RESISTANCE DES MATERIAUX

1. 1 BUT RESISTANCE DES MATERIAUX La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation des solides dans le but de déterminer leurs dimensions transversales afin qu’ils supportent les charges dans des conditions de sécurités satisfaisantes et au meilleur coût. La résistance des matériaux est basée sur des hypothèses et de essais. 2 HYPOTHESES 21 HYPOTHESES SUR LES MATERIAUX HOMOGENEÏTE : on admet que les matériaux ont les mêmes caractéristiques mécaniques en tous points. ISOTROPIE : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. L’isotropie est vérifiée pour les aciers non fibrés (les aciers laminés et forgés ne sont pas isotropes). Les matériaux tels que le bois ou les composites ne sont pas isotropes.

2. b a L 22 HYPOTHESES SUR LA GEOMETRIE DES SOLIDES RESISTANCE DES MATERIAUX Définition d’une poutre Une poutre est un solide engendré par une section (S) droite et plane dont le centre de gravité G se déplace sur une ligne droite ou courbe (C) appelée « ligne moyenne ». Le rayon de courbure de la courbe (C) est grand devant les dimensions transversales de la section. La section droite (S) reste perpendiculaire à la ligne (C). • Les solides idéaux sont des poutres présentant : • - Des sections droites constantes ou variables lentement en dimensions et forme. • - Des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimensions transversales. (En général on prend L > 10 *b)

3. 23 HYPOTHESES SUR LES FORCES RESISTANCE DES MATERIAUX Les forces s ‘appliquent dans un plan. Ce plan est perpendiculaire à la poutre et contient la ligne moyenne de la poutre. 24 HYPOTHESES SUR LES DEFORMATIONS Dans le domaine élastique les déformations sont très faibles avec des matériaux très rigides. (Béton, acier …). Elles ne modifient pas les efforts calculés en statique. Hypothèse de Navier-Bernoulli Les sections droites et planes (normales à la ligne moyenne) avant déformation restent droites et planes après déformation. (normales à la ligne moyenne déformée). Hypothèse de Saint Venant Dans les sections droites (S) éloignée de la zone d’application des charges (l>d), la répartition des contraintes ne dépend pas de la répartition des charges appliquées, mais uniquement des éléments de réductions du torseur de cohésion associé à ces charges.

4. Solide S1 Section S 3 NOTION DE CONTRAINTE RESISTANCE DES MATERIAUX Considérons un solide (S1) en équilibre , dans le repère R (O, ) sous l’action de cinq forces {1} {2} Réalisons une coupe de ce solide S1 par la section (S), elle sépare le solide en deux parties {1} et {2}.

5. {1} S G ds Isolons la partie {1} elle est toujours en équilibre sous l’action de : RESISTANCE DES MATERIAUX • - les actions - les actions de la partie {2} sur la partie {1} isolée. Dans la section S, sur chaque élément de surface ds, s’applique un effort élémentaire . définit par : On appelle contrainte le vecteur

6. Le vecteur est colinéaire au vecteur RESISTANCE DES MATERIAUX Par définition : on le projette sur l’axe : et dans le plan ( ) - la projection de sur est appelée contrainte normale : • - la projection de sur le plan ( ) est appelée contrainte tangentielle :

7. 4 TORSEUR DE COHESION RESISTANCE DES MATERIAUX L’ensemble des actions élémentaires exercées par la partie {2} sur la partie {1} isolée constitue un système de vecteur qui se réduit au centre de gravité G de la section à un torseur que l’on appelle : « TORSEUR DE COHESION ». C’est un système d’effort interne à la matière qui permet de réunir la partie {1} et la partie {2}. Le solide étudié est en équilibre et lorsque l’on fait une coupe pour étudier la partie {1}, cette partie {1} reste en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des efforts intérieurs exercés par la partie {2} sur partie {1}.

8. G Principe fondamental de la statique RESISTANCE DES MATERIAUX La somme des torseurs appliqués au solide isolé est nulle. Le torseur de cohésion a pour éléments de réduction au point G : G + G + G = Avec : = - ( + ) * * = - ( + )

9. G 5 DEFINITION DES SOLLICITATIONS SIMPLES RESISTANCE DES MATERIAUX Le repère R (G, ) est le repère de définition des sollicitations simples. C’est un repère local direct lié à la section droite S. - La projection de la résultante sur l’axe R est appelée : N : effort Normal. • - La projection de la résultante • sur le plan • est appelée : T : effort Tranchant.

10. G • 5 DEFINITION DES SOLLICITATIONS SIMPLES RESISTANCE DES MATERIAUX - La projection du moment résultant sur l’axe est appelée : Mt : moment de Torsion. R • - La projection du moment résultant sur le plan ( ) est appelée : Mf : moment de Flexion. Le torseur de cohésion se présente donc sous la forme :

11. 6 ESSAI DE TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX Nous avons vue au § 1 que la résistance des matériaux est basée sur des hypothèses et des essais. L’essai le plus important est l’essai de traction car il donne des valeurs directement utilisables dans les calculs. Cet essai consiste à appliquer, très progressivement et sans choc, un effort sur l’axe d’une éprouvette, dont la forme est normalisée, afin de mesurer son allongement Les résultats de cet essai sont donnés par une courbe où l’on a porté : • - en ordonnée la valeur de l’effort unitaire R (ou contrainte normale ) en Mpa. - en abscisse la valeur de l’allongement unitaire : (pas d’unité).

12. 6 ESSAI DE TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX L’effort unitaire R (ou contrainte normale en Mpa) Avec F : effort de traction en N Et S0 : section initiale de l’éprouvette en mm2 L’allongement unitaire = =

13. 6 ESSAI DE TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX On distingue sur cette courbe deux zones : la zone OA : l’éprouvette a une déformation élastique. L’allongement unitaire est proportionnel à l’effort appliqué. Dès que l’effort • est supprimé l’éprouvette reprend sa longueur initiale l0. • On reste dans cette zone tant que < Re Re est appelé la résistance élastique du matériau Re s’exprime en MPa, Pour les aciers 200 < Re < 1000 MPa.

14. 6 ESSAI DE TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX >Re La zone AD : L’ éprouvette a une déformation permanente. L’allongement unitaire n’est plus proportion- -nelà l’effort unitaire appliqué. Lorsque est supprimée l’éprouvette ne reprend pas sa longueur initiale l0. De A à C : l’éprouvette s’allonge et reste cylindrique. De C à D : l’allongement continue de croître avec un effort moins important. Il apparaît un étranglement appelé striction qui s’accentue jusqu’à la rupture en D. Rr est la résistance à la rupture du matériau

15. 6 ESSAI DE TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX Après rupture l’éprouvette a une longueur lu. On définit l’allongement en % : A% = * 100 Pour les aciers 0% < A% < 30%.

16. 6 ESSAI DE TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX Déformation de l’éprouvette au cours de l’essai.

17. RESISTANCE DES MATERIAUX Nous avons vue qu’il y a proportionnalité, dans la première zone, entre la contrainte normale et l’allongement unitaire Cette relation de proportionnalité est appelée « loi de HOOKE » et s’écrit : Le terme E est appelé module d’élasticité longitudinal ou module d’YOUNG il s ‘exprime en MPa. Pour les aciers E = 200 000 MPa.

18. 7 COEFFICIENT DE SECURITE RESISTANCE DES MATERIAUX La résistance des matériaux est basée sur des essais. Même si ces essais sont fiables on préfère, en mécanique, que la contrainte soit assez inférieure à la limite élastique des matériaux. TABLEAU DES COEFFICIENT DE SECURITE Pour cela on applique des coefficients de sécurités pour calculer les sections des pièces. La condition de résistance s’écrit : Où s est le coefficient de sécurité adopté.