Calendriers

2. Calendriers Formation mathématique des calendriers La réforme grégorienne était-elle la plus judicieuse ? La connaissances des Temps

3. Formation mathématique des calendriers Les astronomes, par leurs observations et connaissances mathématiques, ont toujours été associés à la construction des calendriers. Pour ne pas voir dériver trop vite un calendrier basé sur une année forcément fausse (nombre entier de jours), quelles corrections périodiques ou non doit-on faire ? Contre exemple : calendrier vague de 365 jours, se recale au bout de 1461 ans. Pour être commode d’utilisation, on recherche dans un cycle de n années, le nombre m de corrections, ajouts ou retraits, d’un ou plusieurs jours à faire pour se recaler le mieux possible sur le Soleil. Exemples : calendrier musulman, alternance irrégulière des mois à 29 et 30 jours. Calendrier julien, ajout d’un jour tous les 4 ans. La connaissances des Temps

4. Formation mathématique des calendriers Quel outil mathématique de recherche de la solution ? Décomposition en fractions continues. • But : • trouver une approximation d’un nombre réel positif sous forme d’un quotient deux nombres entiers. Méthode q = q0+ u1(u1<1) On écrit le nombre sous la forme Puis 1/ u1 = q1+ u2 … 1/ un = qn+ un+1 Le nombre s’écrit Exemple : le nombre PI ? 3, 7, 16, 1, 292 3, 22/7, 333/106, 355/113 La connaissances des Temps

5. L’année tropique 365,24221988 On va rechercher pour la partie fractionnaire de l’année tropique ses décompositions en fractions continues. Soit n/m une bonne approximation. Si dans un laps de m années, on fait n années bissextiles, quelle sera la moyenne de l’année sur ces m années ? Nombre de jours écoulés sur m années : Nj = 365 x m + n (corrections) Moyenne sur m années : Nj =(365xm)/ m + n/m = 365 + n/m On a bien une valeur moyenne proche de la valeur réelle. La connaissances des Temps

6. L’année tropique 365,24221988 Travail avec excel Décomposition en fraction continue de la partie fractionnaire: q1, q2, q3,… q6 Pour chaque q, calculer les numérateur et dénominateur de la fraction continue correspondante (à la calculette) et l'inscrire dans la feuille du tableur : • 1 colonne numérateur • 1 colonne dénominateur Calculer dans les colonnes suivantes : • La durée moyenne de l’année ainsi établie, • La différence avec l’année tropique vraie, • Le nombre d’années pour que la différence fasse un jour. La connaissances des Temps

7. L’année tropique Décomposition en fraction continue : 365,24221988 Suite des qi ? 4, 7, 1, 3, 5, 6 Nb année pour 1 jour Fractions Durée année Différence -0.0078012 0.00081949 -0.000225442 1.13E-05 -3.0847E-07 4.81997E-08 128 1220 4436 88496 3241811 20747019 1 / 4 7 / 29 8 / 33 31 / 128 163 / 673 1009 / 4166 365.25000 365.24138 365.24242 365.24219 365.24220 365.24220 La connaissances des Temps

8. Et l’année grégorienne ? 400 année grégoriennes Durée de l’année grégorienne ? 400 années normales :400 * 365 jours 100-3 années bissextiles : + 97 jours 400 x 365 + 97 = 146097 1 an = 365,2425 jours -0.0078012 0.00081949 -0.000225442 1.13E-05 -3.0847E-07 4.81997E-08 128 1220 4436 88496 3241811 20747019 1 / 4 7 / 29 8 / 33 31 / 128 163 / 673 1009 / 4166 365.25000 365.24138 365.24242 365.24219 365.24220 365.24220 Année grégorienne 365,2425 -0.0003012 3320 La connaissances des Temps

9. Et l’année grégorienne ? Discussion -0.0078012 0.00081949 -0.000225442 1.13E-05 -3.0847E-07 4.81997E-08 128 1220 4436 88496 3241811 20747019 1 / 4 7 / 29 8 / 33 31 / 128 163 / 673 1009 / 4166 365.25000 365.24138 365.24242 365.24219 365.24220 365.24220 Année grégorienne 365,2425 -0.0003012 3320 Le cycle 7 / 29 : 8 années bissextiles en 29 ans ? Non utilisé Utilisé : calendrier persan Le cycle 8 / 33 : 8 années bissextiles en 33 ans ? A été proposé Le cycle 31 / 128 : 31 années bissextiles en 128 ans ? La connaissances des Temps

10. Compléments La fraction 31 / 128 pourrait être mise en œuvre facilement : Sur un cycle de 128 ans, il faut une année bissextile tous les 4 ans 32 = 128/4, sauf une. Si l’on numérote les années du cycle 1 à 128, et si on prend comme principe d’avoir les années bissextiles de rangs 4, 8, 12, … 128 Il suffit que la dernière année de rang 128 ne soit pas bissextile. La réforme grégorienne est basée sur un double cycle de 4 et 400 ans. Mais 4 étant diviseur de 400, le cycle global est 400. Autres sujets abordables par les fractions continues : L’année lunaire, le nombre d’or, le Saros… La connaissances des Temps

11. Calendrier œcuménique Turquie 1912 Calendrier julien en arabe Calendrier musulman Calendrier julien en grec Calendrier grégorien Calendrier israélite La connaissances des Temps

12. Remarques 1- Si l’on ne trace sur le mur qu’une méridienne, un style horizontal suffit pour voir l’ombre de son extrémité passer sur le tracé de l’équation du temps. Si la longueur de la tige est l, il suffit de remplacer dans les formules l cos j par l. 2 - Souvent pour une méridienne, l’extrémité de la tige porte un petit disque percé en son centre. C’est alors la tache lumineuse qui sert à repérer la trajectoire du Soleil, comme dans les grandes méridiennes des églises. La connaissances des Temps

13. Tracé et calcul sous excel • Voir le fichier trace_meridienne.xls • feuille 1 mur non déclinant • feuille 2 mur déclinant La connaissances des Temps

14. La méridienne de l’Hôtel de Ville de Lyon La connaissances des Temps

15. Bibliographie Calendriers • Annuaire de l’IMCCE Ephémérides astronomiques (annuel) • Chapitre I Données sur les calendriers • Chapitre II Définitions générales : coordonnées et temps Calendriers Saga sur http://www.louisg.net La connaissances des Temps