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MATLAB 数学实验

MATLAB 数学实验. 1 知识要点：线性代数 2 矩阵 的 MATLAB 指令 3 计算实验：线性方程组求解 4 建模实验：投入产出分析. 高等代数. 线性方程组 记为 A x = b. 1 知识要点：线性代数. 线性方程组 若秩 (A)  秩 (A,b) ，则无解； 若秩 (A) = 秩 (A,b) = n, 存在唯一解； 若秩 (A) = 秩 (A,b) < n, 存在无穷多解； 通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系与 Ax=b 的一个特 解之和。. 1 知识要点：线性代数.

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Presentation Transcript

  1. MATLAB数学实验

  2. 1 知识要点：线性代数 2 矩阵的MATLAB指令 3 计算实验：线性方程组求解 4建模实验：投入产出分析 高等代数

  3. 线性方程组 记为 A x = b 1 知识要点：线性代数

  4. 线性方程组 若秩(A) 秩(A,b)，则无解； 若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解； 若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在无穷多解； 通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系与 Ax=b 的一个特解之和。 1 知识要点：线性代数

  5. 逆矩阵 方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使A B = B A = E，记 B = A-1 方阵A可逆的充分必要条件:A0 A-1 =A*/|A| 这里A*为A的伴随矩阵 （A E） 行变换 （E A-1） 1 知识要点：线性代数

  6. 特征值与特征向量 对于方阵A，若存在数和非零向量x 使 A x =  x，则称为A的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值的特征向量。 特征值计算归结为特征多项式的求根。 特征向量计算：齐次线性方程组 (A - E) x = 0 的所有一组线性无关解。 1 知识要点：线性代数

  7. 运算符 A+B与A-B 加与减 k+A与k-A 数与矩阵加减 k*A或A*k 数乘矩阵 A*B 矩阵乘法 A^k 矩阵乘方 左除A\B 为AX=B的解 右除B/A 为XA=B的解 A’ (共轭)转置, A.’转置 2 矩阵的MATLAB指令

  8. 矩阵运算与数组运算的区别 数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义 矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的 矩阵的乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法不同 数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。但在MATLAB中有定义。 2 矩阵的MATLAB指令

  9. 特殊矩阵生成 zeros(m,n) m行n列的零矩阵; ones(m,n) m行n列的元素全为1的阵; eye(n) n阶单位矩阵; rand(m,n) m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵 2 矩阵的MATLAB指令

  10. 矩阵处理 trace(A) 迹(对角线元素的和) diag(A)A对角线元素构成的向量; diag(x)向量x的元素构成的对角矩阵. tril(A) A的下三角部分 triu(A) A的上三角部分 flipud(A) 矩阵上下翻转 fliplr(A) 矩阵左右翻转 reshape(A, m, n)矩阵A的元素重排成m行n列矩阵 2 矩阵的MATLAB指令

  11. 矩阵分析 rank(A)秩 det(A)行列式; inv(A)逆矩阵; null(A)Ax=0的基础解系； orth(A)A列向量正交规范化 norm(x) 向量x的范数 norm(A) 矩阵A的范数 2 矩阵的MATLAB指令

  12. 特征值与标准形 eig(A) 方阵A的特征值 [V, D]=eig(A)返回方阵A的特征值和特征向量。其中D为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。 [V, J]=jordan(A) 返回A的相似变换矩阵和约当标准形 2 矩阵的MATLAB指令

  13. 矩阵除法 (1) 当A为方阵，A\B结果与inv(A)*B一致； (2) 当A不是方阵, AX=B存在唯一解, A\B将给出这个解； (3) 当A不是方阵, AX=B为不定方程组(即无穷多解)，A\B将给出一个具有最多零元素的特解； (4) 当A不是方阵, AX=B若为超定方程组（即无解）, A\B给出最小二乘意义上的近似解，即使得向量AX－B的模达到最小。 3 计算实验：线性方程组求解

  14. 例1 解方程组 3 计算实验：线性方程组求解

  15. 例2 线性方程组通解 用rref化为行最简形以后求解 用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组的基础解系 用符号数学工具箱中的solve求解(第七章) 3计算实验：线性方程组求解

  16. 相似对角化及应用 如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在正交矩阵P, 使得 P-1AP= , 其中是A的特征值构成的对角矩阵，P的列向量是对应的n个正交特征向量。 使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单位向量(即模等于1)，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似对角化。 3计算实验：线性方程组求解

  17. 例3用相似变换矩阵P将A相似对角化，并求 3计算实验：线性方程组求解

  18. 设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。 分配平衡方程组 消耗平衡方程组 i =1,2,…,n 投入产出分析 4建模实验

  19. 令 C =（cij），X = (x1, …, xn)',D = (d1, …, dn)’，F= (f1, …, fn)’, 则 X=CX+D 令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D C称为直接消耗矩阵 A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。

  20. B表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。B表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。 B=C Y = [1,1,…,1] B Y表示各部门的总投入，称为投入向量。 新创造价值向量 F=X –Y'

  21. 例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。

  22. 问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值? 解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总产值, 则

  23. 外界需求向量 D = 产出向量X= 直接消耗矩阵C= 则原方程为 (E-C)X=D 投入产出矩阵为B=C*diag(X) 总投入向量 Y= ones(1,3)*B 新创造价值向量 F=X-Y’

  24. 消耗部门 外界需求 总产出 煤 矿 电 厂 铁 路 生产 部门 煤矿 0 36506 15582 50000 102088 电厂 25522 2808 2833 25000 56163 铁路 25522 2808 0 0 28330 新创造价值 51044 14041 9915 总产出 102088 56163 28330 投入产出分析表(单位：元)

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