「 OR ー A 」 2011/12/10

1. 「ORーA」　2011/12/10 • 一般的な定式化の仕方 • 整数変数はなぜ登場するか？ • Indicator変数の使い方（今回の主題） • Reading Assignment: 配布資料　「数理計画モデルの定式化」

2. 整数変数がどうして登場するか （１）分割不可能な離散的変量　Indivisible (Discrete) Quantities　： 本来、整数しかとりえない量；例えば、人数、機械台数など （２）デシジョン変数　Decision Variables　： 　複数の代替案の中からどの案を選択するかを示す　例：　倉庫をたてる（どのタイプの）／たてない γ＝０　　倉庫をたてない γ＝１　　タイプＡの倉庫をたてる γ＝２　　タイプＢの倉庫をたてる

3. 整数変数がどうして登場するか （３）インディケータ変数Indicator Variables：　システムの状態を示す(indicateする)ために、０－１変数と他の変数、あるいは他の条件式と結びつける

4. インディケータ変数（Indicator Variables） ｘＡ：ある（原料）配合において要素Ａが含まれる比率 要素Ａが配合に含まれる（ｘＡ＞０）か、含まれないか（ｘＡ＝０）を、たとえば、０－１変数αを使って識別する。つまり、α＝１（０）ならＡが含まれる（含まれない）、という形で、インディケータ変数を使う。 たとえば、 （１） ｘＡ　－　α　≦　０　　　 　という制約条件は、次の論理条件（もし・・・ならば・・・）を数式的に表現することになる： （２）　　ｘＡ＞０　→　α=１

5. （２）式の逆表現 （２）の逆、すなわち、 （３）　　α=１　→　ｘＡ＞０ 　（あるいは、その対偶のｘＡ＝０　→　α＝0） という条件を（も）数式的に表現したい。 残念ながらこれはできないので、そのかわりに、「Ａの配合比率がこれ未満だったら入っていないも同然」という閾値(threshold level)ｍを導入し、（３）を （４）　 α=１　→　ｘＡ≧ｍ に変換すると、（４）は次のように数式表現できる： （５）　　ｘＡ-ｍα　≧　０ 注意：　数理計画では、通常、＞や＜を扱わず、≦や≧を扱う。

6. 演習問題１ （１）「もし要素Ａが配合に含まれていたならば、要素Ｂも配合に含まれていなければならない」、という条件を数式で表現せよ。 （２）さらに、その逆、すなわち、「もし要素Ｂが配合に含まれていたならば、要素Ａも配合に含まれていなければならない」という条件も、あわせて成立しなければいけないというときはどうすればよいか。

7. インディケータ変数を使って不等式／等式の成立／不成立を示すインディケータ変数を使って不等式／等式の成立／不成立を示す １． 「δ＝１ → Σjａjｘj≦ｂ」型論理条件の表現 　０－１変数δを使って、不等式が成立するか 否かに関する論理条件を表現する。 　論理条件 （１１） δ＝１ → Σjａjｘj≦ｂ は、次の不等式で表現できる： （１２） Σjａjｘj＋Ｍδ≦Ｍ＋ｂ ここに、ＭはΣjａjｘj－ｂの上界である。

8. （１２）式の妥当性 • （１２）式が（１１）の論理条件を表現していることを確かめるために、（１２）式を書き換えると、 　（１２）’Σjａjｘj－ｂ≦Ｍ（１－δ） となる。δ＝１のときには右辺が０となり（１２）’式は Σjａjｘj≦ｂとなり、論理条件（１１）が満足される。 • 一方、δ＝０のときには、Σjａjｘj－ｂ≦Ｍとなるが、Ｍの定義から、この式は常時満足される。論理条件（１１）を数式表現するとき、表現された数式は、δ＝０のときになにかを意味してはまずい。換言すれば、δ＝０のときは数式が意味を持っては困ることに注意。

9. 論理条件に対応する数式の「作成公式」 ステップ１ 「δ＝１→Σjａjｘj≦ｂ」形の論理条件にする。 ステップ２ 右辺ｂを左辺に移項しΣjａjｘj－ｂ≦０の形に。 ステップ３ 右辺０の代わりに、δの（１次）関数を考える。この関数はδ＝１のとき０、そうでないときは制約条件式が無意味、すなわち、すべての解が生成される制約条件式を満足するようにしたい。 　　　このため、右辺を□（１－δ）の形（□は適当な定数）にすると、Σjａjｘj－ｂ≦Ｍ（１－δ）が望む制約条件式となる。ただし、ＭはΣjａjｘj－ｂの上界値とする。

10. ステップ１「δ（０－１変数）＝１→Σjａjｘj≦ｂ」の形にステップ１「δ（０－１変数）＝１→Σjａjｘj≦ｂ」の形に 注意１：　不等式の向きが逆、すなわち、≧ならば、－１倍して、不等号の向きを変える。 注意２：　論理条件が、「Σjａjｘj≦ｂ→δ＝０」のときは、対偶をとって、「δ＝１→Σjａjｘj＞ｂ」の形にした上で、閾値εを用いて、 「δ＝１→Σjａjｘj≧ｂ＋ε」、すなわち、 「δ＝１→Σj（－ａj）ｘj≦－ｂ－ε」 　 の形に変換されたものを与えられた論理条件と考えればよい。

11. ステップ３Σjａjｘj－ｂ≦□（１－δ） 注意３：　望む制約条件式の右辺は、δが１のとき０となって、論理条件が表現されことになる。一方、δ＝０のときには、□の定数を適当に決める。 　 Ｍ＝左辺のとりうる値の上界とすれば、すべての解がこの制約条件を満足し、したがって、制約条件はなにも意味しないことになる。 注意４：　右辺の上界Ｍはあまり大きすぎない値が望ましい。

12. 「δ＝０ → Σjａjｘj≦ｂ」型論理条件の表現 「公式」のステップ３のＭ（１－δ）の部分を、Ｍδに置き換えれば同様な議論ができる ステップ３’ ステップ２の形Σjａjｘj－ｂ≦０の、右辺の０をＭδに置き換える。

13. 論理条件（１）の逆の数式表現（「逆は必ずしも真ならず」に注意）論理条件（１）の逆の数式表現（「逆は必ずしも真ならず」に注意） （１３） Σjａjｘj≦ｂ →δ＝１ 対偶をとることによって、「δ＝０→Σjａjｘj＞ｂ」となり、注意２のように、 「δ＝０→Σj（－ａj）ｘj≦－ｂ－ε」、すなわち、 「δ＝０→Σj（－ａj）ｘj＋ｂ＋ε≦０」 とする。あとは、ステップ３’にしたがって、 （１４） Σj（－ａj）ｘj＋ｂ＋ε≦Ｍ ’δ ここに、Ｍ ’はΣj（－ａj）ｘj＋ｂ＋εの上界値とする。

14. 演習問題２ 0-1インディケータ変数δを用いて、δが1のとき以下の制約を満たすという条件を数式として表現せよ。また、逆に、この制約が満たされているとき、δが1になるという条件を数式として表現せよ。いずれにせよ、x1,x2は、0≦ｘ1≦1, 0≦ｘ2≦1の範囲にあるものとする。 2x1+3x2≦1

15. 必要十分条件の表現 必要十分条件「δ＝１ ⇔ Σjａjｘj≦ｂ」を数式的に表現するためにはどうすればよいか 「δ＝１→Σjａjｘj≦ｂ」　AND　 「δ＝１←Σjａjｘj≦ｂ」 　　　　　（１２）　　　　　　　　　　　　　　　（１４） （１２） Σjａjｘj＋Ｍδ≦Ｍ＋ｂ （１４） Σj（－ａj）ｘj＋ｂ＋ε≦Ｍ ’δ

16. 論理条件と０－１変数 δiが０－１のインディケータ変数とし、Ｘiがδi＝１という状態を示すこととする。　 （A） Ｘ1∨Ｘ2 δ1＋δ2≧１ （B） Ｘ1・Ｘ2 δ1＝１，δ2＝１ （C） ～Ｘ1 δ1＝０（１－δ1＝１） （D） Ｘ1→Ｘ2 δ1－δ2≦０ （E） Ｘ１←→Ｘ2 δ1－δ2＝０

17. 演習問題３：生産 （Ｘi：製品i が生産されている） 以下の論理条件を表現したいとしよう： （２１） （ＸA∨ＸB）→（ＸC∨ＸD∨ＸE） インディケータ変数δiを使い、δiが１（０）のときは、製品iが作られている（作られていない）ことを示すものとしよう。このとき、（２１）を数式的に表現することを考えたい。 （ヒント）δA＋δB≧ 1 ⇒ δ＝１ 　　　　　　　　　　　　 ⇒ δC＋δD＋δE ≧ 1

18. 施設配置問題 関東地方を中心に営業を行ってきた輸入品販売業のＫ社では、関西地方に活動を拡大するため、京阪神地方に倉庫の賃借を行う計画を立てている。賃借の候補となる倉庫はｍカ所にあって、第ｉ地点の倉庫Ｗｉ(i=1,･･･,m)の月間処理能力はａｉ（トン／月）で、その経費（賃借料や維持費など毎月の固定費）はｄｉ（千円／月）である。また、関西一円に広がる消費地Ｄｊ(j=1,･･･,n)での輸入品の需要量ｂｊ（トン／月）と、ＷｉからＤｊへのトン当たり輸送費ｃｉｊ（千円）が与えられたとして、すべての需要を満たし、毎月の総費用（倉庫経費＋輸送費）を最小にする倉庫配置と輸送計画を求めたい。この問題を数理計画問題として定式化せよ。

19. 施設配置問題の定式化 • 目的関数（総費用最小）：　　最小化　　ｚ　＝　Σiｄiｙi　＋　ΣiΣjｃijｘij • 制約Σj =1,…,n ｘij≦ａｉｙi 　 ， ∀ｉ （処理能力）Σi =1,…,m ｘij≧ｂj　， ∀j （需要） ｘij≧０， ∀ｉ ､jｙi＝０ or １ ∀ｉ • 論理条件：　ｙi＝０ ⇒　Σj =1,…,n ｘij≦０ （借りていない倉庫から送り出してはならない）

20. 施設配置問題の定式化：別解 • 目的関数（総費用最小）：　　最小化　　ｚ　＝　Σiｄiｙi　＋　ΣiΣjｃijｘij • 制約Σj =1,…,n ｘij≦ａｉ 　 ，ｉ＝1, 2 ,…, mｘij≦ａｉｙi ∀ｉ ､jΣi =1,…,m ｘij≧ｂj　，ｊ＝1, 2 ,…, nｘij≧０，ｙi＝０ or １ ∀ｉ ､j • 論理条件：　ｙi＝０ ⇒　 ｘij≦０

21. 問題例1　候補地１、２、３の中から一つ選択し、候補地４、５の中から一つ選択問題例1　候補地１、２、３の中から一つ選択し、候補地４、５の中から一つ選択 より正確には、 　候補地１、２、３の中から一つ選択し、かつ、候補地４、５の中から一つ選択 数理計画では、制約条件はANDでかかるδ1＋ δ2＋ δ3＝１ δ4＋ δ5＝１

22. 問題例2候補地２を選択したときには、候補地４または５の少なくともいずれか選択問題例2候補地２を選択したときには、候補地４または５の少なくともいずれか選択 δ2＝１　⇒　δ4＋ δ5≧１ 備考：この場合、別途δを導入する必要はない δ2＝１　⇒　ーδ4ーδ5＋１≦０ 　　　　　　　 ーδ4ー δ5＋１≦□（１ー δ2 ） 　　　　　　　 ーδ4ーδ5＋１≦（１ーδ2） ∴ δ2 ーδ4ー δ5≦０　(必ず、「検算」する）

23. 問題例3候補地２を選択したときには、候補地４または５のいずれか1つを選択問題例3候補地２を選択したときには、候補地４または５のいずれか1つを選択 δ2＝１　⇒　δ4＋ δ5＝１ 間違った解答例：1) δ4＋ δ5＝δ2（δ2が0のとき、δ4＋δ5＝０？，No!） 2)δ2 ーδ＝０，－δ4ー δ5 ＋δ＝０ 正しい考え方：δ2＝１　⇒　ーδ4ー δ5＋１≦０　①　（前と同じ）　かつδ2＝１　⇒　　 δ4＋ δ5ー１≦０ ② δ4＋ δ5ー１≦□（１ーδ2） δ4＋δ5ー１≦（１ーδ2） ∴δ2 ＋δ4＋ δ5≦２　　　② 　　 ∴δ2 ーδ4ー δ5≦０　　　①

24. 問題例4　候補地１または２を選択したときは、候補地３、４、５のいずれかを選択問題例4　候補地１または２を選択したときは、候補地３、４、５のいずれかを選択 解釈が4つありうる 解釈1：候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択δ1＋δ2≧１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１ 解釈2：候補地1,2のいずれか1つを選択したときには、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択δ1＋δ2＝１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１ 解釈3：候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地3,4,5のいずれか1つを選択δ1＋δ2≧１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5＝１ 解釈4：候補地1,2のいずれか1つを選択したときには、候補地3,4,5のいずれか1つを選択δ1＋δ2＝１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5＝１

25. 問題例4（解釈1a）　候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択問題例4（解釈1a）　候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択 δ1＋δ2≧１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１ スマートな解答： 候補地ｉ を選択するという事象をＸｉ とすると、解釈１はＸ 1∪Ｘ 2⇒Ｘ 3∪Ｘ 4∪Ｘ 5 と等価；　ところが、これは、Ｘ 1⇒Ｘ 3∪Ｘ 4∪Ｘ 5 、かつ、Ｘ 2⇒Ｘ 3∪Ｘ 4∪Ｘ 5 と等価δ1＝１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１ ① 　 　　　　　　 ∴ δ3＋ δ4＋ δ5≧δ1① δ2＝１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１　　　② 　　 　 ∴ δ3＋ δ4＋ δ5≧δ2②

26. 問題例4（解釈1b）　候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択問題例4（解釈1b）　候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択 δ1＋ δ2≧１　⇒　 δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ 「公式」に忠実な解答： δ1＋ δ2≧１　⇒　δ＝１　⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ㊧の対偶　　　　δ＝０　⇒　 δ1＋ δ2≦０ 　　　 ① 　 　　　　　　 ∴ δ1 ＋ δ2 ≦ ２δ① ㊨　　　　　　 　 δ＝１　⇒　 δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１　　② 　　 　 ∴ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧δ②

27. 問題例4（解釈2）　候補地1,2のいずれか1つを選択したときには、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択問題例4（解釈2）　候補地1,2のいずれか1つを選択したときには、候補地3,4,5の少なくとも1つを選択 δ1＋δ2＝１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１ 「公式」に忠実な解答：　 δ1＋δ2＝１　⇒　δ＝１　⇒ δ3＋ δ4＋ δ5≧１ ㊧の対偶δ＝０　⇒　 δ1＋δ2≦０ orδ1＋δ2≧２　 ①δ＝０　⇒　 γ1＋γ2≧１ ② γ1＝1　⇒　 δ1＋δ2≧２ ③ γ2＝1　⇒　 δ1＋δ2≦０ ④ ∴γ1 ＋ γ2 ＋δ≧１② ∴δ1 ＋ δ2 ー ２ γ1 ≧ ０③ ∴δ1 ＋ δ2 ＋ ２ γ2 ≦２　 ④ ㊨δ＝１　⇒　 δ3＋ δ4＋ δ5≧１　　　⑤ ∴δ3＋ δ4＋ δ5≧δ ⑤ ㊧ ㊨

28. OR条件の一般化，拡張 （A） Ｘ1∨Ｘ2 δ1＋δ2≧１ 　　　　　　　↓ 複数項のOR条件 （A’） Ｘ1∨Ｘ2∨･･･∨Ｘn δ1＋δ2 ＋･･･＋δn≧１ 複数項の中から少なくともｋ 個以上 （A’’） Ｘ1，Ｘ2，･･･，Ｘnの中からｋ 個以上 δ1＋δ2 ＋･･･＋δn≧ｋ OR条件ではないが，同様に，複数項の中から高々ｋ 個 （A’’’） Ｘ1，Ｘ2，･･･，Ｘnの中から高々ｋ 個 δ1＋δ2 ＋･･･＋δn≦ｋ

29. OR条件の応用例凸でない実行可能領域の表現 ABJOS1＝｛x＝(x1,x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1,x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1,x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ • もしも問題の条件が、 x∈ S1 ∪S2∪S3のとき．．． 実行可能領域は非凸!!! 数理計画問題の定式化で「または」と書けない

30. 線形計画問題の実行可能領域 ABJOS1＝｛x＝(x1,x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1,x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1,x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ • もしも、問題の条件が、 x∈ S1 ∩S2∩S3のとき．．．

31. 凸でない実行可能領域 ABJOS1＝｛x＝(x1, x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1, x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1, x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ • もしも問題の条件が、 x∈ S1 ∪S2∪S3のとき．．． • インディケータ変数δ1 ，δ2，δ3を導入：δ1 =1⇒x∈ S1， δ2 =1⇒x∈ S2， δ3 =1 ⇒x∈ S3換言すると、δ1 =1 ⇒ (x2≦3)・(x1+x2≦4)・ (x≧0) ①δ2 =1 ⇒(ーx1+x2≦0)・(3x1ーx2≦8)・(x≧0) ②δ3 =1 ⇒ (x2≦1)・(x1≦5)・ (x≧0)③ • ①、②、③に加えて、δ1 ＋δ2 ＋δ3 ≧1

32. 凸でない実行可能領域（続き） ABJOS1＝｛x＝(x1, x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ • 論理条件①は、数式に変換可能 δ1 =1 ⇒ (x2≦3)・(x1+x2≦4)・(x≧0) ① • δ1 =1 ⇒ x2≦3①’δ1 =1 ⇒ x1+x2≦4　　　①”δ1 =1 ⇒ x≧0（非負条件が別途考慮されているならば不要） • 論理条件②、③も同様 • ①’、①”、②’、②”、③’、③”、xの非負条件に加えて、　δ1 ＋δ2 ＋δ3 ≧1

33. SOS（特殊順序集合）変数制約（SOS＝Specially Ordered Set) SOS１＝一連の変数の集まり（実数変数でも整数変数でも可；SOS１変数群）の中からちょうど１個が０でない SOS２＝順序が定められた一連の変数の集まり（実数変数でも整数変数でも可；SOS２変数群）の中から，「隣りあう」高々２個が０でない

34. SOS１変数制約（SOS＝Specially Ordered Set) SOS１＝一連の変数の集まり（実数変数でも整数変数でも可；SOS１変数群）の中からちょうど１個が０でない 実数変数：　ｘ1 ，ｘ2 ，･･･，ｘnの中で1個が正 0-1変数：　 δ1＋δ2 ＋･･･＋δn＝ １ どんな例があるか考えてみよう

35. OR条件の拡張の応用例解の中の変数の数を制限するOR条件の拡張の応用例解の中の変数の数を制限する • 正の値をとる変数の数を一定個数以下（以上）にしたい • 例：株式jへの投資金額xjの決定の決定にあたって、投資対象の株式数をk以下に抑えたい xj＞0　⇒　δj＝1 xjーMjδj≦0ただし、Mjは株式jへの投資金額xjの上限 δ1＋ δ2＋･･･＋δn ≦ k

36. SOS２変数制約（SOS＝Specially Ordered Set) SOS２＝順序が定められた一連の変数の集まり（実数変数でも整数変数でも可；SOS２変数群）の中から，「隣りあう」高々２個が０でない （λ1 ，λ2 ，･･･，λn）の中で「隣りあう」高々２個が正 λ1＋λ2＋λ3＋λ4 ＋･･･＋λn＝ １

37. SOS２制約の例（SOS＝Specially Ordered Set) Minimizeｚ ＝ ｘ12－4ｘ1－2ｘ2 s.t.ｘ1＋ ｘ2 ≦ 4 2ｘ1＋ ｘ2 ≦ 5 　　　　　　　　　　　－ ｘ1＋4ｘ2 ≧ 2 ｘ1，　 ｘ2 ≧ 0 非線形関数を含むモデルが解けない場合に何ができるか ヒント：　Minimizeｚ ＝ ｙ －4ｘ1－2ｘ2 　　　　　　　　　　　　　　 ｙ ＝・・・ （λ1 ，λ2 ，･･･，λn）≧0 の中で「隣りあう」高々２個が正 λ1＋λ2＋λ3＋λ4 ＋･･･＋λn＝ １

38. 非線形関数の折れ線近似 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5

39. SOS２制約の例（SOS＝Specially Ordered Set) Minimizeｚ ＝ｙ －4ｘ1－2ｘ2 s.t.ｘ1＋ ｘ2 ≦ 4 2ｘ1＋ ｘ2 ≦ 5 　　　　　　　　　　　－ ｘ1＋4ｘ2 ≧ 2 ｘ1，　 ｘ2 ≧ 0 ｘ1＝ 0λ1＋ 0.5λ2＋1λ3＋ 1.5λ4 ＋･･･＋?λn y ＝ 0λ1＋0.25λ2＋1λ3＋2.25λ4 ＋･･･＋?λn λ1 ＋ λ2＋ λ3 ＋ λ4 ＋･･･＋ λn＝ １ （λ1 ，λ2 ，･･･，λn）≧0 の中で「隣りあう」高々２個が正

40. 非線形関数の折れ線近似 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 0 0.5 0.5 0 0

41. 宿題１０ 宿題１０．１3次元3目並べ（配布資料p.16，問４）の定式化を示せ．なお，余裕がある人はExcel ソルバー、またはAMPLで解け．（ソルバーファイル、または、AMPLのmod，runファイルは，メールの添付にてmorito@waseda.jp宛に題名「OR-A：　学籍番号　氏名」で送付のこと） 宿題１０．２　スライド44のシナリオを定式化せよ． 締切：2011年12月15日（木）　18時　 　　　　森戸研メールボックス

42. 3次元3目並べ（配布資料p.1６） • 各マスに1から27まで番号をつける • 各マスj（j＝1,…,27)に白なら0、黒なら1という0-1変数xjを定義 • 「線」に番号をつける（「線」は何本あるか？） • 同色の線の本数を数え，その本数を最小化する

43. 線形計画モデルの特殊形最大値の最小化 • 通常の線形計画モデルMinｚ ＝ｃｘ ＝Σj=1,…,nｃjｘjs.t.Aｘ≦ｂ，ｘ≧0 • 最大値の最小化Min　　（Maxi=1,…,mΣj=1,…,nｃijｘj） s.t.Aｘ≦ｂ，ｘ≧0　（通常の1次制約式） • 最大値の最小化は通常のLPに変換可能Minｚs.t.Σj=1,…,nｃijｘj ー ｚ≦0, i=1,…,mAｘ≦ｂ，ｘ≧0　（通常の1次制約式）

44. 特殊な定式化の応用宿題１０．２　以下のシナリオを定式化せよ特殊な定式化の応用宿題１０．２　以下のシナリオを定式化せよ • ある議会の議員定員はM人である • 議員はN（＜M）個の選挙区から選挙される • 選挙区jの人口（選挙権を持つ人の人口）ｐjは既知である • 人口1人当たりの議員数（逆に、議員1人当たりの人口、でもよい）の最大値と最小値の差を最小化する議員定数の配分（各選挙区の議員定数）を決めたい