Black Box Algorithmen

1. Black Box Algorithmen Hartmut KlauckUniversität FrankfurtSS 05 22.4.

2. K-Färbbarkeit • Ein Graph heisst k-färbbar, wenn es eine Partition der Knoten in k Mengen gibt, wobei keine Kante innerhalb einer der Mengen verläuft • 2-färbbare Graphen: bipartit • Entscheidung von 3-Färbbarkeit ist NP-vollständig ! • Dennoch testbar!

3. K-Färbbarkeit • Tester [AK99]: • Ziehe O(k log k2) Knoten • Frage alle Kanten • Bestimme, ob k-färbbar • Ja: akz., nein: verw. • Fragen: O(k2 log24) • Zeit: exp(k log k/2) • Also testbar!

4. K-Färbbarkeit • Beweis eines etwas schwächeren Resultats verläuft ähnlich wie bei Bipartitheit • NP-Vollständigkeit schliesst Testbarkeit nicht aus!

5. Das Testparadigma im Matrixmodell • Es wird ein Subgraph ausreichender Grösse gesamplet, und dann auf Grapheigenschaft getestet • Theorem 4.1.[GT01]: • Jede testbare Grapheigenschaft [im Matrixmodell] kann auch durch getestet werden, indem ein Subgraph uniform zufällig gewählt wird, alle Kanten im Subgraph gefragt werden, und dann auf dem Subgraph eine Grapheigenschaft entschieden wird • Die Anzahl der Fragen steigt von q auf 2q2

6. Beweis • Ein Tester heisst nichtadaptiv, wenn alle seine Fragen unabhängig von den Antworten am Anfang feststehen (dürfen abhängig von der Randomisierung sein) • Tester folgend dem Subgraph Paradigma sind offensichtlich nichtadaptiv • Schwächerer Beweis: exponentieller blowup der Fragenanzahl • Bewahrt immer noch Testbarkeit

7. Beweis • Gegeben: beliebiger Property Tester für eine Grapheigenschaft P • Schritt 1: • Umwandlung in nichtadaptiven Tester • Random bits seien am Beginn festgelegt • Bei q Fragen gibt es 2q verschiedene Antwortmuster • Frage alle! • Insgesamt q 2q Fragen, nun nichtadaptiv • Genauer: in Schritt i gibt es 2i-1 mögliche Fragen, insgesamt 2q

8. Beweis • Also nun gegeben: nichtadaptiver Tester, q‘ viele Fragen • Gesucht: Tester, der Subgraphparadigma folgt • Es gibt · 2q‘ Knoten in der Folge von Fragen • Frage alle inzidenten Kanten, also O(q‘2) • Damit wird ein Subgraph gefragt, und dies nichtadaptiv • Noch zu zeigen: • Erreiche uniforme Verteilung • Entscheide eine Grapheigenschaft

9. Beweis • Grapheigenschaften sind invariant unter Permutation der Knoten • Neuer Tester: • Bestimme zuerst eine zufällige Permutation von {1,…,n} • Lasse den alten Tester laufen, bilde Fragen des Testers mit der Permutation ab • D.h. Auf Frage (i,j) Antwort ((i),(j)) • Klar: Algorithmus hat selbe Korrektheitseigenschaft wie zuvor • Ebenfalls: Jeder Subgraph hat nun dieselbe Wahrscheinlichkeit, gefragt zu werden

10. Beweis • Genauer gesagt: • Ein Graph wird akzeptiert mit einer Wahrscheinlichkeit, die der Erwartungswert ist über die Ws. dass seine Permutationen akzeptiert werden • Analoges für Verwerfen • Wenn vorher immer ¸ 2/3, dann nachher auch

11. Beweis • Noch zu zeigen: Tester entscheidet eine Grapheigenschaft auf dem Subgraphen • Egal, was der vorherige Tester getan hat, nach der Transformation ist seine Akzeptierungs/Verwerfungsws. invariant unter Knotenpermutation • D.h. nun Entscheidung auf einem Subgraphen nur noch vom Subgraphen abhängig, nicht von seiner Position im Graphen, aber noch randomisiert

12. Beweis • Mache nun die Entscheidung deterministisch: • Wenn Tester einen Graphen mit >1/2 akzeptiert, akzeptiere immer, sonst verwerfe immer • Wie verhält sich der Fehler ? • Beispiel: 1/3 aller Subgraphen werden mit Wahrscheinlichkeit 1 akzeptiert, alle anderen mit ½, insgesamt also Akzeptanz • Nach Modifikation: • Ausweg: verringere zuerst Fehler auf 1/6 • Zu akzeptierende Graphen: Im schlimmsten Fall werden 1/3 aller Subgraphen mit ½ akzeptiert, alle anderen sicher. Gesamtakzeptanz 5/6. Nach Modifikation immer noch 2/3. • Zu verwerfende Graphen analog

13. Beweis • Erhalten also einen Tester, der Subgraph uniform wählt, und dann deterministisch eine Grapheigenschaft entscheidet • [GT01] tun das Ganze mit nur quadratischem blowup in der Anzahl der Fragen

14. Idee GT01 • Nicht zuerst nichtadaptiv machen • Zuerst Wechsel zu Subgraph Test • Dann Entscheidung unabhängig machen von der Position des Subgraphen • Zum Schluss auf deterministische Grapheigenschaftstests modifizieren

15. Skizze • Gegeben ein Tester • Wenn q Fragen gestellt werden, sind nur 2q Knoten im Spiel • Simuliere Tester • Frage (i,j) im originalen Tester: Frage alle Kanten zu Knoten, die vorher einmal vorkamen • Gesamt: 2q2 Fragen, es wird ein Subgraph mit 2q Kanten komplett aufgedeckt

16. Skizze • Gegeben Tester, der (adaptiv) Subgraphen mit 2q Knoten aufdeckt • Jetzt wieder Tester mit zufälliger Permutation der Knoten simulieren • Zeige jetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Subgraphen aufzudecken, uniform ist • Genauer: Wenn i Knoten (und ihre Kanten zu vorherigen Knoten) gefragt sind, ist nächster Knoten uniform zufällig

17. Skizze • Ersetze nun durch Algorithmus, der zu Beginn uniform einen Subgraphen wählt • Entkoppelt Wahl Subgraph von Randomisierung im restlichen Tester • Klar auch: Akzeptanzws. OK

18. Skizze • Nun noch gegeben: Tester, der Subgraph wählt, und dan probabilistisch weiterrechnet • Zeigen: Akz. Ws. unabhängig von Position des Subgraphen • Dann: Deterministisch machen • Es ergibt sich wieder Test einer Grapheigenschaft auf zuf. Subgraphen, diesmal polynomieller Grösse

19. Schlussfolgerung • Wenn eine Grapheigenschaft P auf n Knoten testbar ist, dann • Gibt es eine Konstante q() und eine Grapheigenschaft P‘ auf q Knoten, so dass in einem -weit von P entfernten Graphen 2/3 aller Subgraphen mit q Knoten P‘ nicht erfüllen • Für Property Testing von Grapheigenschaften ist der Unterschied zwischen adaptiven und nichtadaptiven Algorithmen höchstens quadratisch

20. Clique Problem • Sei p ein Parameter aus [0,1] • Ein Graph hat Cliquendichte p, wenn es eine Clique mit pn Knoten gibt • D.h. eine Menge aus pn Knoten, die alle paarweise miteinander verbunden sind • p-Clique sei die Eigenschaft, Cliquendichte p zu haben • Ein Graph ist -weit von p-Clique entfernt, wenn für jede Menge von pn Knoten  n2 Kanten zwischen ihnen nicht vorhanden sind

21. Clique • Beachte: Clique zu entscheiden (gibt es eine Clique der Grösse n/2 z.B.) ist NP-vollständig • Selbst eine Approximation mit einem Faktor n1-o(1) ist schwer • Theorem 4.2.: • p-Clique ist testbar

22. Tester nach Paradigma • Tester: • Ziehe eine Subgraphen mit S=poly(1/) Knoten uniform • Frage alle Kanten im Subgraphen • Wenn es eine Clique mit (p-/2) S Knoten gibt, akz, sonst verwerfe • Relativ klar: wenn es eine Clique mit pn Knoten gibt, dann werden erwartet pS davon gezogen, mit guter Wahrscheinlichkeit wird akzeptiert • Nicht so klar: verwerfen, denn pn Knoten, denen n2 Kanten zur Clique fehlen sollen nicht zum Akz. führen • Bemerkung: In diesem Beispiel ist Eigenschaft auf kleinen Graphen nicht exakt dieselbe wie auf grossem