Strona internetowa ćwiczeń : home.umk.pl/~henroz/matm1112

1. Ćwiczenie II. Niektóre podstawowe funkcje matematyczne i ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalna • Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112 • Definicja: funkcją nazywamy matematyczną zależność pomiędzy 2 (lub więcej) zmiennymi, opisaną równaniem (równaniami). Od 1 (lub od kilku – od serii) zmiennej znanej (danej) zw. niezależną ozn. literą x (ew. xi , gdzie i, to kolejne liczby naturalne) zależy 1 i tylko 1 zmienna zw. zależną – ozn. lit. y, a zależność można opisać równaniem ogólnym: y = f(x) (gdy war.: „1 i tylko 1” nie jest spełniony – mamy relację, a nie funkcję). F. matemat.można przeds-tawić na wykresie. Zbiór wartości zm. niezal. x = zb.argu-mentów funkcji = dziedzina funkcji; zb.wart. zm.zależ. y=przeciwdziedzina funkcji. Wart. zm. niezal. (x), dla których funk- cja przyjmuje wart. y = 0, nazywamymiejscami zerowymi lub pierwiastka-mi funkcji.

2. Jedna z najprostszych funkcji, to f. liniowa: y = ax + b (wykres- prosta). - funkcja algebraiczna • y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +.....+ anxn = (wielomian stopnian-tego). Funkcję stałą (y = a) możemy uznać za wielomian stopniazerowego, a f. liniową – wielomian st. pierwszego. • Jedną z najbardziej znanych funkcji jest wielomian II stopnia – in. funkcja kwadratowa (lub trójmian kwadratowy): • y = ax2 + bx + c(a  0) .Trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej:f(x) = a(x + b/2a)2 - /4a,gdzie:  = b2 - 4ac, jest wyróżnikiemtrójmianu kwadratowego. • Wykresem f. kwadratowej jest parabola,o współrzędnych wierzchołka:xw = -b/2a i yw = -/4a. • Dla a > 0 f. kwadr. ma minimum dla x = xw, równe yw;dla a < 0" - " - " maksimum " " " " - " - „.

3. Dla  > 0 f. kwadr. ma 2 m-sca zerowe: x1 i x2.Gdy  = 0 f. kwadr. ma 1 m-sce zerowe: x0 = xw.Gdy  < 0 f. kwadr. nie ma miejsc zerowych wcale.Dla  0, f. kwadr. można przedstawić w postaciiloczynowej: f(x) = a(x-x1)(x-x2) ( > 0); f(x) = a(x-x0)2 ( = 0) Dla  > 0, równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki: i Jeżeli  = 0, to równanie ma 1 pierwiastek(podwójny) i liczymy go: x0 (x1,2) = -b/2a [wartość pierwiastka (x0) odpowiada tu odciętej wierzchołka (xw)]

4. Gdy  < 0, to równanie nie ma pierwiastków. • Suma i iloczyn pierwiastków: x1 + x2 = -b/a;x1*x2 = c/a • Zastosowanie f kwadratowej w biologii – do modelowania jakichkol-wiek zjawisk krzywoliniowych, gdzie nie ma „mocnych” podstaw teoretycznych do użycia innego modelu krzywoliniowego [np. wzrost hodowli bakterii w czasie – z uwzględnieniem szybko następujących po sobie faz równowagi i zamierania: parabola otwarta ku dołowi (a < 0)].

5. Funkcja wykładnicza Postać ogólna: y = a.ebx(gdy wyrażenie w wykładniku jest złożone, zamiast ebx piszemy exp[bx]). Przebieg: Przykłady – w ćw. I (błądzenie lub przypadkowe!): wymieranie gatun- ków, rozpad radioaktywny, rozkład materii organicznej, rozprzestrze- nianie się zanieczyszczeń w środo-dowisku, dyfuzja (b < 0) oraz pojawianie się mutacji i procesy wzrostu – w tej jego fazie, kiedy przebiega bez ograniczeń (b > 0). Są to procesymultyplikatywne, czyli przebiegające w postępie geometrycznym. Przykład (szczegółowo): rozpad radioaktywny: N = N0.e–kt, gdzie: N0 – wyjściowa liczba atomów pierwiastka, k – stała rozpadu (współ- czynnik kierunkowy, odpowiednik „b”), t – czas, N – liczba atomów, które nie uległy rozpadowi. Czas, w którym N = N0/2, to czas połowicznego rozpadu (zaniku) (t½), który wyliczamy: N/N0 = e–kt= ½;ekt= 2t½ = ln(2)/kProdukty rozpadu (Np) nagromadzają się zgodnie z przekształconym równaniem funkcji wykładniczej: Np = N0(1 – e–kt) .

6. Funkcja potęgowa Postać ogólna: y = axb . Przebieg – zależy od wartości wykładnika b: f. potęgowa jest określona dla: x > 0 Jedna z najważniejszych funkcji dla biologii / biologów; w naukach mor-fologicznych (morfometria) nazywana jest też allometryczną. Różne parametry morfologiczne (wymiary ciała, pole powierzchni ciała,objętość ciała i biomasa) nie są wzajemnie proporcjonalne względemsiebie. Nie są też proporcjonalne w stosunku do parametrów fizjologicz-nych (np. tempo metabolizmu, aktywność fotosyntezy, oddychania, etc.).Zależność pomiędzy tego typu zmiennymi najlepiej opisują funkcje potę-gowe (allometryczne). Nazywana jest ona allometrią (= nierównomier-ność, nieproporcjonalność) – w odróżnieniu od równomierności (izome-trii = proporcjonalności). Gdy 0,5 < b < 1 – hipometria; gdy b > 1 –hipermetria. U owadów: W ~ L2,6, W – masa ciała, L – długość ciała. Reguła Kleibera: M ~ W 0,75, M – tempo metabolizmu, W – j.w. (niekiedywyjątki: u niektórych stawonogów – wykładnik > 1).

7. Zależność pomiędzy liczbą gatunków (S), np. owadów, a zajmowaną przez nie powierzchnią (A) można opisać funkcją allometryczną:S = S0Ab, gdzie: S0 – wyjściowa (początkowa) liczba gatunków. Funkcja logarytmiczna (patrz – ćwiczenie I !)

8. Funkcja hiperbolicznaF. silnie malejąca: szczególny przypadek funkcji potęgowej o ujem- nym współczynniku kierunkowym (b < 0). Jednym z najważniejszych zastosowań f. hiperbolicznej w biologii jest modelowanieszybkości rozmnażania (liczby potomstwa) w zależności od masy lub od wielkości ciała. Najprostsza postać: y = ax–1; xy=a=const. Dla wysokich wartości x, krzywizna wykresu jest b. słaba i można ją aproksymować liniąprostą. Tę część wykresu, nazyw. „ciężkimogonem” („heavy tail”).„heavy tail” Typowy przykład:

9. Odwrócona hiperbolaFunkcja obrazowana wykresem odwróconej hiperboli, to: . W biochemii służy do modelowania kinetyki reakcji enzymatycznych, jako tzw. równanie i krzywa Michaelisa-Mentena: ; gdzie: V0 – szybkość reakcji enzymatycznej; [S] – stężenie substratu; Vmax – hipotetyczna, maksymalna szybkość reakcji; K – stała Michaelisa-Mentena – stężenie substratu, odpowiadające ½ Vmax . V0 asymptotycznie zbliża się do wartości Vmax, ale nigdy jej nie osiąga, czyli: limV0S = Vmax . R-nie Michaelisa-Mentena – ważny przykładz całej klasy funkcji Monoda, opisanej równaniem: . Równanieto daje się linearyzować: 1/y względem 1/f(x) ze współcz.kierunkowym b/a i wyrazem stałym 1/a – transformacja Lineweavera–Burka. Szczególny przypadek – równanie Hilla na wiązanie tlenu przezmioglobinę, w zależności od ciśnienia cząstkowego tlenu [p(O2)]. Jeżeli tlen jest wiązany nie przez monomer, lecz przez di-, tri lub tetramer mioglobiny – to [p(O2)] [odpowiednik f(x)] w r-niu jest podno-szone do potęgi II-giej, III-ciej lub IV-tej, a krzywa przyjmuje kształtsigmoidalny.Funkcje trygonometryczne – do przerobienia samodzielnego.

10. Allometria a geometria fraktalna Do czasu opracowania i powszechnego przyjęcia przez matematyków zasad geometrii fraktalnej, nie było możliwości matematycznego opisu i modelowania morfologii obiektów spotykanych w przyrodzie o kształtach bardziej skomplikowanych od prostych figur geometrycznych.Fraktal jest obiektem o kształcie bardziej skomplikowanym od prostych figur geometrycznych, zaś jego wymiar nie jest liczbą całkowitą – zwykle kończy się ułamkiem dziesiętnym (od ang.: „fraction” – ułamek).Proste obiekty – takie, jak: odcinek, prosta czy okrąg mają wymiar topologiczny (=euklidesowy; D) = 1; w miarę jak ich kształty się komplikują – ich wymiar wzrasta o pewną wartość ułamkową, którą nazywamy wymiarem fraktalnym (d) [w praktyce za wymiar fraktalny przyjmuje się jednak sumę wym. topologicznego i „dodatkowego” (s. stricto) fraktalnego (D+d)].Ważną cechą większości (choć nie wszystkich) fraktali jest samopodobieństwo. IFigura jest samopodobna, jeśli można ją podzielić na części, które są podobne doII całości (Białynicki-Birula & c., 2002). W całości samopodobnego płatka śniegu (I) można wyróżnić podobne doń „podpła- tki” II-go i III-go rzędu. SamopodobieństwoIII jest to układ / wzór, który wygląda podob-nie niezależnie od skali (W. Ulrich).Geome- tria fraktalna określa wzorce procesów samopodobnych. Procesy samopodobne

11. wyglądają podobnie bez względu na powiększenie, pod jakim je obserwujemy. Inspiracją do stworzenia podstaw geometrii fraktalnej był fakt różnej długości postrzeganej linii o złożonym przebiegu (np. granice państw / kontynentów), w zależności od długości linijki użytej do ich zmierzenia lub od powiększenia pod jakim są obserwowane (przykł. ze skr.: dł. linii brzegowej Europy).Im krótsza linijka – tym większa długość pos- trzegana. Zależność tąmożna opisać funkcją allometryczną (x – długość linijki lub czyn- nik skalowania; y – długość postrzegana). Funkcja potęgowa, bę-dąca najprostszym modelem procesu samopodobnego, to:L(s) = L0sD+d –1, gdzie: L – długość postrzegana, L0 – wyraz stały (długość hipotetyczna, przy nieskończenie wysokim s), s – czyn-nik skalowania (zmniejszenie / powiększenie), D – wymiar eukli - desowy; d – wykładnik funkcji potęgowej, definiującej proces samopodobny; D + d – kompletny wymiar fraktalny.

12. Wymiar fraktalny może być różnie definiowany i wyliczany przy użyciu różnych metod; 1 z najbardziej znanych – „wymiar Minkowskiego”: Wyliczanie wymiaru fraktalnego, gdy dane są obwód i powierzchnia różnych elementów badanego obiektu (zad. 5): Obwód (P): Powierzchnia (A):P = a*Ad/2 stała wymiar fraktalny Zastosowanie geometrii fraktalnej- modelowanie procesów rozgałęziania się naczyń w tkankach roślinnych i zwierzęcych- modelowanie zależności szybkości metabolizmu od masy ciała (prawo Kleibera!)- diagnostyka osteoporozy i jaskry w medycynie

13. Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. II. Wskazówki do zadania 1: Dla równania: y = 5x2 - 15x + 4 = (-15)2 - 4*5*4 = 145 x1 = (15 - 145)/(2*5) = 0,296 x2 = (15 + 145)/(2*5) = 2,704

14. Wskazówki do zadania 2:Po otwarciu wskazanej strony internetowej, program on-line (do charakterystyki trójmianu kwadratowego) – wygląda następująco:

15. Wprowadzamy w pole zaczynające się od „y=” prawą stronę naszego równania kwadratowego (1), a następnie klikamy w przycisk „Rysuj” (2):Klik

16. Powinny ukazać się: „Własności funkcji kwadratowej”,

17. oraz jej wykres:

18. Wskazówki do zadania 3:Program on-line, do kreślenia wykresów różnych funkcji, wygląda następująco:

19. Wprowadź w pole zaczynające się od „y=” prawą stronę odpowiedniego równania funkcji (1), a następnie kliknij w przycisk „Rysuj” (2):Tu wpiszrównaniefunkcji (1) Klik (2)

20. W efekcie powyższych czynności, uzyskujemy wykres: Wykresy kolejnych funkcji, wykonujemy w sposób analogiczny (zgodnie z instrukcją przy programie on-line)

21. Wskazówki do zadania 4:Wykres punktowy (X, Y), wykonujemy w taki sam sposób, jak w zadaniu 3 z Ćw. 1 (etapy a-k, w podpowiedziach). Powinien on wyglądać następująco:

22. Na wykresie punktowym (rozrzutu; XY) naprowadzamy kursor na dowolny punkt i wciskamy prawy przycisk myszy. Otwiera się menu, z którego wybieramy komendę: „Dodaj linię trendu” i zatwierdzamy: albo przez wciśnięcie <Enter> albo przez kliknięcie (lewy przycisk!!). Prawy przycisk(1) Naprowadzamy kursor i albo <Enter> albo Klik (2)

23. Wybieramy: „Typ trendu/regresji” – „Wykładniczy” i klikamy w zakładkę„Opcje” Klik (2)Klik (1)

24. W „Opcjach” włączamy (przez kliknięcie w mały, biały kwadracikprzed opcją): „Wyświetl równanie na wykresie” i „Wyświetl wartości R-kwadrat na wykresie”, a następnie zatwierdzamy przez kliknięcie w OK (R2 – współczynnik determinacji). Klik (1)Klik (2) Klik (3)

25. Gotowy wykres powinien wyglądać jak poniżej [w razie potrzebyformatujemy/powiększamy wyświetlane równanie i R2 (Prawy przycisk myszy  „Formatuj etykiety danych”  czcionka  rozmiar);iew. zmieniamy ich położenie]. Odczytujemy: N0 = 10179;k = 0,0072 i R2 = 0,9989. Równanie na wyliczenie czasu połowicznego zaniku t1/2 = ln(2)/k (dlaczego?) Po podstawieniu:t1/2 = 0,69315 / 0,0072 = = 96,3 lat

26. Wskazówki do zadania 5:Pobieramy plik Excela „paproc.xls” ze strony ćwiczeniowej i zapisuje-my na nośniku USB [dane: wyniki pomiarów obwodu i powierzchni fragmentów fraktala: liść Barnsley’a (paproci), uzyskano za pomocą programu analizy obrazu: „Scion Image”]. Wykonujemy wykres punktowy (XY) i dopasowujemy do danych krzywą regresji potęgowej („Trend potęgowy”) – metodami poznanymi w zadaniu poprzednim. Gotowy wykres: Z równania na wykresie, odczytu- jemy: wykładnik = 0,7782. Ponieważ: D = 2 * wykładnik,D = 2 * 0,7782 = 1,5564.

27. Dziękuję za uwagę ;-)