Ekonometria mat. pomocnicze 3

1. Ekonometriamat. pomocnicze 3 W. Borucki

2. Modele ekonometryczne • MNK • Modele liniowe • Modele nieliniowe • Modele z wieloma zmiennymi • Ocena dobroci dopasowania modelu • Wykorzystanie modeli ekonometrycznych

3. Wprowadzenie 1 • Zastosowanie modeli matematycznych do opisu zjawisk ekonomicznych. Przykładami są: • Zależność popytu na alkohol od wielkości dochodów rozporządzalnych • Rozwój (w czasie) konsumpcji cukru, słodyczy, … • Wydajność pracy w zależności od technicznego uzbrojenia pracy i/lub bodźców płacowych, • … • Zjawiska ekonomiczne opisane są zbiorem wartości zmiennych zależnych (objaśnianych) i niezależnych (objaśniających) – wektorami (punktami), których współrzędne odpowiadają obserwowanym wartościom zmiennych • Co obserwujemy ? Jak to mierzymy? • Zmienne ekonomiczne, ich (standaryzowane) definicje i substytuty (symptomy?) • Wzorce miar i błędy pomiaru • Rola czasu („ nie wchodzi się dwa razy do tej samej rzeki”) • Zmiany definicji i klasyfikacji (porównywalność w czasie).

4. Wprowadzenie 2 • Model matematyczny, to początkowo hipoteza, a następnie teza o rodzaju zależności pomiędzy zmiennymi objaśnianymi i objaśniającymi (odpowiednia formuła matematyczna) • Modele dzielimy na: • Z jedną zmienną objaśniającą lub wieloma zmiennymi objaśniającymi, • Liniowe lub nieliniowe, • Jednorównaniowe lub wielorównaniowe, • O równaniach niezależnych lub współzależnych • Ze zmiennymi ilościowymi i/lub jakościowymi • Spośród różnych hipotez (propozycji modeli) tezą staje się (wybierany jest) ten model, dla którego odpowiednio zdefiniowany wskaźnik jakości jest największy • Jak ocenić jakość modelu - zdefiniować wskaźnik jakości modelu?

5. Przykład z arkusza 1 • Rozwój w czasie zmiennej obserwowanej • Co można powiedzieć o prawidłowości rozwoju? (w języku matematycznym)

6. A y B C x Wprowadzenie 3 Która prosta lepiej opisuje rzeczywistość ? y = cx + d (xi ,yi) ??? y = ax + b

7. Metoda najmniejszych kwadratów 1

8. Metoda najmniejszych kwadratów 2- układ równań

9. NMK 4

10. MNK 3 Współczynnik zbieżności i/a współczynnik korelacji

11. Trendy - funkcje czasu • Liniowy (stała prędkość wzrostu) • Potęgowy (stała elastyczność) • Wykładniczy (stała stopa wzrostu) • Logistyczny (poziom nasycenia i punkt przegięcia)

12. Wspomniane wskaźniki mikroekonomiczne • Prędkość wzrostu • Stopa wzrostu • Elastyczność

13. Trendy 2 • Zastosowanie: do prognozowania. • Prognoza, to każde zdanie warunkowe (uzasadnione prawami rozwojowymi – przeniesionymi z przeszłości {?}) odnoszące się do przyszłości. • Uwaga: Wróżba, to też zdanie odnoszące się do przyszłości! (ale bez naukowego uzasadnienia) • Czy potrafimy określić wielkość błędu prognozy? Jakie czynniki mogą mieć wpływ na jego wielkość? • Jak błąd prognozy zmienia się w zależności od horyzontu prognozy?

14. Modele nieliniowe - linearyzacja • Dla modeli potęgowego i wykładniczego – obustronne logarytmowanie, a następnie operacje odwrotne • Dla modeli wielomianowych (model kosztu całkowitego lub jednostkowego) bądź hiperbolicznych (modele Törnquista) – wprowadzenie zmiennych pomocniczych (odpowiednia potęga zmiennej objaśniającej, lub odpowiednie ilorazy wynikające z dobranych przekształceń) • Inne modele (np. logistyczny) – indywidualnie

15. Modele nieliniowe – przykłady zastosowań • Krzywe Engla (funkcje popytu) • Modele wykładnicze (głównie trendy) • Funkcje kosztów (x – rozmiar działalności) • całkowitych • jednostkowych

16. Modele Törnquista 1 • Na dobra podstawowe • Na dobra wyższego rzędu • Na dobra luksusowe

17. 1. Model Törnquista Własności Szacowanie

18. Własności modelu Törnquista (II rz.)

19. Linearyzacja modelu Törnquista III rz.

20. Modele nieliniowe – trend logistyczny i metoda Hotelinga

21. Modele z wieloma zmiennymi objaśniającymi • Model • Szacowanie parametrów, układ równań • Podstawowe problemy • dobór zmiennych do modelu - współliniowość zmiennych • błędy ocen parametrów

22. Błędy średnie ocen parametrów

23. Ocena jakości modelu • Ocena statystyczna • Stabilność zjawiska • Współczynnik determinacji • Błędy ocen parametrów • Ocena merytoryczna • Podstawy teoretyczne • Możliwości interpretacyjne • Celem pracy ekonometryka jest • Dobry wskaźnik jakości modelu i małe błędy ocen parametrów i racjonalna (naukowa) interpretacja wyników • A Jego dylematy? • Dużo zmiennych to dużo szumów informacyjnych, większe błędy ocen parametrów ale mniejsza suma kwadratów reszt • Mało zmiennych to oczekiwana prostota ale zbyt duży redukcjonizm (uproszczenie rzeczywistości) i gorsze dopasowanie do wyników obserwacji

24. Dobry model ? • Zgodny z obserwacjami • Prosty • Interpretowalny / dobrze wyjaśniający • Które zmienne warto włączyć do opisu badanego zjawiska?

25. Wybór zmiennych objaśniających metodami statystycznymi • Wyznaczyć macierz współczynników korelacji zmiennych objaśniających R={rij} oraz wektor R0 • Utworzyć kombinacje zmiennych – (k – nr komb.) • Dla każdej kombinacji wyznaczyć pojemność informacyjną hkj (j - ind. zm.) • Wyznaczyć integralną pojemność informacyjną Hk dla kombinacji • Wybrać kombinację o maksymalnym Hk

26. Funkcja produkcji Cobb-Douglasa • Stałe elastyczności • Substytucyjność kapitału i pracy • Współliniowość zmiennych

27. Funkcja produkcji wg Leontief’a

28. Ekonometria – etapy budowy modelu ekonometrycznego • Określenie celu badań (modelowania) – zdefiniowanie zmiennej objaśnianej i/lub zmiennych sterujących • Postawienie hipotez roboczych (wynikających z merytorycznego rozpoznania problemu) – określenie zbioru zmiennych objaśniających i rodzaju zależności między nimi i zmienną (-ymi) objaśnianą (-ymi) • Zebranie danych, ich wstępna analiza (uaktualnienie hipotez dotyczących rodzaju zależności) • Estymacja parametrów modelu • Ocena „poprawności” modelu (statystyczna – współczynnik zbieżności, błędy ocen parametrów i ich istotność, a także merytoryczna – zgodność z teorią, „zdrowym rozsądkiem”, interpretowalność, • Wykorzystanie modelu: sformułowanie wniosków (prognoz, predykcji) i ich ocena

29. Przykład 1 W kraju Zab PKB/cap w roku Niedźwiedzia wynosił $ 6000,- , a w kraju Gier wynosił $ 9000,-. Wiadomo że w Zab dochód wzrasta ze stałą stopą wzrostu wynoszącą 10% , a w Gier ze stałą prędkością wzrostu wynoszącą $ 200,-. Opisz funkcje trendów dochodów narodowych Gier i Zab odpowiednimi modelami ekonometrycznymi i odpowiedz na pytanie kiedy ich PKB/cap się zrównają.

30. Przykład 2 • Liczba użytkowników telefonów komórkowych może być opisana funkcją logistyczną. Posiada ona asymptotę odpowiadającą poziomowi 120 telefonów na 100 osób. Poziom 60 telefonów / 100osób osiągnięty został w ciągu 10 lat . • Jak wielka będzie ich liczba za dwa lata jeżeli aktualnie mija 11 rok od uruchomienia sieci i aktualna liczba użytkowników wynosi 72/100?

31. Przykład 3 • Popyt na warzywa opisany został funkcją • Jak zinterpretujemy parametry tego modelu? • Jakie możemy mieć zaufanie do predykcji dokonanych w oparciu o ten model?

32. Przykład 4 • Popyt na mięso opisany został funkcją liniową, dla której współczynnik zbieżności i błędy ocen parametrów podane zostały obok. • Jak interpretujemy otrzymane wyniki? • Czy model uznać można za dobrze opisujący badane zjawisko?

33. Kilka pytań 1 • Co to jest metoda najmniejszych kwadratów? • Podaj postać funkcji Törnquista II rodzaju i omów jej podstawowe własności. • Jak można oszacować parametry trendu potęgowego? • Stopa wzrostu dochodu narodowego na głowę mieszkańca Pyrlandii jest od 2000 roku stała i wynosi 7%. Jak wielki będzie ten dochód w roku 2010 jeżeli w 2000 wynosił 10 000 D/cap? • Oszacowano model popytu na mięso: Zinterpretuj otrzymane wyniki

34. Kilka pytań 2 • Co to jest współczynnik zbieżności i jak się go wyznacza? • Podaj postać funkcji Törnquista III rodzaju i omów jej własności • Jak można szacować paramatry trendu wykładniczego? • Elastyczność dochodowa popytu na mięso wynosi 0,15, a (teoretyczne ) wydatki przy dochodzie 1 tys. wynoszą 200 zł. Pokaż funkcję popytu na mięso. • Prędkość wzrostu funkcji wartości zapasów w przedsiębiorstwie X wynosi 0,15, a jeszcze pięć lat temu zapasów n ie było wcale. Jaką funkcją opisać można trend rośnięcia zapasów w przedsiębiorstwie X? • Oszacowanie parametrów funkcji kosztów całkowitych przyniosło wyniki (poniżej) Zinterpretuj otrzymane wyniki