kondition einer Matrix • Eine Matrix ist schlecht konditioniert, wenn sie oder ihre Inverse Eingabefehler stark vergrößern. • Für eine Matrixnorm, z. B. ist die Konditionszahl cond ein Maß für die Kondition der Matrix A.

15. Hilbertmatrix • Die nn Hilbertmatrix ist schlecht konditioniert. Daher ist die Numerik instabil. Rationale Arithmetik lässt ein Studium der Matrizen aber zu.

16. Differentiation • Ableiten ist algorithmisch, wenn wir die üblichen Ableitungsregeln verwenden: • Konstantenregel c´ = 0 • Potenzregel (xn)´ = n xn-1 • Linearität (f + g)´ = f ´ + g´ • Produktregel (f ·g)´ = f ´·g + g´·f • Quotientenregel (f /g)´ = (f ´·g - g´·f)/g2 • Kettenregel f(g)´ = f ´(g)·g´ • Ableitungen spezieller Funktionen

17. Integration • Auch für die Integration gibt es Algorithmen, welche entscheiden, ob ein Integral eine elementare Funktion ist. • Die übliche Methode zur rationalen Integration benötigt eine reelle Faktorisierung des Nenners und ist daher kein guter Algorithmus. • Der Risch-Algorithmus und seine Verwandten sind erheblich komplizierter, verwenden aber nur quadratfreie Faktorisierungen.

18. Vereinfachung • Rationale Funktionen lassen sich durch Bestimmung des ggT vereinfachen. • Trigonometrische Polynome lassen sich durch Anwendung der Additionstheoreme vereinfachen. • Man kann zeigen, dass es für allgemeine Terme keinen generellen Vereinfachungsalgorithmus geben kann.

19. Das Hofstadterproblem • Hofstadters geometrische Vermutung ist richtig, wenn die Determinante der Matrix gleich 0 ist, sofern  +  +  =  ist.

20. Reihenentwicklungen • In der speziellen Relativitätstheorie ergibt sich die Energie aus der Formel • Wie erhält man hieraus die klassische Formel ?