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Capítulo II. GUIAS DE ONDAS. Parte II. Capítulo II. z. a. r. y. x. GUIAS DE ONDAS. 2.2 Guías de Ondas Circulares. Solución de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, para los campos:. Capítulo II. GUIAS DE ONDAS CIRCULARES. i ). ii ). iii ). donde:.
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Capítulo II GUIAS DE ONDAS Parte II
Capítulo II z a r y x GUIAS DE ONDAS 2.2 Guías de Ondas Circulares. • Solución de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, para los campos:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES i ) ii ) iii ) donde: Ecuación escalar de Helmholtz
Capítulo II Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • La ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas, está dada por: (*) • Usando el método de S.V. La solución se asume de la forma: R(r) () Z(z) • Sustituyendo en (*) y dividiendo por se tiene:
Capítulo II 1 ) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (**) (a) Dado que el lado derecho de (**) es una cte., entonces, la suma de los términos del lado izquierdo debe también serlo. En particular el término (a) es una cte. Constante de propagación en la guía
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • La solución general de (1) es: • Reemplazando (1) en (**), arreglando y multiplicando por r2 obtenemos: (b) Con el mismo raciocinio anterior, ahora (b) debe ser una cte. (n2)
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Cuya solución es: Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal ().
Capítulo II Ecuación de Bessel de orden n GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Análogamente al caso anterior, reemplazando -n2 en (**) y multiplicando por R, se obtiene: donde Ecuación característica de Bessel
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Para el caso de las GG.OO. sin pérdidas, la ecuación anterior, se reduce a: ; g = g+jg • La solución a la ecuación de Bessel es de la forma: R (r ) = Cn Jn (kCr) + Dn Nn (kCr) función de Bessel de orden n del 2º tipo que representa una onda estacionaria (r > a). función de Bessel de orden n del primer tipo que representa una onda estacionaria (r < a).
Capítulo II La solución total para la ecuación de Helmholtz R Z = [Cn Jn (kC r) + Dn Nn (kC r) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo II Cn Jn (kCr) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.1 Aplicando las condiciones de borde en la guía de ondas. En r = 0, kc r = 0 Nn Dn = 0 Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe serfinito
Capítulo II 0 Jn (kCr) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Además,
Capítulo II Obs: Para los modos TEnp Ez =0 existe Hz0 GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.2 Modos TEnp n: número de ciclos de en dirección , en 2radianes. p: número de ceros del campoEf en dirección radial, excluyendo el origen.
Capítulo II Hz= Hoz Jn (kcr) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES La ecuación de onda es solución para Hz Solución a la cual se aplica condiciones de borde en el interior de la guía. E =0 : campo tangencial Hr =0 : campo radial r=a
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Considerando las ecuaciones de Maxwell • Desarrolladas en coordenadas cilíndricas:
Capítulo II • Considerando EZ= 0 y GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo II E =0 en r =a Hr =0 en r =a J’n (kca) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Las condiciones de borde implican: • Forzando esta condición en la expresión para Hz J’n (kca) = 0.
Capítulo II J’n (kca) = J’n (kcr) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Obs: • Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca), es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca). • Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos como: X'np = kC a Ceros de J’n (kca) para los modos TEnp (Tabla 4-2-1 de Liao)
Capítulo II n 5 0 0 3 4 1 2 p 1 3.832 1.841 3.054 4.201 5.317 6.416 2 7.016 10.520 5.331 6.706 8.015 9.282 3 9.696 11.346 13.987 12.682 10.173 8.536 4 ----- 13.324 11.706 13.170 ----- ----- GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ceros deJ’n(kca) para los modos TEnp (Tabla 4-2-1 de Liao)
Capítulo II Ez = 0 GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Reemplazando adecuadamente, las expresiones para el campo E.M. son:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES donde Impedancia de onda Obs: • Con kc se puede calcular fc del modo de propagación. • Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del modo de dominante, que en este caso es el modo TE11. • Por lo general, se opera en el modo de dominante.
Capítulo II f TE11 TE21 GUIAS DE ONDAS CIRCULARES En el rango de frecuencia de corte del modo dominante y la frecuencia de corte del modo inmediatamente superior. En este caso: • Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión. Modo evanescente
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Parámetros de importancia para los Modos TEnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde d) Longitud de onda:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES e) Impedancia de onda en la guía: donde Obs.: h0sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.
Capítulo II Obs: • El análisis es equivalente al caso anterior. GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.3 Modos TMnp • Debido a que en los modos TMnp no existe componente de campo magnético en dirección de propagación Hz =0 EZ 0
Capítulo II Jn (kC a) = 0 Xnp = kC a GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Aplicando condiciones de borde, se obtiene: Ceros de Jn (kCa) para los modos TMnp (Tabla 4-2-2 de Liao) Las raices de Jn (Xnp) son infinitas.
Capítulo II n 5 0 0 3 4 1 2 p 1 2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.771 2 5.520 12.339 7.106 8.417 9.761 11.065 3 11.620 13.015 ----- 14.372 8.645 10.173 4 ----- 11.792 13.324 14.796 ----- ----- GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ceros deJn(kca) para los modos TMnp (Tabla 4-2-2 de Liao)
Capítulo II Hz =0 y GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • De las ecuaciones de Maxwell y considerando
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Hz = 0
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES donde Impedancia de onda Obs: • Para estos modos, el modo dominante es el modo TM01. • Pero como TE11 es menor que TM01,. El modo dominante para guías de onda circulares es el modo TE11.
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Parámetros de importancia para los Modos TMnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES d) Longitud de onda: e) Impedancia de onda en la guía: Obs.: h0sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.
Capítulo II Obs: • Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG.OO. Rectangulares. GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.4 Potencia Transmitida en GG.OO. circulares.
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.5 Analogía entre GG.OO. y Líneas de Tx. TEM. Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión). • Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas rectangulares:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Para las ondas TM Hz= 0 Existe Ez O bien, (x E)z = 0 Es decir: • En el plano xy el campo eléctrico no tiene rotacional.
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero. El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V. Potencial
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Ahora, si tomamos la ecuación y se considera Hz = 0, queda: y como queda
Capítulo II • :[m2] GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Intercambiando el orden de derivación donde jwEz:Densidad de corriente longitudinal de desplazamiento[A/m2]
Capítulo II () GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Corriente en la dirección z. • Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx. ; Y : Admitancia paralela.
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Ahora, si consideramos la ecuación y se reemplaza nuevamente Hy, se obtiene: • Arreglando se logra:
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Esto se reemplaza en • Cambiando el orden de derivación
Capítulo II () GUIAS DE ONDAS CIRCULARES • Arreglando
Capítulo II : Impedancia m e/kc2 Obs: • Las ecuaciones ( ) y ( ) son las ecuaciones diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas. GUIAS DE ONDAS CIRCULARES donde
Capítulo II m m m e/kc2 e/kc2 e/kc2 e e GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TM.
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES a) Modos TE ( Ez= 0): • En este caso (x H)z = 0 • Por tanto: • No existe rotacional para H en el plano xy. • El voltaje magnético a través de un camino cerrado es nulo.
Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U. • Tomando la ecuación y considerando Ez = 0
