Algoritmi e Dimostrazioni Stefano Berardi

1. Algoritmi e DimostrazioniStefano Berardi Università di Torino http://www.di.unito.it/~stefano E-mail: stefano@di.unito.it

2. Un po’ di terminologia • Un algoritmo è un procedimento meccanico, affidabile a un calcolatore, per ottenere un certo risultato: è uno strumento di uso pratico. • Una dimostrazione è invece un argomento rigoroso per mostrare, senza possibilità di dubbio, la verità di una certa affermazione matematica: è uno strumento concettuale.

3. Argomento della conferenza • Algoritmi e dimostrazioni sono oggetti di uso molto diverso. • Mostreremo tuttavia come, in vari casi, una dimostrazione si possa leggere come un algoritmo, e quindi essere “usata” per risolvere dei problemi pratici. • Tale nuova lettura delle dimostrazioni matematiche, prevista dalla Logica, è stata sviluppata grazie all’Informatica.

4. Sommario • Daremo esempi di dimostrazioni fatte per Induzione che si possono “usare” per risolvere dei problemi. • 1. Le dimostrazioni per induzione. • 2. La prova di Euclide che esistono infiniti numeri primi. • 3. Un algoritmo di ordinamento. • 4. Un risultato generale.

5. 1. Dimostrazioni per induzione • L’induzione è una regola per dimostrare enunciati del tipo: “ogni numero naturale ha una certa proprietà P”. • Un esempio (facile): possiamo utilizzare la regola di induzione per dimostrare: “ogni numero naturale è pari oppure dispari”.

6. Regola di Induzione. • (Passo base) Supponiamo di aver dimostrato che 0 soddisfa la proprietà P. • (Passo Induttivo) Supponiamo di aver anche dimostrato, per ogni numero naturale n, che se n soddisfa P anche n+1 soddisfa P. • (Conclusione) Allora ogni numero naturale soddisfa P.

7. Perché P vale per ogni n? • 0 soddisfa P. • Se 0 soddisfa P, anche 1=0+1 soddisfa P. Dunque 1 soddisfa P. • Se 1 soddisfa P, anche 2=1+1 soddisfa P. Dunque 2 soddisfa P. • Se 2 soddisfa P, anche 3=2+1 soddisfa P. Dunque 3 soddisfa P. • Se 3 soddisfa P, anche 3=2+1 soddisfa P. Dunque 4 soddisfa P. • ………………… eccetera …………………

8. Un Esempio (facile) • Proviamo che ogni numero naturale è pari o dispari. • (Passo base) 0 è pari, dunque pari o dispari. • (Passo Induttivo) Se n è pari, allora n+1 è dispari, e se n è dispari, allora n+1 è pari. Dunque: se n è pari o dispari, anche n+1 è pari o dispari.

9. Un Esempio (continua) • Concludiamo, per la Regola di Induzione, che la proprietà P “essere pari o dispari” vale per ogni n. • Lo sapevamo già, ma non importa: volevamo solo spiegare come si usa la regola.

10. Perché P vale per ogni n? • 0 è pari o dispari. • Se 0 è pari o dispari, allora 1=0+1 è pari o dispari. Dunque 1 è pari o dispari. • Se 1 è pari o dispari, allora 2=1+1 è pari o dispari. Dunque 2 è pari o dispari. • Se 2 è pari o dispari, allora 3=2+1 è pari o dispari. Dunque 3 è pari o dispari. • Se 3 è pari o dispari, allora 4=3+1 è pari o dispari. Dunque 4 è pari o dispari. • ………… eccetera …………

11. 2. La Prova di Euclide. • Negli “Elementi di Geometria”, Euclide prova che esistono infiniti numeri primi. • La prova contiene un algoritmo (non molto efficiente, per la verità), per generare infiniti numeri primi.

12. Dimostrazione per induzione • Proveremo per Induzione che, per ogni n, esistono almeno n+1 primi (distinti tra loro). • Dobbiamo provare che esiste almeno un numero primo, e che se ne esistono almeno n+1, allora ne esistono almeno (n+1)+1=n+2 (almeno uno in più).

13. Dimostrazione per Induzione: passo base • Esiste almeno un numero primo, il numero 2.

14. Dimostrazione per Induzione: passo induttivo • Supponiamo che esistano n+1 primi: p1, p2, p3, …, pn+1 • Sia X = (p1p2p3…pn+1 + 1). X diviso pi fa (p1…pi-1pi+1…pn+1), con resto 1. • Dunque nessun pi divide esattamente X, cioè nessun pi è fattore primo di X.

15. Dimostrazione per Induzione: passo induttivo (segue) • Segue che ogni fattore primo di X è distinto da p1, p2, p3, …, pn+1. • Sia pn+2 il minimo fattore primo di X. Allora p1, p2, p3, …, pn+1 ,pn+2 sono n+2 primi distinti.

16. L’algoritmo nascosto nella prova di Euclide. • Partiamo con una lista di un solo primo, p1 = 2. • Sia X = (prodotto del solo 2) + 1 = 2+1=3. Il minimo fattore primo di X, cioè 3, è il secondo primo nella nostra lista. • Sia X =2.3+1=7. Il minimo fattore primo di X, cioè 7, è il terzo primo della nostra lista.

17. L’algoritmo nascosto nella prova di Euclide (segue) • La lista dei primi prosegue con: • X= 2.3.7+1 = 43, p4= 43 • X= 2.3.7.43+1 = 1807 = 13.139 p5= 13 • X= 2.3.7.43.13+1= 23479 = 53.443 p6= 53 • Il procedimento trova dunque infiniti numeri primi (non trova però tutti i numeri primi, ma solo alcuni, disposti per di più in modo bizzarro).

18. 3.Un algoritmo di ordinamento (ottenuto da una dimostrazione) • Daremo un esempio di una prova per induzione corrispondente ad un algoritmo di ordinamento. • Per la cronaca, l’algoritmo di ordinamento che otterremo porta il nome di InsertSort.

19. Cos’è un algoritmo di ordinamento • Un algoritmo di ordinamento prende una lista di oggetti (per esempio, una lista di nomi), e la dispone seguendo un certo ordine (per esempio, quello alfabetico), senza aggiungere né togliere elementi. • Si tratta di un procedimento che viene ampiamente usato in Informatica.

20. Un Esempio. • Sia L una lista di nomi: Gabriele, Eloisa, Emanuele, Federico • Una versione ordinata L’ di L è: Eloisa, Emanuele, Federico, Gabriele

21. Dimostrazione: una lista può sempre essere ordinata. • Proviamo per induzione che, per ogni n, ogni lista L di n+1 elementi ha una versione ordinata L’. • Dobbiamo provare che una lista di 1 elemento ha una versione ordinata, e che se le liste di n+1 elementi hanno versioni ordinate, allora anche le liste di (n+1)+1=n+2 elementi hanno versioni ordinate.

22. Passo base. • Una lista L di 1 elemento è già ordinata. • Infatti L non ha due elementi, e dunque, a maggior ragione, non ha due elementi in ordine errato (l’argomento può apparire paradossale, ma è logicamente corretto).

23. Passo Induttivo. • Sia L = a1, a2, a3, …, an+1 una lista di n+1 elementi, M = L, an+2 una lista di n+2 elementi. • Supponiamo che L abbia una versione ordinata L’= b1, b2, b3, …, bn+1. Dobbiamo definire una versione ordinata M’ della lista M.

24. Passo Induttivo (segue) • Inseriamo an+2 entro L’, dopo tutti gli elementi b1, …, bi, che precedono an+2 nell’ordine, ma prima di tutti gli elementi bi+1, …, bn+1che seguono an+2 . • Sia M’ = b1, …, bi, an+2 ,bi+1, …, bn+1 • M’ è una versione ordinata di M. Infatti in M’ vengono prima gli elementi di L precedenti an+2, nel loro ordine, poi an+2 stesso, poi gli elementi di L che seguono an+2, sempre nel loro ordine.

25. L’algoritmo nascosto nella prova di ordinamento. • Sia L = Gabriele, Eloisa, Emanuele, Federico, una lista di nomi. • Utilizzeremo la prova di ordinamento come algoritmo per ordinare L (in ordine alfabetico).

26. L’algoritmo di ordinamento (passo 1) • La lista di 1 elemento L1 = Gabrieleviene lasciata com’è.

27. L’algoritmo di ordinamento (passo 2) • Sia L2 = L1, Eloisa = Gabriele, Eloisa • Si inizia col dividere L1 in due parti: i nomi che precedono Eloisa nell’ordine alfabetico (la lista vuota), e i nomi che seguono Eloisa (il solo Gabriele). • Quindi si forma la lista ordinata L’2 = Eloisa,Gabriele • ponendo prima i nomi precedenti Eloisa, poi Eloisa stessa, infine i nomi che seguono Eloisa.

28. L’algoritmo di ordinamento (passo 3) • Sia L3 = L’2, Emanuele = Eloisa,Gabriele, Emanuele. • Si inizia col dividere L’2 in due parti: i nomi che precedono Emanuele nell’ordine alfabetico (la sola Eloisa), e i nomi che seguono Emanuele (il solo Gabriele).

29. L’algoritmo di ordinamento (segue passo 3) • Quindi si forma la lista ordinata L’3 = Eloisa, Emanuele,Gabriele • ponendo prima i nomi precedenti Emanuele, poi Emanuele stesso, infine i nomi che seguono Emanuele

30. L’algoritmo di ordinamento (passo 4) • Sia L4 = L’3, Federico = Eloisa,Emanuele, Gabriele, Federico. • Si inizia col dividere L’3 in due parti: i nomi che precedono Federico nell’ordine alfabetico (Eloisa e Emanuele), e i nomi che seguono Federico (il solo Gabriele).

31. L’algoritmo di ordinamento (passo 4 e fine) • Quindi si forma la lista ordinata L’4 = Eloisa, Emanuele, Federico,Gabriele • ponendo prima i nomi precedenti Federico, poi Federico stesso, infine i nomi che seguono Federico.

32. 4. Un risultato generale • Un logico, G. Kreisel, ha provato nel 1960 che ogni dimostrazione matematica dell’esistenza di un oggetto con proprietà decidibili (=verificabili mediante un procedimento meccanico) può essere letta come un algoritmo. • Tale algoritmo utilizza effettivamente le idee contenute nella dimostrazione stessa.

33. Un esempio di applicazione del Teorema di Kreisel • L’enunciato “esiste una versione ordinata L’ di una lista L data” afferma l’esistenza di un oggetto, L’, con una proprietà “decidibile”, essere ordinata. • Dunque ogni prova per induzione di tale proprietà, contiene, per il per il Teorema di Kreisel, un metodo per costruire tale versione ordinata L’ di L.

34. Conclusioni • In questa conferenza abbiamo visto come la regola di Induzione abbia una “lettura” come algoritmo abbastanza intuitiva. • Il Teorema di Kreisel, però, ci dice che la stessa “lettura” è possibile per tutte le dimostrazioni dell’esistenza di un oggetto con proprietà decidibili, anche per quelle che utilizzano ragionamenti per assurdo, in cui la lettura come algoritmo non è affatto evidente (pero c’è).

35. Uno Slogan Dimostrazioni di esistenza di un x avente una proprietà P = un algoritmo che trova tale x + una prova che x soddisfa P (purché la proprietà P sia decidibile).

36. Estrazione di Programmi da Prove • Esistono vari sistemi di sviluppo di dimostrazione al calcolatore, come il francese Coq. • Essi consentono di scrivere una dimostrazione al calcolatore, quindi di controllarne la correttezza logica, infine di produrre automaticamente l’algoritmo associato alla prova stessa.