Applicazione

1. Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km. Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale dell’auto dal punto di partenza. Applicazione • Un quadretto uguale 10km. y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

2. Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno di essi l’angolo formato con l’asse delle x: 1) ax=3 ay=3 2) bx=-3 by=-3 3) cx=-3 cy=3 4) dx=3 dy=-3 Applicazione y (1) (3) x (2) (4) G.M. - Edile-Architettura 2004/05

3. Il vettore b sommato al vettore a da per risultato 6.0ux+1.0uy. Se si sottrae b da a il risultato è -4.0ux+7.0uy. Quant’è il modulo il modulo di a. Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

4. La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità libera. Qual è lo spostamento della sua estremità A) da 15 a 30 minuti B) nella successiva mezzora C) nella successiva ora D) calcolare la velocità angolare media ed istantanea E) calcolare la velocità media nel caso A F) il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione. Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

5. Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di 60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria, • la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). • la velocità di impatto al suolo • la durata del moto • l’altezza massima raggiunta dal proiettile. • il tempo impiegato per raggiungerla. • il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. • la gittata quando l’angolo è di 30°. • il raggio di curvatura alla massima altezza. Applicazione y vo 60° x • Introdurre il sistema di riferimento • Asse x orizzontale • Asse y verticale • vo contenuta nel piano xy • Origine nel punto di lancio • Il corpo sarà soggetto all’accelerazione di gravità Condizioni iniziali G.M. - Edile-Architettura 2004/05

6. Applicazione y vo 60° x • Il moto avviene nel piano xy • Le equazioni parametriche della traiettoria: Per ottenere l’equazione della traiettoria y(x) bisogna eliminare il tempo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

7. Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

8. Applicazione la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). G è massima quando sen2qo è massimo: 2qo=90° qo=45° G.M. - Edile-Architettura 2004/05

9. Applicazione La durata del moto Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0 La velocità all’impatto t=t2 La componente y della velocità ha cambiato di segno Il modulo della velocità di impatto è vo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

10. Applicazione l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla. Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0 La gittata massima La gittata per qo=30° G.M. - Edile-Architettura 2004/05

11. Applicazione Moto del proiettile G.M. - Edile-Architettura 2004/05

12. Applicazione Determinazione del raggio di curvatura In ogni punto della traiettoria l’accelerazione è g. In generale essa ha una Componente tangente ed una normale alla traiettoria. Nel punto di massima Altezza ha solo la componente normale. Pertanto: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

13. Applicazione Un corpo percorre un tratto orizzontale AB: in A ha velocità v1 ed in B ha velocità v2 minore di v1 in quanto tra A e B l’accelerazione vale –kv, con k=2.3 s-1. Dopo B il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha AB=b=2.14 m, BC=h=1.5 m, CD=d=1.35 m. calcolare il valore di v1. Il moto dopo B sarà quello del proiettile, introducendo un sistema di riferimento con origine in C, asse x lungo CD e asse y lungo CB, tenendo conto delle condizioni iniziali (xo=0, yo=h,vox=v2, voy=0), si avrà: Calcoliamo il tempo di caduta imponendo y=0 (si osservi che solo la soluzione positiva è quella valida) La velocità v2 può essere ottenuta studiando il moto lungo l’asse x e sapendo che in questo tempo il punto materiale ha raggiunto il punto D: Nel tratto AB il moto è rettilineo smorzato: se scriviamo la velocità come funzione della posizione: v2 v1 A B C D G.M. - Edile-Architettura 2004/05

14. Applicazione Un corpo percorre un tratto orizzontale AB: in A ha velocità v1 ed in B ha velocità v2 minore di v1 in quanto tra A e B l’accelerazione vale –kv, con k=2.3 s-1. Dopo B il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha AB=b=2.14 m, BC=h=1.5 m, CD=d=1.35 m. calcolare il valore di v1. Semplificando v da ambo i membri Sommando membro a membro su tutti gli intervalli dt All’istante iniziale il punto materiale si trova in A ed ha velocità v1, all’istante finale t il punto materiale si trova in B con velocità v2 v2 v1 A B C D G.M. - Edile-Architettura 2004/05

15. Applicazione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? y Utilizzando un sistema di riferimento con origine nella posizione del cannone, asse x orizzontale diretto verso il campanile e asse y verticale, le coordinate del bersaglio sono: Le equazioni parametriche del moto del proiettile tenendo conto delle condizioni iniziali sono: L’equazione della traiettoria, eliminando il tempo tra le due, sarà: Che può essere messa in questa forma: q x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

16. Applicazione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Elaborando ulteriormente Imponendo che il proiettile passi per il bersaglio diventa: Che è una equazione di secondo grado in tanq, risolvendo: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

17. Applicazione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Elaborando ulteriormente Le eventuali soluzioni dipendono dalla quantità sotto radice G.M. - Edile-Architettura 2004/05

18. Applicazione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Nel nostro caso G.M. - Edile-Architettura 2004/05

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22. Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari. Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità per rispettare il limite di accelerazione consentito? Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

23. Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. Applicazione y Considerando le condizioni iniziali, la legge oraria diventa: v Ma la coordinata y è anche data da: La componente y della velocità, vo, sarà data da: r q x a Da cui possiamo ricavare la velocità angolare: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

24. Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. Applicazione y Esprimendo il cosq in funzione di a e di y si ottiene: v r q x a Il vettore posizione si può esprimere: Il suo versore vale: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

25. Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. Applicazione Mentre il versore trasverso, perpendicolare al versore del vettore posizione, vale: y v r q x a G.M. - Edile-Architettura 2004/05

26. Un camion ed un’automobile percorrono una strada rettilinea a velocità costante (va=80km/h, vc=60km/h). Come appare il moto dell’automobile rispetto al camion? Applicazione • Consideriamo un sistema di riferimento legato alla strada con l’origine O coincidente con l’ultimo incrocio e l’asse x lungo la strada rettilinea orientato nel verso del moto dei due veicoli. • Le rispettive leggi orarie saranno: • Per studiare il moto dell’automobile rispetto al camion, consideriamo un secondo sistema di riferimento con l’origine O’ coincidente con il camion e l’asse x’ diretto come l’asse x (vxO’=vc). • Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei Si tratta di un moto che avviene lungo l’asse x’ (rettilineo) a velocità costante data dava- vc. Alla stessa conclusione si arriva usando le trasformazioni della velocità.

27. La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h? Applicazione • Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore. • il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz • Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei: y y’ x’ • La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà: x O O’ G.M. - Edile-Architettura 2004/05

28. Una persona ferma sul marciapiede della stazione spara un proiettile perpendicolarmente ai binari mentre sta transitando un treno alla velocità di 40km/h. La velocità di uscita del proiettile dalla canna della pistola è di 100 m/s. Il proiettile entra ed esce dal treno lasciando due fori nei finestrini posti sui lati opposti del treno senza diminuire apprezzabilmente la sua velocità. Qual è la distanza del foro di uscita del proiettile dal punto direttamente opposto al foro di ingresso se il treno è largo 2 m? Applicazione

29. Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di 1.1 m/s verso est attraverso al giungla. Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a velocità costante di 4.0 m/s rispetto all’acqua. Sulla riva nord c’è un’altra radura situata a 82 m più a monte rispetto al punto posto di fronte alla posizione iniziale dell’esploratore. In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla sponda opposta con una traversata in linea retta? Quanto dura questa traversata? Applicazione y x O G.M. - Edile-Architettura 2004/05

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