Pénzügyi modellek

1. Pénzügyi modellek A képletek korlátai

2. Árazás? Nem igazán. Modellre épített árakból jelentős pozíciót vállalni elfogadhatatlan kockázatot jelent, mint azt láttuk az elmúlt húsz évben. Így az árak elsősorban a piacon alakulnak ki • Előfordulhat, hogy olyan terméket akarunk árazni ami nem létezik pontosan a piacon, csak hasonlók. Ilyenkor jól jöhet a modell. • Kockázatkezelés? Inkább. Ha pozíciót vállalunk, akkor szeretnénk tudni, hogyan kezeljük azokat a kockázatokat, amelyeket nem akarunk vállalni. Pl. csak a volatilitásról gondoljuk, hogy a piac félreárazza, akkor nem akarunk delta kockázatot futni • Az arbitrázsmentes árazás fontos – de csak akkor ha gyakorlatban kivitelezhető Opcióárazás - Mi a modell célja

3. Black Scholes formula pénzügyi termékekre kiírt opciók árát adja meg • Inputként a mögöttes termék árát, árának szórását, a lejáratig hátralévő időt és a kockázatmentes kamatot használja fel • Feltételezi a mögöttes termék árának lognormális eloszlását, az árak folytonos mozgását (mindkét értelemben) és a piacokhoz való folyamatos hozzáférést • A formula régen ismert, Black Scholes a levezetéssel elméleti igazolást akart adni • A szükséges feltételekről hamar kiderült, hogy nem állják meg a helyüket Black Scholes model

4. Detering és Packham megvizsgálta a következő kereskedési stratégiát: DAX opciókat eladunk a piacon majd a Black Scholes alapján fedezzük (naponta újrasúlyozva az indexet) • A stratégia pozitív várható értékű (implied rendszerint nagyobb mint a realizált) és a szórás is nagy. A veszteség az opció prémium 25%-a 95% konfidenciaszinten és 41%-a 99% konfidenciaszinten • A fedezeti stratégia teljesítménye nem javul akkor sem, ha a delta számításakor figyelembe vesszük az az implied volatilitás változását • Black Scholes modell szerint opciónként is működnie kellene, de még statisztikailag sem működik Black Scholes a fedezés tükrében

5. Ideális kockázatkezelés piaci elemekből összállított statikus fedezés • Példa: extinguishing swap • Ha több lehetőség van, akkor mindig érdemes a leglikvidebb eszközosztállyal fedezni • Black Scholes modellben a fedezés csak az opció tárgyára irányul – az ideális választás a forward használata, kiküszöböli a kamatkockázatot • De mi történik ha a volatilitás változik? Ebben a modellben ezt nem tudjuk kezelni Kockázat kezelés

6. A piaci opció árakat csak úgy lehet megkapni, ha a különböző lehívási árakhoz különböző volatilitást társítunk, vagyis a piac nem fogadja el a Black Scholes modellt – csak azt állítja, hogy használja • Az eloszlás nem esik egybe a tapasztalattal – mint ahogy a piac 1987-ben megtanulta • A folytonos fedezés nem lehetséges – likviditási és információ eloszlási korlátok miatt • Kereslet kínálat itt is létezik Black Scholes a piacon

7. Az alternatív modellek a Black Scholes modell megkötéseit próbálják enyhíteni • Sztochasztikus szórás – pl. Heston mean reverting szórás • Lokális szórás – szórás függ a az eszköz árától • Mean reverting modellek – elsősorban fx és kamat témakörben • Multifaktor modellek kamat és kötvényopciók részére • Egyéb eloszlások, pl. általános Lévy folyamatok, vagy Pareto eloszlás Alternatív modellek

8. Túl sok paraméter: overfitting, alacsony szignifikncia a paraméterekre • A paraméterek időben nem stabilak, ráadásul a piaci mozgások intenzitása is befolyásolja őket • A nem folytonos modellek eleve nem biztosítanak fedezési stratégiát • Általában a modellek célszerszámok: bizonyos problémákat jól oldanak meg, másokat egyáltalán nem • A modellek fedezési teljestménye még mindig hagy kivánnívalót maga után Alternatív modellek értékelése

9. Piaci információ korlátok

10. Definiáljuk a megengedett modellek halmazát • Keressünk ezen egy eloszlást valamilyen jósági kritérium alapján (pl a piaci árakhoz való illeszkedés) • Egy adott fedezési stratégia modellhibáját egy adott modellre ki tudjuk számítani • Az egyes modellekhez tartozó modellhibákat átlagoljuk a fentebb definiált eloszlás szerint – ez lesz a stratégiához tartozó modellhiba • Azt ezt minimalizáló stratégia hibája lesz a minimális modellhiba • Általában véve a modellből adódik az adott modellhez tartozó optimális modell Minimális modell hiba

11. Ha a minimális modellhiba nulla, akkor az ezt elérő stratégia modell-független • Ha a modell nem folytonos, akkor nem lehet fedezni • Modell független statikus fedezési stratégiák a legjobbak • Általában a jósági kritérium befolyásolja a modellhibát • Carr-Madan alapján, ha létezik likvid opció minden strike-ra és lejáratra akkor lehet statikus modell független fedezést csinálni • Ez persze nem így van, de ezt a tényt fel lehet használni optimális fedezési stratégiák kidolgozására Minimális modell hiba

12. Általában épeszű trading stratégiában fontos a korlátlan kockázat elkerülése • Ha nagy opciós portfoliónk van, kis gammával akkor alapvetően a várható érték fontos számunkra • Ha stratégiánk a volatilitás monetizálása (például hosszú opció fedezése a mögöttes termék segítségével), akkor a szórás modellezése a legfontosabb • Ha a stratégia passzív opció vétel vagy eladás, akkor elsősorban eseményvalószínűségek korlátok közé szorítása • Gyakran a korlátozó feltételek – ha piaci információra épülnek – akkor egyben a fedezeti stratégiát is megmutatják A stratégiához alkalmazkodó modellek megtalálása a cél

13. Mi is az a CDO • Egyszerűen fogalmazva egy speciális cég • Eszközei kötvények, vagy hasonló hiteleszközök • Forrásszerkezete hierarchikus és számos részből áll • A hierarchikus szerkezet miatt a különböző források kockázata is különböző

14. Teljes tőkeszerkezet • A teljes tőkeszerkezet a klasszikus CDO, itt a források összege megegyezik az eszközök összegével • Árazást a piac biztosítja, mivel a szervező bank eladja az összes forrást • Létjogosultságát a ‚rating arbitrage’ adta, ugyanis a középső és felső részek a forrásban a ratinghez képest sokat fizetett • Kockázatkezelésre a vevőknek van szüksége, de ezek általában lejáratig tartott eszközök voltak, így csak a veszteség valószínűségét próbálták megítélni

15. Szintetikus CDO • A CDO-k ‚rating arbitage’-a legjobban a tőkeszerkezet közepén működik ezért ez volt a legjövedelmezőbb része • Lehetne-e csak ezt a részét csinálni az üzletnek? • Hát persze! Csináljunk modellt, árazzuk be a középső részt a modell alapján és mehet! Arbitrage! • De valahogy meg kellene oldani a kockázatkezelést is, erre is kellene egy modell! Ez a modell nem biztos, hogy ugyananaz a modell mint az árazáshoz, hiszen dinamikus fedezésre van szükség

16. Szintetikus CDO: a piac • Mivel a bankok számára a kereslet csak egyik irányban létezett, ezért féltek attól, hogy a paraméterek nem piackonformak • Piaci szereplők ezért létrehoztak sztenderdizált indexekre épülő sztenderdizált forrásszeleteket • Ezek együttesen lefedik a teljes tőkeszerkezetet, de nem kellett együtt kereskedni velük • Lehet árazásra és fedezésre is használni • Bankok egymás között és ügyfelekkel is kereskedtek ezekkel

17. Sztenderd modell • Credit modellezése: csőd bekövetkezik vagy nem. • Megállási idővel modellezzük, időtől független túlélési ‚sűrűség’, ebből következik hogy az exponenciális eloszlás logikus választás. Piac adja a kockázat semleges eloszlást • Hogyan modellezzük az együttes eloszlást? A marginális eloszlást ismerjük, már csak egy copula függvényre van szükség, hogy összekovácsoljuk őket • Sztenderd modell: normál copula. Egy faktor, ami a piacot modellezi plusz független azonos eloszlású zaj • Legnagyobb előny – kevés paraméter becslésére van szükség és számítása könnyű

18. Sztenderd modell • Input (elméletileg): az árazáshoz a túlélési valószínűségek és az ezek közötti összefüggések kellenek. • Ha dinamikus fedezést akarunk, akkor valószínűleg modellezni akarjuk a valószínűségek változását is • Output: az adott forrásszelethez tartozó kamatfelár, valamint a fedezéshez tartozó mennyiségek. • A sztenderd modellben az összefüggések leredukálódnak egy ‚korreláció’ értékre, az egyes túlélési valószínűségek helyett pedig az átlagos érték szerepel

19. Problémák a sztenderd modellel • Index és az index alkotóinak súlyozott átlaga nem ugyanaz. Átlag használata az egyes spreadek helyett. Bid-ask spread. • Normál copula nem tud ‚tail dependence’-t modellezni. • Általában véve nem feltétlenül van olyan korreláció, amely helyesen árazza az összes forásszeletet, nem feltétlenül egyértelmű a megoldás (-base correlation) • Az indexszel való fedezés nem teszi lehetővé a realizált korreláció monetizálását • A modell nem számol azzal, hogy a maradványérték különböző és szituációfüggő lehet • A modell nem ad a Black Scholes modell levezetéséhez hasonló explicit algoritmust a fedezésre – statisztikai modell

20. Piaci tapasztalatok • Prémium a konvexitásért • Nagy kitettség egyedi kockázatnak – 2005 Ford and GM leminősítés • Interakció a piac és a modell között – a modell ‚sikere’ az egész piacot elnyomta • Korrelációs különbségek portfoliónként

21. Alternatív modellek • Merton típusú strukturális modellek: például Variance Gamma modellek • Student és double t-copula lehetővé teszi a tail dependence modellezését • A sztochasztikus korrelációra épülő modellek jobban magyarázzák a korrelációs smile-t • Marshall-Olkin copula megengedi az együttes csődöt pozitív valószínűséggel • Igazi opciós modell nincs erre. Vasicek féle LHP közelítésre építve lehet összehozni valamit közvetlenül a veszteséget modellezve.

22. Összehasonlító eredmények a modellek között • Gaussian és Student nagyon hasonló eredményekhez vezet • Marshall Olkin lehetővé teszi a vastagabb farok eloszlást és ennek megfelelően a senior szeleteket magasabb felárral árazza • A double t és sztochasztikus korreláció jobban illeszkedik a korreláció ‚smile’-ra, a double t a senior szeleteket a gauss és a Marshall Olkin között árazza • A Variance Gamma modellek jól illeszkednek, de nem mondanak semmit a fedezésről • Egyik modell sem kezeli a az intenzitás volatilitását

23. Senior szelet – tail dependence • Ebben a szeletben a veszteség kis valószínűségű esemény • A kiíró számára ez tipikusan statikus pozíció, legtöbbször pozitív bevétellel (hasonlít egy OTM opció kiírására) • A modellezésnek figyelembe kell venni, hogy ha van veszteség, akkor valószínűleg szélsőséges helyzet következett be, és negatív események között sokkal nagyobb az összefüggés mint normális helyzetben • Mivel az események időzítése sokkal kevésbé jelentős, mint az esemény bekövetkezése, ezért nyugodtan lehet az események előfordulására figyelni

24. Mezzanine szelet – előtérben a volatilitás és korreláció • Mezzanine szelet sok szempontból az ATM opció párja – a határon van, egy két csődesemény előfordulhat, több ne nagyon • Ennek megfelelően itt a legnagyobb a “gamma”, vagyis a pozíció fedezését itt kell leggyakrabban változtatni • Ráadásul a korreláció változásának is itt van az inflexiós pontja • Ezért bármilyen értelmes modellezésnek figyelembe kell venni a volatilitást • A piaci faktor és az egyedi kockázatok volatilitását egyaránt

25. Equity tranche • Csődesemény bekövetkezésének valószínűsége nagy • Az előfordulás időzítése nagyon fontos • Sokat számít a kamatfelárak eloszlása a portfolión belül • Potenciális nyereség és veszteség összemérhető egymással • Legérzékenyebb piaci mozgásokra • Általában fundamentális elemzésre van szükség a pozíció válalásához

26. Záró megjegyzések • A pénzügyi piacokon a modellek funkciója az árak és fedezési stratégiák korlátok közé szorítása • Explicit és modell független replikáció nélkül csak segédeszköze az üzletkötésnek • Leghasznosabb funkciója a nem triviális összefüggésekre való rávilágítás illetve fedezési stratégiák megtalálása