1 / 27

Analisa Data Statistik

Analisa Data Statistik. Agoes Soehianie, Ph.D. Chap 4: Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan). Mean (Rata-Rata) Variabel Random.

torn
Download Presentation

Analisa Data Statistik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Analisa Data Statistik Agoes Soehianie, Ph.D

  2. Chap 4: Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan)

  3. Mean (Rata-Rata) Variabel Random Jika X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka mean (rata-rata) atau nilai ekspektasi (harapan) dari X adalah μ, yaitu (diskrit dan kontinu) sbb: Contoh. Dilempar 2 buah mata uang, jika X adalah variabel random yg menyatakan banyaknya muncul Angka (A) dalam percobaan tsb, hitunglah nilai ekspektasi X. Jawab. Ruang sampel percobaan ini S = {AA,AG,GA,GG} Probabilitasnya masing-masing P(X=0) = P(GG)= ¼ P(X=1) =P(AG)+P(GA)= ½ dan P(X=2)= P(AA)=1/4

  4. Mean (Rata-Rata) Variabel Random Nilai ekspekstasi X adalah: Hasil ini berarti rata-rata jikalau percobaan ini dilakukan berulang-ulang dalam jumlah besar, rata-rata jumlah mata angka (A) yg muncul dalam 1x percobaan adalah 1 buah. Contoh. Sekotak komponen 7buah diperiksa oleh inspektur QC. Isi kotak tsb 4 komponen baik dan 3 cacat. QC mengambil sampel 3 buah dari kotak tsb. Carilah nilai harapan (rata-rata) banyaknya komponen yang baik yg diperoleh dalam sampel tsb

  5. Mean (Rata-Rata) Variabel Random Jawab: Kita hitung dulu banyak titik ruang sampel jika diambil 3 dari kotak tsb yg berisi 7. Ini adalah masalah banyak kombinasi 3 obyek yg diambil dari 7 obyek, jadi n(S)= n(S) = C73 = 7!/(3!*(7-3)!) = 35. 7 komponen tsb berisi 4 baik dan 3 cacat. Jika diambil 3 buah acak banyaknya kombinasi yg berisi 1 sampel baik (berarti 2 cacat) adalah (ingat urutan tdk berpengaruh): banyak kombinasi 1 sampel baik dari 4 sampel baik (KALI) banyak kombinasi 2 sampel cacat dari 3 sampel cacat n(1baik, 2cacat) = C41*C32 = 4!/(1!3!) * 3!/(2!1!) = 12 buah Jadi probabilitas terambilnya sampel 3 buah = 1baik +2cacat, P(1baik, 2cacat) = 12/35.

  6. Mean (Rata-Rata) Variabel Random Jawab: Definisikan variabel random X= banyak komponen baik dari 3 sampel yg terambil, maka, jika f(x) menyatakan probabilitas mendapatkan X=x, berarti f(X=1) = 12/35. Mengikuti pola tsb maka secara umum: Nilai rata-rata X diperoleh dari: Jadi secara rata-rata dalam 1 pengambilan sampel akan berisi 1.7 komponen yg baik

  7. Mean (Rata-Rata) Variabel Random Soal. Dalam sebuah permainan si Badu akan mendapat hadiah Rp. 5000 jika hasil pelemparan 3 buah koin menunjukkan angka semua atau gambar semua. Tapi dia harus membayar Rp 3000 jika yang muncul 1 atau 2 gambar yg muncul dari 3 pelemparan tsb. Berapakah nilai harapan perolehannya?

  8. Mean fungsi Variabel Random Jika X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai ekspektasi variabel random g(X) adalah: Diskrit kontinu Contoh. Misalkan probabilitas jumlah mobil X yg masuk ke sebuah pencucian mobil antara jam 4 dan 5 adalah sbb: x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6 Misalkan g(X)=2X-1 adalah bonus yg diberikan perusahaan cuci mobil tsb. Hitunglah nilai ekspektasi dari bonus yg didapat.

  9. Mean fungsi Variabel Random Jawab. Ekspektasi bonus : E(2X-1) = 7(1/12)+9(1/12)+11(1/4)+13(1/4)+15(1/6)+17(1/6)=12.67

  10. X X 1 2 3 1 2 3 VARIANSI dan KOVARIANSI Nilai rata-rata hanya memberikan info ttg kecenderungan pemusatan data, akan tetapi tidak memberikan gambaran ttg bentuk distribusi atau penyebaran data. Distribusi dengan mean sama tetapi memiliki dispersi yg berbeda

  11. VARIANSI dan KOVARIANSI Misal X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rata-rata (mean) μ, maka variansi dari X adalah: For discrete x and For continous x Besaran (x-μ) disebut penyimpangan atau deviasi x thd mean. Akar (positif) dari variansi yaitu σ dinamakan standard deviasi.

  12. VARIANSI dan KOVARIANSI Contoh. Misalkan X adalah jumlah mobil yg dipergunakan dalam satu hari dalam sebuah perusahaan. Andaikan distribusi probabilitas dari X untuk perusahaan A diberikan sbb: x 1 2 3 f(x)1 0.3 0.4 0.3 Sedangkan untuk perusahaan B diberikan sbb: x 0 1 2 3 4 f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 • Hitunglah rata-rata (mean) dari jumlah mobil yg dipakai • Hitunglah variansi dari X untuk masing-masing perusahaan, berikan komentar.

  13. VARIANSI dan KOVARIANSI Jawab. • rata-rata untuk masing-masing perusahaan: b) Variansinya:

  14. VARIANSI dan KOVARIANSI Rumus alternatif untuk variansi (buktikan): Keuntungannya sebenarnya kita tak perlu hitung mean dahulu! Contoh. Hitung ulang contoh sebelumnya dg rumus ini! Jawab: atau Untuk perusahaan A:

  15. VARIANSI dan KOVARIANSI Soal. Permintaan mingguan Pepsi adalah X (dalam ribuan liter) dengan fungsi rapat probabilitas: Hitunglah: • Mean dari X • Variansi dari X

  16. VARIANSI dan KOVARIANSI : Generalization Misal X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) Maka variansi dari variabel random g(x) yg memiliki rata-rata μg, For discrete x and For continous x Contoh. Hitung variansi g(X)=2X+3, dimana X adalah variabel random dg distribusi probabilitas x 0 1 2 3 f(x) ¼ 1/8 ½ 1/8

  17. VARIANSI dan KOVARIANSI : Generalization Misal X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) Maka variansi dari variabel random g(x) yg memiliki rata-rata μg, For discrete x and For continous x Contoh. Pertama hitung mean dari g(X): Variansi g(x) :

  18. KOVARIANSI Misal X dan Y adalah variabel random dengan distribusi probabilitas bersama (joint) f(x,y) kovariansi dari X dan Y adalah: X,Y diskrit X,Y kontinu Kovariansi dari dua variabel random X dan Y merupakan ukuran asosiasi antara keduanya: - jika nilai X besar cenderung menghasilkan Y besar atau X kecil cenderung menghasilkan nilai Y kecil, maka berarti deviasi X yg positif akan cenderung menghasilkan deviasi Y yg positif juga. Sehingga produk (X-μX)(Y-μY) akan cenderung positif. - sebaliknya jika nilai X besar cenderung menghasilkan Y kecil atau sebaliknya, maka produk (X-μX)(Y-μY) akan negatif. - Jadi tanda kovariansi menyatakan sifat asosiasi antara 2 variabel random. - Jika X dan Y secara statistik independen maka kovariansi nya =0, tetapi sebaliknya tidaklah selalu benar. - Demikian juga nilai kovariansi =0 hanya mengukur linear kovariansi.

  19. KOVARIANSI Rumus alternatif untuk kovariansi (buktikan): Contoh. Berikut ini adalah fungsi distribusi probabilitas bersama antara variabel X dan Y. Carilah kovariansi X dg Y

  20. KOVARIANSI Pertama hitung mean masing-masing variabel: Kemudian hitung E(XY)= E(XY)=0+0+0+0+3/14+0+0+0+0 = 3/14 Sehingga kovariansi X dg Y adalah:

  21. KOVARIANSI Soal. Persentase pelari pria X dan pelari wanita Y yg bertanding di suatu maraton memiliki fungsi rapat distribusi bersama: Hitunglah • Fungsi rapat probabilitas marginal untuk X dan Y • Kovariansi antara X dan Y

  22. KORELASI Walaupun kovariansi memberikan info ttg sifat hubungan asosiasi (linear) antara dua variabel random X dan Y, tetapi besarnya kovariansi TIDAK memberi info tentang kekuatan asosiasinya sebab nilai kovariansi tidak bebas skala X dan Y! Versi kovariansi yg bebas skala (sehingga bisa mengukur kekuatan asosiasi linearnya) diberikan oleh koefisien korelasi, yg didefinisikan sbb: Nilai ρXY akan berkisar dari -1 hingga 1, sebab ρ bebas skala X dan Y.

  23. Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Jika a dan b adalah konstanta, dan X adalah variabel random, maka nilai rata-rata dari Y=aX+b adalah: • E [Y] = E[aX+b] = aE[X]+b • Jika a=0, maka E[b] = b • Jika b=0, maka E[aX] =a E[X] Jika X adalah variabel random, dan g(X) serta h(X) adalah fungsi-fungsi dari X tsb maka nilai rata-rata dari g(X)+h(X) diberikan oleh: E[ g(X)+h(X)] = E[g(X)]+E[h(X)]

  24. Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Jika X dan Y adalah dua variabel random yg independen (saling bebas), maka E[XY] = E[X]*E[Y] Contoh. Dalam produksi Ga-As chips diketahui rasio antara Ga:As adalah independen dalam menghasilkan prosentase yg tinggi dari chips yg baik. Misalkan X adalah rasio dari Ga:As dan Y prosentase dari chips yg baik. Diketahui X dan Y adalah variabel random dengan distribusi rapat probabilitas bersama: Tunjukkan bahwa E[XY] = E[X]*E[Y]

  25. Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Jawab: Dengan menggunakan definisi E[X], E[Y] dan E[XY]:

  26. Generalisasi : Mean dan Kovariansi Kombinasi Linear Variabel Random Soal: Jika a dan b konstanta buktikan bahwa:

More Related