Gazdaságmatematika

1. Gazdaságmatematika 2. szeminárium

2. Feladat – Winston 4.8 A Bevco cég egy Oranj nevű narancs ízesítésű üdítőitalt gyárt narancs-szóda és narancslé kombinálásával. Egy deka narancs-szóda 0,5 deka cukrot és 1 mg C-vitamint, 1 deka narancslé pedig 0,25 deka cukrot és 3 mg C-vitamint tartalmaz. A Bevcónak 1 deka narancs-szóda 2 centbe kerül, 1 deka narancslé pedig 3 centbe. Minden 10 dekás Oranj-palack legalább 20 mg C-vitamint és legfeljebb 4 deka cukrot tartalmaz. Minimalizáljuk a költségeket!

3. Feladat – Winston 4.8 min z = 2x1 + 3x2 Probléma: ≥, ≤, = 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≥ 20 x1 + x2 = 10 x1, x2 ≥ 0

4. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis • A feltételek átalakítása úgy, hogy a jobb oldal mindenütt pozitív legyen (-1-gyel szorzás) • Csillagozzuk meg azokat a feltételeket, amikben ekkor ≥ vagy = szerepel. • Átalakítás standard alakra • ≤ esetén ui hozzáadása • ≥ esetén vi levonása • A csillagozott sorokhoz adjunk hozzá egy-egy u* változót (mesterséges változó)

5. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis • Az eredeti LP célfüggvény helyett egyelőre egy új célfüggvényt oldunk meg: min w*-t. Ez a függvény az összes mesterséges változó összege. (1. fázisbeli feladat)

6. Feladat – Winston 4.8 min z = 2x1 + 3x2 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≥ 20 x1 + x2 = 10 x1, x2 ≥ 0

7. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis • A feltételek átalakítása úgy, hogy a jobb oldal mindenütt pozitív legyen (-1-gyel szorzás) • Csillagozzuk meg azokat a feltételeket, amikben ekkor ≥ vagy = szerepel. • Átalakítás standard alakra • ≤ esetén ui hozzáadása • ≥ esetén vi levonása • A csillagozott sorokhoz adjunk hozzá egy-egy u* változót (mesterséges változó)

8. Feladat – Winston 4.8 min z = 2x1 + 3x2 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≥ 20 x1 + x2 = 10 x1, x2 ≥ 0

9. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis • A feltételek átalakítása úgy, hogy a jobb oldal mindenütt pozitív legyen (-1-gyel szorzás) • Csillagozzuk meg azokat a feltételeket, amikben ekkor ≥ vagy = szerepel. • Átalakítás standard alakra • ≤ esetén ui hozzáadása • ≥ esetén vi levonása • A csillagozott sorokhoz adjunk hozzá egy-egy u* változót (mesterséges változó)

10. Feladat – Winston 4.8 min z = 2x1 + 3x2 0,5x1 + 0,25x2 + u1 = 4 x1 + 3x2 – v2 = 20 x1 + x2 = 10 x1, x2 ≥ 0

11. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis • A feltételek átalakítása úgy, hogy a jobb oldal mindenütt pozitív legyen (-1-gyel szorzás) • Csillagozzuk meg azokat a feltételeket, amikben ekkor ≥ vagy = szerepel. • Átalakítás standard alakra • ≤ esetén ui hozzáadása • ≥ esetén vi levonása • A csillagozott sorokhoz adjunk hozzá egy-egy u* változót (mesterséges változó)

12. Feladat – Winston 4.8 min z = 2x1 + 3x2 0,5x1 + 0,25x2 + u1 = 4 x1 + 3x2 – v2 + u2* = 20 x1 + x2 + u3* = 10 x1, x2 ≥ 0

13. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis • Az eredeti LP célfüggvény helyett egyelőre egy új célfüggvényt oldunk meg: min w*-t. Ez a függvény az összes mesterséges változó összege. (1. fázisbeli feladat)

14. Feladat – Winston 4.8 min w* = u2* + u3* min z = 2x1 + 3x2 0,5x1 + 0,25x2 + u1 = 4 x1 + 3x2 – v2 + u2* = 20 x1 + x2 + u3* = 10 x1, x2 ≥ 0

15. Feladat – Winston 4.8

16. Feladat – Winston 4.8 4/0,25 = 16 20/3 = 6,6 10/1 = 10

17. Feladat – Winston 4.8

18. Feladat – Winston 4.8

19. Feladat – Winston 4.8 = 28/5 = 20 = 5

20. Feladat – Winston 4.8 Ez a tábla már optimális, w*=0

21. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis értelmezése • Ha w*= 0 és nincs mesterséges bázis-változónk, akkor elhagyjuk a mesterséges változók oszlopait, és elővesszük az eredeti célfüggvényt. (2. fázisbeli feladat) • Ha w* > 0, akkor az eredeti LP feladatnak nincs lehetséges megoldása • Ha w* = 0 és van mesterséges bázis-változónk, akkor rendelkezésünkre áll az optimális megoldás.

22. Feladat – Winston 4.8

23. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis értelmezése • Ha w*= 0 és nincs mesterséges bázis-változónk, akkor elhagyjuk a mesterséges változók oszlopait, és elővesszük az eredeti célfüggvényt. (2. fázisbeli feladat) • Ha w* > 0, akkor az eredeti LP feladatnak nincs lehetséges megoldása • Ha w* = 0 és van mesterséges bázis-változónk, akkor rendelkezésünkre áll az optimális megoldás.

24. Feladat – Winston 4.8

25. 1.feladat – Winston 4.8 Ez a tábla optimális – készen vagyunk.

26. Megoldás x1 = 5 x2 = 5 u1 = 1/4 v2 = 0 z = 2x1 + 3x2 = 2∙5 + 3∙5 = 25

27. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis értelmezése • Ha w’= 0 és nincs mesterséges bázis-változónk, akkor elhagyjuk a mesterséges változók oszlopait, és elővesszük az eredeti célfüggvényt. (2. fázisbeli feladat) • Ha w’ > 0, akkor az eredeti LP feladatnak nincs lehetséges megoldása • Ha w’ = 0 és van mesterséges bázis-változónk, akkor rendelkezésünkre áll az optimális megoldás.

28. Lehetséges LP megoldások • Az LP-nek egyértelmű megoldása van • Az LP-nek alternatív optimuma van:végtelen sok megoldása van • Az LP nem megoldható:a lehetséges megoldások halmaza üres • Az LP nem korlátos

29. 1.feladat – Winston 4.8 - módosítva A Bevco cég egy Oranj nevű narancs ízesítésű üdítőitalt gyárt narancs-szóda és narancslé kombinálásával. Egy deka narancs-szóda 0,5 deka cukrot és 1 mg C-vitamint, 1 deka narancslé pedig 0,25 deka cukrot és 3 mg C-vitamint tartalmaz. A Bevcónak 1 deka narancs-szóda 2 centbe kerül, 1 deka narancslé pedig 3 centbe. Minden 10 dekás Oranj-palack legalább 36 mg C-vitamint és legfeljebb 4 deka cukrot tartalmaz. Minimalizáljuk a költségeket!

30. Feladat – Winston 4.8 - módosítva

31. Feladat – Winston 4.8 - módosítva 16 12 10

32. Feladat – Winston 4.8 - módosítva

33. Feladat – Winston 4.8 - módosítva Ez a tábla már optimális, w*=6 Az eredeti feladatnak nincs lehetséges megoldása

34. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis értelmezése • Ha w’= 0 és nincs mesterséges bázis-változónk, akkor elhagyjuk a mesterséges változók oszlopait, és elővesszük az eredeti célfüggvényt. (2. fázisbeli feladat) • Ha w’ > 0, akkor az eredeti LP feladatnak nincs lehetséges megoldása • Ha w’ = 0 és van mesterséges bázis-változónk, akkor rendelkezésünkre áll az optimális megoldás.

35. Gyakorló feladat min z = 2x1 + 3x2 2x1 + x2 ≥ 4 -x1 + x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0

36. Gyakorló feladat

37. Gyakorló feladat Ez a tábla már optimális, w*=0

38. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis értelmezése • Ha w’= 0 és nincs mesterséges bázis-változónk, akkor elhagyjuk a mestersé-ges változók oszlopait, és elővesszük az eredeti célfüggvényt. (2. fázisbeli feladat) • Ha w’ > 0, akkor az eredeti LP feladatnak nincs lehetséges megoldása • Ha w’ = 0 és van mesterséges bázis-változónk, akkor rendelkezésünkre áll az optimális megoldás.

39. Gyakorló feladat

40. A kétfázisú szimplex módszer – 1. fázis értelmezése • Ha w’= 0 és nincs mesterséges bázis-változónk, akkor elhagyjuk a mesterséges változók oszlopait, és elővesszük az eredeti célfüggvényt. (2. fázisbeli feladat) • Ha w’ > 0, akkor az eredeti LP feladatnak nincs lehetséges megoldása • Ha w’ = 0 és van mesterséges bázis-változónk, akkor rendelkezésünkre áll az optimális megoldás.

41. Gyakorló feladat

42. Gyakorló feladat Ez a tábla optimális – készen vagyunk.

43. Gyakorló feladatok az első óráról

44. Egyértelmű megoldás max z = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

45. Alternatív optimum max z = 4x1 + x2 8x1 + 2x2 ≤ 16 5x1 + 2x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

46. Nem korlátos max z = -x1 + 3x2 x1 - x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≥ 4 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

47. Nem megoldható max z = x1 + x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≥ 5 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0