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Final Examination 1. Understand the algorithm of MFEMWASP in detail.

Final Examination 1. Understand the algorithm of MFEMWASP in detail. 환경공학과 20051462 손미애. 1) Understand the algorithm of MFEMWASP in detail. 다차원 유한 요소 모형의 개발 가 ) 가중잔차법의 적용

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Final Examination 1. Understand the algorithm of MFEMWASP in detail.

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  1. Final Examination1. Understand the algorithm of MFEMWASP in detail. 환경공학과 20051462 손미애

  2. 1) Understand the algorithm of MFEMWASP in detail. 다차원 유한 요소 모형의 개발 가) 가중잔차법의 적용 유한요소법은 수치해의 오차를 최소화하도록 해를 구하는 방법이다. 즉, 수치해에서는 좌변과 우변이 다르므로, 좌변과 우변의 차이를 잔차라고 정의한다. 잔차의 미분운영함수 L(C)와 L(T)는 다음과 같다. 지배식의 가중잔차의 최소해를 구하기 위한 가중잔차식은 다음과 같다. 여기서,는 절점에서의 가중함수이다. 따라서, 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

  3. 위의 방법을 가중잔차법(Weighted Residual Method)이라고 하며, 유한요소법의 근본 원리가 된다. 즉, 공간 및 시간영역에 대하여 격자화된 각 계산점에서 수치해의 오차가 최소화되도록, 각 격자점의 수치해에 가중치를 곱하여 합한다음 전체 오차가 0이 되게끔 알고리즘을 설정하는 방법인 것이다. 나) 가중잔차식의 이산화 어떤 수치해석 기법을 사용하던간에 지배방정식에 관계되는 모든 주변수, 매개변수, 독립변수, 자료 등을 이산화하여야 한다. 기저함수는 계산시간을 크게 감소시킬 수 있도록, 격자점의 좌표계만 주어지면 프로그램에서 1회 평가된다. 즉, 다른 본 기작을 평가하기 이전에 입력자료로서 주어지는 격자망의 좌표계로서 평가되는 것이다. 따라서, 기저함수는 모든 Gaussian 지점에서 구해진 후, 요소행렬들의 적분이 수행될 때 조합된다. 각 요소별 절점의 좌표는 다음과 같이 기저함수를 이용하여 평가된다.

  4. 기저함수는 계산좌표계에서 계산된다. 계산좌표계에서 선형 기저함수는 각 방향으로의 선형기저함수를 사용하여 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다 (Kim,1989). 각 요소에서의 절점의 계산좌표계( , , )의 값은 다음과 같다. = -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1 = -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1 = 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1

  5. <그림 > 실제 좌표계의 계산 좌표계화

  6. = 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1 각 요소에서의 가우스점의 좌표는 다음과 같다. = 0.577, 0.577, 0.577, -0.577, -0.577, 0.577, 0.577, -0.577 = -0.577, -0.577, 0.577, 0.577,-0.577, -0.577, 0.577, 0.577 = 0.577, 0.577, 0.577, 0.577,-0.577, -0.577, -0.577, -0.577 기저함수의 도함수 는 직접 구하는 대신에, 계산좌표계와 전체좌표계 사이에 도함수를 서로 관계시켜주는 Jacobian 행렬, [J]를 사용하여 다음과 같이 구한다.

  7. 계산좌표계에서 도함수의 값은 다음과 같다.

  8. Huyakorn 과 Nikuha(1979)의 방정식을 사용하여 비대칭의 가중함수는 기저함수에 비대칭의 가중항을 첨가하여 유도된다. 계산좌표계에서 선형 가중함수는 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다.

  9. 기저함수의 도함수 도 직접구하는 대신 일종의 전환 행렬인 Jacobian 행렬, [J]을 사용하여 다음과 같이 구한다.

  10. 요소행렬의 정의 및 온도 전달 방정식의 유한요소식 물질이동방정식의 유한요소식의 유도 과정과 마찬가지로 온도전달방정식의 유한요소식을 다음과 같이 정리할 수 있다. 시간영역에 대하여 이산화하여 최종 시스템식을 구성하면 다음과 같다.

  11. 다차원 모델링을 통한 MFEMWASP 모형의 검증 전산모형의 검증은 다음과 같은 4가지 방법에 의해 수행될 수 있다. - 수학적 해와 전산모형의 계산 결과의 비교 - 실험 결과와 전산 모형의 계산 결과의 비교 - 현장의 실측치와 모델링 결과의 비교 - 다른 모형과 개발된 모형의 모델링 결과의 비교 - 1차원문제에 대한 1차원, 2차원, 3차원 모델링 결과 비교 개발된 모형의 가용성 및 정확성을 검증하기 위하여 유체의 유동 및 오염물 이동 문제에 대하여 다차원 모델링을 수행하면 모델링을 수행한 결과 일, 이, 삼차원 모델링 결과가 동일하게 나타나 모형의 정확성을 검증할 수가 있다(<그림 Ⅰ-3-4> 참조). 다차원 해석을 수행할 수 있는 전산모형의 개발이 가능하였던 것은 수치해석방법으로 유한요소법을 사용하였기 때문이다.

  12. 유한요소법의 특징은 다음과 같다. - 편미분 방정식으로부터 공간을 독립적으로 해석할 수 있다. - 일, 이, 삼차원 공간의 해석을 단계적으로 수행할 수 있다. - 공간 및 시간 도함수를 전체 방정식으로부터 분리할 수 있다. - 파라미터를 분리할 수 있다. - 이러한 분리된 모듈을 결합함으로서 여러 형태의 편미분방정 식을 해석할 수있다. - 경계조건을 유한요소법으로 해석함으로서 삼차원 문제의 경 계조건도 쉽게 해석한다.

  13. MFEMWASP 모형의 안정성 분석 반응계수에 의한 영향보다는 유속 및 확산에 의한 이동이 지배적인 경우, 수질관리 모형의 안정성에 상당히 영향을 미칠 수 있다. 따라서 이러한 파라 미터에 의한 MFEMWASP 모형의 안정성 및 예민도를 평가하는 분석을 수행 한다. MFEMWASP 모형의 확산 및 유속의 비에 대한 모형의 해석능력은 가중계 수(Weighting Factor)에 따라서 좌우되고, 적절한 가중계수의 선택이 중요 하다. 따라서, 유속에 의한 이동이 큰 경우, 확산에 의한 이동이 큰 경우, 중 간의 경우 등에 대해 가중계수를 변경하여 모형의 안정성을 검토한다. ․유속에 의한 이동이 매우 큰 경우(fw11, fw14) - 유속 V=0.369m/day, 확산계수 D=0.0001725m2/day ․확산에 의한 이동이 매우 큰 경우(fw12, fw15) - 유속 V=0.369m/day, 확산계수 D=0.01725m2/day

  14. ․중간의 경우(fw13, fw16) - 유속 V=0.369m/day, 확산계수 D=0.001725m2/day 모형의 안정성 검토에 사용된 가중계수는 다음 <표 Ⅰ-3-1>과 같다.

  15. 모형의 안정성 검토 결과를 예로들면, <그림 Ⅰ-3-5>에 나타난 바와 같이 대부분의 경우에서 안정된 해를 보이는 것으로 나타났다. 다만, 유속의 의 한 이동이 큰 경우에는 수치해가 진동하는 것을 볼 수 있는데(fw11), 이는 상부가중함수를 사용하여 안정된 해를 구할 수 있는 것으로 나타났다

  16. 2. Study the hydraulic model DYNHYD5 and develop the excel based model DYNDYD-Excel. • DYNHYD5란? 수리학적 모형인 DYNHYD5는 Potomac 연안 모형이었던 DYNHYD2를 확장한 모형이다. DYNHYD5는 지류 및 수체에 합류점(channel-junction (link- node)), 계산망(computational network)을 구성하여 연속방정식과 운동방정식을 해석하여 수심 및 유속을 계산하는 모형이다. 시간에 따라 변하는 유동이나 수심의 경계조건을 입력할 수 있다. 수리모델링은 수질모델링 보다 작은 시간 간격을 필요로 하기 때문에, 수리모델링 결과인 유속 및 수심을 수질모델의 입력자료로 활용하기 위해서는 수질모델링의 시간간격에 대하여 수리모델링 결과를 평균화시킨다.

  17. DYNHYD5 모형의 지배방정식 수리학적 모델은 운동량과 질량모두를 보존하며 천해를 통과하는 긴 파장의 전파를 모사하는 일차원 유동 방정식을 해석한다. 운동량 이 보존된다는 가정하의 운동방정식은 유속과 유동을 예측하고, 질 량이 보존된다는 가정하의 연속방정식은 수심과 유량을 예측한다. 이러한 접근은 물의 흐름을 일차원으로 가정하며, 유동의 방향으로 의 Coriolis와 다른 가속상태는 무시해도 좋고, 수로는 가변적인 수 리학적 깊이를 갖는 연속의 정상폭에 의해 정확하게 표현된다고 가정하며, 유동길이는 깊이보다 더 크고 바닥 경사는 완만하다고 가정 한다. 또한 가장 나중의 두 가정에 유효 적절한 엄격한 기준들은 없다. Dam- break 상황과 소규모의 조류는 DYNHYD5로 모형화 되 지 않을 것이다.

  18. 짧은 시간 간격이상에서의 유동은 정상유동으로 고려된다. (3.2.2-4)방정식으로부터 연속적인 에너지 구배는 (3.2.2-5)의 식에 대입 될 수 있다. 여기서, U2은 U의 절대치인 U시간으로 대체해 왔다. 따라서 마찰력은 항상 유동의 흐름에 반대로 작용한다

  19. 2) 연속 방정식

  20. 모델 네트워크(The Model Network) DYNHYD5모델의 기본식 들의 해법은 시뮬레이션의 지속시간에 걸 쳐 유체의 통과 속도(U)와 수심(heads)을 알아낸다. 폐쇄 형태 (closed-form)의 분석적 해법은 유용하지 못하므로 (3.2.2-1)과 (3.2.2-8)의 식의 해법은 각각의 공간과 시간에서 측정된 U와 H값 이 있는 수치적으로 통합된 컴퓨터 network을 필요로 한다. 유연 하 고 수치적으로 효과적인 형태의 네트워크는 이러한 식들을 위해 개 발 되어왔다.

  21. 3. Study and explain the Groundwater Management Model PM5,which includes groundwater flow model MODFLOW,groundwater quality model MOC3D,and parameter estimation model. • MODFLOW 모형의 이론 지하수 유동의 지배방정식을 유도하기 위해서는 지하대수층의 저류 특성과Darcy의 유량의 물질평형을 연결하여야 한다. 지하대수층의 저류능은 대수층을 구성하는 토양 구조의 특성과 지하수 특성(압축 성 및 탄성)에 따라 결정된다. 토양의 압축도는 Terzaghi의 압축이론 을 사용하여 유도한다. 이러한 대수층의 저류능에 대하여 다음과 같 이 비저류계수(Ss : Specific Storativity)를 정의한다(L-1).

  22. 여기서 비저류계수는 단위 지하수의 수두 변화에 의한 지하수 부피 의 변화율을 의미한다. 비저류계수를 정의한 것과 유사한 방법을 사용하여 대수층의 저류 계수를 정의할 수 있다. 피압지하수의 경우 다음의 식으로 정의된다 (단위는 무차원). 이러한 경우, 수평방향의 흐름만 주로 고려하기 때 문에 대수층의 주 파라미터는 투수도 T(Transmissivity=KB)와 저류 능 S이다. 비저류계수는 일반적인 3차원 유동에 대하여 정의되었기 때문에 S를 S0B로 평가하는 데 주의가 필요하다. 피압대수층의 저 류의 주원인은 물과 토양의 압축도이다.

  23. 자유수표면 지하수의 경우 다음의 식으로 저류능을 정의한다. 저류나 배수의 주 원인 지하수위의 상승이나 하강이다. 지하수위의 하강에 의해 대수층 이 지하수를 방출하므로 비생산계수(Sy : Specific Yield)라 정의한다.

  24. 배수가 완전히 진행된 후에 대수층에 남아있는 지하수에 의한 저류능을 비 보유계수(Specific Retention)라 정의한다. 따라서, 비생산계수와 비보유계 수의 합은 다음과 같이 공극율이다. 따라서, 비생산계수를 유효공극율 (Effective Porosity)이라 정의하기도 한다.

  25. 지하 공극을 통한 일정한 밀도의 지하수의 삼차원 유동은 위에 언급한 지하 대수층의 저류 특성에 연속방정식과 운동방정식(Darcy의 유속)을 결합하여 지배식을 유도할 수 있다. 2차원 지하수유동에 대한 유도 과정은 다음과 같 다.

  26. 3차원 지하수유동식은 다음과 같다. 여기서, 비저류계수를 사용하 는 것을 주의하여야 한다.

  27. 격자망의 구성 <그림 3.1.1-1>는 격자망을 나타낸다. 이러한 격자망은 row, column, layer로 설명된다. 이러한 공간을 지칭하기 위하여 i(row), j(column), k(layer)의 지수를 사용한다. <그림 3.1.1-1>는 nrow=5, ncol=9, nlay=5를 가진 격자망이다. 이러한 지수의 증가는 격자망을 세분화하는 것을 의미한다. 모델링은 이러한 지수를 사용하여 진행 된다.

  28. 유한차분식 지하수 유동에 있어서, 격자로의 유입 또는 유출의 합은 격자내의 저장량의 변화비율과 동일해야 한다. 지하수의 밀도가 일정하다는 가정하에 각 격자내의 연속방정식은 다음과 같이 나타낸다.

  29. <그림 3.1.2-2>은 I, j, k 격자에 인접한 격자를 나타낸다. I, j, k 격자로 유입되는 유량은 양의 값으로 나타낸다. I, j-1, k 격자로부터 I, j, k 격자로의 유량은 다음과 같이 Darcy의 법칙을 사용하여 평가할 수 있다.

  30. 나머지 다섯면에 대해서도 유량을 해석 하고 정리하면, 대수층 외부의 유량의 생성원인 하천, 수로, 재충진, 증발산, 양수정등을 설명 하기 위해서 다음과 같은 추가적인 파라미터가 필요하다.

  31. MOC3D 모형 가) 지하수 유동 방정식 본 모형은 다음과 같은 지배식을 가지고 있는 지하수 유동 모형인 MODFLOW 와 연계되어 지하수 유속 및 지하수위를 구한다.

  32. 나) 용질 이동에 대한 지배방정식 용질이동의 3차원 물질이동식은 다음과 같다.

  33. 수치해석 가) 격자망의 구성 <그림 3.2.2-1> 및 <그림 3.2.2-2>에 MOC3D 모형에 사용되는 유한차분 격자망의 구성을 나타내었다.

  34. 나) 평균 간극 유속 이류 이송 및 수리학적 분산은 모두 지하수 유동 속도에 의존하기 때문에, 이송 방정식의 해는 유속장의 지식을 필요로 한다. 그러므로, 주어진 시간 간격 또는 정상상태 유동조건에 대해 수두 분포가 계산 된 후에, 이송 하부격자망내의 각 유한차분 격자의 각 면을 가로지르 는 단위유량이 계산된다.

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