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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

ESTRUTURAS ALGÉBRICAS. AS ESTRUTURAS. I – GRUPÓIDE. Consiste no par (A,  ) onde  é uma operação interna definida no conjunto A. Exemplo 1:. (Z,  ), onde a  b = a – b (operação subtração). a – b  b - a. A subtração não é comutativa. (a – b) – c  a – (b – c).

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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

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Presentation Transcript

  1. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS AS ESTRUTURAS

  2. I – GRUPÓIDE Consiste no par (A,) onde  é uma operação interna definida no conjunto A. Exemplo 1: (Z, ), onde a  b = a – b (operação subtração). a – b  b - a A subtração não é comutativa. (a – b) – c  a – (b – c). A subtração não é associativa. Zero é o elemento neutro à direita. (Z, -) admite neutro à direita.  a  Z, a – 0 = a. N – a = a  N = 2a. Não existe neutro à esquerda.  Seria um neutro para cada valor de “a”. Também, em (Z, -) todo elemento é inversível à direita, sendo cada elemento o seu próprio inverso ( a  Z, a – a = 0).

  3. c c (a  b) c = (ab) = abc e a  (b  c) = a(b). n = a a Exemplo 2: (N, ), onde a  b = ab (potenciação). Como bc é diferente de bc,  não é associativa ab ba. A potenciação não é comutativa.  admite elemento neutro à direita. a  n = an = a  n = 1.  1 é o elemento neutro à direita. Não existe neutro à esquerda. n  a = na = a  Inverso à direita a  a’ = aa’ = 1  a’ = 0. Isto é impossível. O mesmo inverso para todos os elementos.

  4. a 2a a 2a Sejam: b 2b b 2b A1= e A2 = (3ab) 2(3ab) (3ab) 2(3ab) 3ab 6ab 3ab 6ab ab + 2ab a.2b + 4ab ab + 2ab a.2b + 4ab = = II – SEMI-GRUPO É um grupóide associativo. Exemplo: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 onde a segunda coluna e o dobro da primeira e a segunda linha é igual à primeira linha. Será, o produto de duas matrizes desse tipo, uma matriz desse tipo? A1.A2 = Como pode ser notado, o resultado é uma matriz do tipo definido.

  5. A multiplicação de matrizes é associativa mas não é comutativa. Na multiplicação de matrizes, o elemento neutro é a matriz identidade. Porém, a matriz identidade não satisfaz a definição do tipo de matriz do Enunciado. Portanto, não há elemento neutro. Se não existe elemento neutro, não existe inverso. CONCLUSÃO: "o par (M, .), é um semigrupo" ou "grupóide comutativo".

  6. III - MONÓIDE É um semi-grupo com elemento neutro. Exemplo: Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. O produto de duas matrizes 2x2 é uma matriz 2 x 2. A multiplicação de matrizes é associativa A matriz identidade, com aij = 1 se i = j e aij = 0 se i  j é o elemento da multiplicação. Nem toda matriz tem inverso. Somente as matrizes com determinante diferente de zero têm inverso.

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