Solitonska rješenja Korteweg-de Vries jednačine

1. Solitonska rješenjaKorteweg-de Vries jednačine diplomski radkandidat: Bojan Đuričkovićmentor: Prof. dr. Kenan Suruliz Sarajevo, 6. decembar 2004

2. Sadržaj • Korteweg-de Vries (KdV) jednačina • Balans nelinearnosti i disperzije • Veza sa Sturm-Liouvilleovim problemom • Egzaktna solitonska rješenja • Numerička rješenja

3. Korteweg-de Vries jednačina • Nelinearna disperzivna jednačina • Model valova na plitkoj vodi (solitoni, Russell, 1834) • Solitonska rješenja • Boussinesq (1877), Korteweg & de Vries (1895)

4. Balans nelinearnosti i disperzije • Nelinearnost: uzrokuje lomljenje valova • Disperzija: uzrokuje širenje valnog paketa • U KdV jednačini: • nelinearnost i disperzija se kompenziraju • solitonska rješenja neograničeno zadržavaju oblik

5. Gdje se javlja KdV jednačina • Modeli konkretnih fizikalnih sistema: • valovi na plitkoj vodi • jonsko-akustični valovi u plazmi • magnetohidrodinamički valovi u plazmi • anharmonična rešetka • longitudinalni disperzivni valovi u elastičnom štapu • valovi pritiska u tečno-plinovitim smjesama • rotirajući tok niz cijev • termički pobuđeni paketi fonona u niskotemperaturnim nelinearnim kristalima • Sturm-Liouvilleov problem • izospektralna deformacija Schroedingerovog operatora

6. Sturm-Liouvilleova jednačina • Schroedingerova jedn. = spec. slučaj S-L jednačine

7. Sturm-Liouvilleov problem • S-L problem: za dane rubne uvjete i dani potencijal,naći svojstvene vrijednosti i njima pripadne svojstvene funkcije • Općenito rješenja y postoje samo za određene vrijednosti • Skup svih takvih vrijednosti = spektar

8. Izospektralne deformacijeSchroedingerovog operatora • Mijenjajući potencijal U(x) općenito se mijenja spektar • Izospektralna deformacija = transformacija potencijala koja ostavlja spektar invarijantnim • Uz rubne uvjete jednake nuli u beskonačnosti, uspostavlja se veza sa KdV jednačinom (...)

9. Veza KdV i Schroedingerove jednačine • KdV jednačina je izospektralna deformacija Schroedingerovog operatora: • Ako potencijal U(x,t) zadovoljava KdV jednačinu, onda se promjenom potencijala sa parametrom t ne mijenja spektar. • Svojstvene vrijednosti Schroedingerovog operatora predstavljaju prve integrale KdV jednačine

10. Sadržaj • Korteweg-de Vries (KdV) jednačina • Egzaktna solitonska rješenja KdV • Solitonsko rješenje • Dvosolitonsko rješenje • Trosolitonsko rješenje • Numerička rješenja KdV

11. Pojam solitona • soliton = engl. solitary wave (osamljeni val) + “on” (zbog nekih čestičnih svojstava) • lokalizirani poremećaji (valni paketi, pulsevi)koji neograničeno zadržavaju oblik • pri sudarima prolaze jedan kroz drugoguz nelinearnu interakciju • asimptotski zadržavaju brzinu i oblik • pri rasijanju dolazi do pomaka u fazi • rješenja nelinearnih disperzivnih jednačina • nelinearnost kompenzira disperziju

12. Solitonsko rješenje KdV jednačine • dobija se direktnom integracijom • rubni uvjeti: nula u beskonačnosti (uvjet lokaliziranosti) • sech2 oblik se ravnomjerno translatirabez promjene oblika (soliton)

13. Solitonsko rješenje: animacija

14. Svojstva solitonskog rješenja • amplituda proporcionalna brzini • amplituda obrnuto proporcionalna kvadratu širine • soliton se kreće u pozitivnom smjeru x-osi

15. Višesolitonska rješenja KdV jedn. • Jednačina nelinearna, princip linearne superpozicije ne vrijedi • Višesolitonska rješenja = rješenja koja asimptotski teže linearnoj superpoziciji više solitona • Nelinearnost dolazi do izražaja za vrijeme interakcije • narušenje linearne superpozicije • fazni pomak • Metode nalaženja višesolitonskih rješenja: • Bargmannovi potencijali • Backlundov transformat

16. Dvosolitonsko rješenje

17. Dvosolitonsko rješenje: animacija

18. Dvosolitonsko rješenje: animacija (2)

19. Dvosolitonsko rješenje: 3-dim x-t prikaz

20. Dvosolitonsko rješenje: konturni x-t prikaz

21. Trosolitonsko rješenje: analitički izraz • izraz dobijen u Mathematici, pomoću Backlundove transformacije:

22. Trosolitonsko rješenje: animacija

23. Trosolitonsko rješenje: 3-dim x-t prikaz

24. Trosolitonsko rješenje: konturni x-t prikaz

25. Sadržaj • Korteweg-de Vries (KdV) jednačina • Egzaktna solitonska rješenja • Numerička rješenja • Raspad gausijana na solitone • Rasijanje dva solitona • Odstupanje od linearne superpozicije dva solitona

26. Numerička metoda • Implicitna: • izraz za naredni vremenski korak je implicitan • iterativno rješenje • Spektralna: • derivacije se računaju u k-prostoru • Prvi pokušaj bio sa eksplicitnom metodom i šemom konačnih razlika • potreban tako sitan vremenski korak da se svakih 10.000 koraka jedva primjeti pomak • akumulacija greške

27. Raspad gausijana na solitone: početni uvjet • Pogledajmo numeričko rješenje KdV jednačine sa gausijanom kao početnim uvjetom:

28. Raspad gausijana na solitone: animacija

29. Raspad gausijana na solitone: animacija 2

30. Raspad gausijana na solitone: animacija 3

31. Interakcija dva solitona: početni uvjet • Uzmimo dva sech2 oblika koji su razmaknuti u t = 0 • Kako vrijeme teče, očekuje se odstupanje od sume dva sech2 oblika

32. Interakcija dva solitona: animacija

33. Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: početni uvjet • Uzmimo kao početni uvjet dva solitona iz prethodnog primjera, s tim da se oni u početnom trenutku preklapaju:

34. Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: animacija (1)

35. Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: animacija (2)

36. Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: animacija (3)

37. Zaključci • Solitonska rješenja asimptotski zadržavaju oblik i brzinu • Dvosolitonsko rješenje brzo (već pri malim udaljenostima) konvergira linearnoj superpoziciji dva solitona • Pri proizvoljnim početnim uvjetima, osim solitonskih oblika koji putuju na desno, javljaju se i putujući valovi koji se šire na suprotnu stranu • Gausijan se raspada na dva solitona • Nelinearni efekti su najizraženiji kada su solitoni superimponirani