Hoofstuk 9 Massamiddelpunt en Liniêre Momentum

1. Hoofstuk 9Massamiddelpunt en Liniêre Momentum -Massamiddelpunt (com) vir ‘n sisteem van deeltjies -Die snelheid en versnelling van die massamiddelpunt -Liniêre momentum van ‘n enkele deeltjie en ‘n sisteem van deeltjies Ons gaan die vergelyking van beweging vir die massamiddelpunt aflei en ook die beginsel van behoud van liniêre momentum bespreek. In hierdie hoofstuk gaan ons u aan die volgende nuwe onderwerpe bekendstel: Uiteindelik gaan ons die behoud van liniêre momentum gebruik om botsings in een en twee dimensies te bestudeer.

2. Wat is die massamiddelpunt van ‘n voorwerp? Beskou ‘n kolf of bat wat in die lug opgegooi word. Indien ‘n mens noukeurig kyk, sal daar een spesiale punt van die kolf wees wat in ‘n eenvoudige paraboliese kromme beweeg wanneer dit in die lug gegooi word. Hierdie spesiale punt beweeg asof (1) die kolf se totale massa daar gekonsentreerd is en (2) die gravitasiekrag op die kolf slegs daar inwerk. Hierdie spesiale punt word die massamiddelpunt van die kolfgenoem. In die algemeen: DEFINISIE v MASSAMIDDELPUNT * Die massamiddelpunt van ‘n voorwerp of ‘n sisteem van voorwerpe, is die punt wat beweeg asof al die massa daar gekonsentreer is en al die eksterne kragte daar aangewend word.

3. Massamiddelpunt (com) • Fig. 9-2a toon twee deeltjies met massas m1 en m2 wat op ‘n afstand d van mekaar is. • Die oorsprong van die x-as is gekies as m1 se posisie. • Die posisie van die massamiddelpunt (com) van hierdie twee-deeltjie sisteem word dan as volg gedefinieer: (9-1)

4. Fig.9-2b • Twee deeltjies met massa m1 en m2 , by posisies x1 en x2 respektiewelik , is ‘n afstand d van mekaar. • Die massamiddelpunt word nou gedefinieer as: (9-2) Vervangm1 + m2 = M (somtotaal v massa v twee deeltjies) (9-3)

5. Massamiddelpunt v sisteem v deeltjies • Indiendaarndeeltjies in ‘n sisteem is, uitgestreklangs die x-as, volg: • M = m1 + m2 + .... + mn, en • Die posisiev.dmassamiddelpunt is: (9-4) • Indien die deeltjies in drie-dimensiesversprei is, moet die massamiddelpuntdeurdrieposisiekoördinategedefinieer word: (9-5)

6. Soliedeuniformevoorwerpe • ‘n Eenvoudigevoorwerpsoos ‘n “baseball bat”, bestaanuit so baiedeeltjies (atome) datdit as ‘n kontinuedistribusie v materiebeskoukan word. • Die deeltjies word dan ‘n differensieerbaremassa element dm, • En die somme v vgl 9-5 word integrale en die koördinate v d massamiddelpunt is dangedefinieer as: (9-9) met M die massa v d voorwerp.

7. Dit is baiemoeilikomhierdieintegraletebepaal, maaruniformevoorwerpe het uniformedigthede, massa per volume, dus • Digtheid = massa / volume: (9-10) • Hieruitvolg : • En substitieer in vgl 9-9 danvolg: Net so En

8. Indien ‘n voorwerp ‘n punt, ‘n lyn of ‘n vlak van simmetrie het, lê die voorwerp se massamiddelpunt by die punt, op die lyn of in die vlak van simmetrie. • Ditkanookgebeurdat die massamiddelpuntbuite die voorwerplê, bv. ‘n perdeskoen en “doughnut”. massamiddelpunt massamiddelpunt

9. “ Sample Problem” 9-1op bl. 204(204)(171) in H&R. • Fig. 9-3 Drie deeltjies vorm ‘n gelyksydige driehoek met elke sy = a. • Die massamiddelpunt word gevind deur die posisie vektor rcom.

10. M = 1.2 + 2.5 + 3.4 = 7.1 kg • x-koördinaat: = 83 cm Net so is ycom = 58 cm Dusposisievektor: r com = xcomî + ycomĵ = (83 î + 58 ĵ ) cm Bereken die waarde en posisie verder soos vir enige ander vektor. rcom= 101.26 cm en 35˚ m.b.t pos. x-as

11. Newton se Tweede Wet vir 'n Sisteem van Deeltjies • Indien ‘n wit biljartbal na ‘n tweede bal, wat in rus verkeer, gerol word, word verwag dat die twee-bal sisteem na die botsing steeds ‘n voorwaartsebewegingsalhê. • Wat sal aanhou om vorentoe te beweeg, is die massamiddelpunt van die sisteem, wat nie deur die botsing beïnvloed word nie. • Om in meer besonderhede na die beweging van die massamiddelpunt te kyk, word die balle met ‘n sisteem bestaande uit n deeltjies met (moontlike) verskillendemassasgekyk. • Daar word slegs op die beweging van die massamiddelpunt van al die deeltjies gekonsentreer. • Alhoewel dit slegs ‘n punt is, beweeg dit soos ‘n deeltjie waarvan die massa gelyk is aan die totale massa van die sisteem; met ‘n posisie, snelheid en versnelling daaraan toegeken.

12. Die vektorvergelyking wat die beweging van die massamiddelpunt van so ‘n sisteem van deeltjies beskryf, is dan: Fnet= Manet(9-14) • Hierdie vergelyking is Newton se tweede wet vir die beweging van die massamiddelpunt van ‘n sisteem van deeltjies. • Ditlyksoosdie vergelyking wat van toepassing is op die beweging van ‘n enkele deeltjieF = ma.

13. M is die totale massa van die sisteem. Daar word aanvaar dat geen massa die sisteem verlaat of bykom nie. M bly dus konstant. Daar word gesê dat die sisteem geslote is. NB: 1. Fnetis die netto krag van al die eksterne kragte wat op die sisteem inwerk. acom die versnelling van die massamiddelpunt van die sisteem. 4. Omdat acom uit x-, y- en z-komponente kan bestaan, kry ons dus: (9-15)

14. Die gedrag van die biljartballe kan weer ondersoek word. Sodra die wit bal begin rol, is daar geen eksterne krag wat op die twee-bal sisteem werknie. • Dus Fnet = 0, en acom = 0 . • Versnelling = die tempo van verandering in snelheid, • dus verander die snelheid van die massamiddelpunt nie, want acom = 0 . • Wanneer die twee balle bots, is die kragte wat in werking kom interne kragte wat nie bydra tot die netto krag Fnet nie en dit bly dus nul. • Die massamiddelpunt, wat voor die botsing besig was om vorentoe te beweeg, hou dus aan om vorentoe te beweeg na die botsing, teen dieselfde spoed en in dieselfde rigting

15. Bewys van vgl.9-14 • Dus (9-16) • Vgl.9-8 : • Differensieer vgl.9-16 m.b.ttyd: (9-17) • Differensieerweer vgl.9-17 m.b.ttyd: (9-18) Maaruit Newton II is Fnet = ma of Fi = miai, Dus (9-19) (9-14)

16. Sample Problem 9-3, p.208

20. Liniêre Momentum • Die liniêre momentum van ‘n deeltjie met massam en snelheidv, is gedefinieër as ‘n vektor p, • p = mv • Met p en v in dieselfderigting. • SI eenheid: kilogram-meter per sekonde of kg.m/s. • Newton se Tweede Wet v Bewegingi.t.v momentum: • Die tempo van verandering in momentum van ‘n deeltjie is gelykaan die nettoeksternekragwatinwerk op die deeltjie en is in diselfderigting as die krag. • In vergelykingvorm: (9-23) • Die liniêre momentum van ‘n voorwerpkanslegsdeur ‘n nettoeksternekragverander word!

21. Substitueer in Dan

22. Die Liniêre Momentum van ‘n Sisteem van Deeltjies • Beskou ‘n sisteem van n deeltjies, elk met sy eie massa, snelheid en liniêre momentum. Die deeltjies mag met mekaar interaksie hê en eksterne kragte mag op hulle inwerk. Die sisteem as geheel het ‘n totale liniêre momentum P, wat as die vektorsom van die individuele deeltjies se momentums gedefinieer word. Dus: (9-24) As hierdie vgl. met Vgl. 9-17 vergelyk word , word gesien dat (9-25)

23. Dit gee ‘n ander manier om die liniêre momentum van ‘n sisteem van deeltjies te definieer: • Die liniêre momentum van ‘n sisteem van deeltjies is gelyk aan die produk van die totale massa M van die sisteem en die snelheid van die massamiddelpunt. • Differensieer vgl.9-25 m.b.t tyd: (9-26) • Vergelyk metFnet = Manet, vgl.9-14, met vgl.9-26, dan: (9-27) (sisteem van deeltjies)

24. Botsings en Impuls • Die momentum, p, van enigedeeltjiekannieverandernie, tensy ‘n nettoeksternekrag, Fnetdaaropinwerk. • Twee maniereompteverander: • - stoot of gooivoorwerp; - botsing met ‘n andervoorwerp • In ‘n botsing (ongeluk), • - werk die eksternekragbaiegou, - het ‘n grootwaarde, - veranderskielik die voorwerp se p. • In ‘n botsingwaareenvoorwerpbeweeg en die andervoorwerpstilstaande is, word die bewegengevoorwerpdie projektielgenoem en die stilstaandevoorwerp die teikengenoem.

25. ‘n EnkeleBotsing • Laatprojektiel = bal en teiken = kolf • Botsing is kort, maar die krag op die bal is grootgenoegomdittevertraag, te stop of selfs in teenoorgestelderigtingtelaatbeweeg. • So uit eq.9-27, dp= F(t)dt(9-28) • Vind die nettoverandering in die bal se momentum deuralbeikanteteintegreervanaftydti net voorbotsing tot tydtf net nabotsing: (9-29) • linkerkant: pf – pi = Δp • regterkant: impulse = J

26. (9-29) Impulsgedefinieër(9-30) Liniêre momentum-Impulsteorie(9-31) In vektorvorm: (9-32) (9-33) In komponentvorm: (9-34) En

27. Onsweetdikwelsnie hoe die kragverander met tydnie, maarwelwat die grootte van die gemiddeldekrag, Favg, is en hoelank, Δt (= tf– ti), die botsinggeduur het. • Dan is die grootte van die impuls:J = FgemΔt (9-35) • Wat as onseerderfokus op die kolf? • Volgens Newton III: Fbal = -Fkolf • Selfdegrootte, maarteenoorgestelderigtings • Dus uit vgl.9-35: Jbal= -Jkolf • Doen Sample Problems 9-4 & 9-5, p213-214

29. ‘n Reeks Botsings • Kyk na die krag op ‘n liggaam wanneer dit ‘n reeks identiese, herhaalde botsings ondervind, bv. indien daar m.b.v. ‘n tennismasjien, balle teen ‘n hoë tempo na ‘n muur afgeskiet word. • Elke botsing sal ‘n krag teen die muur uitoefen. • Die gemiddelde krag Favg op die muur tydens die bombardement moet bereken word, dws die gemiddelde krag tydens ‘n groot aantal botsings.

30. Fig.9-10 ‘n Reëlmatige stroom projektiele, met identiese liniêre momentum, bots met die teiken, wat vas is. Die gem. krag Favg op die teiken is na regs en die grootte hang af van die tempo waarmee die projektiele bots. • Elke projektiel het ‘n aanvangsmomentum mv en ondergaan ‘n verandering in liniêre momentum p a.g.v. die botsing. • Die tot. verandering in mom. vir n projektiele tydens tydinterval t, is: np. • Die resulterende impuls J op die teiken gedurende die tyd t is langs die x-as en het dieselfde grootte np, maar is in die teenoorgestelde rigting.

31. Die verband kan as volg geskryf word: J = -np (9-36) waar die (–) teken aandui dat J en p teenoorgestelde rigtings het. • Deur herrangskikking, word die gemiddelde krag Favg , wat op die teiken inwerk tydens die botsings: (9-37) • Hierdie vergelyking gee Favg i.t.v. n/t, die tempo waarmee die projektiele teen die teiken bots, en v die verandering in die snelheid van die projektiele.

32. Behoud van Liniêre Momentum • Gestel die netto eksterne krag op ‘n sisteem van deeltjies is nul (‘n geïsoleerde sisteem) en dat geen deeltjies die sisteem verlaat of bykom nie (die sisteem is geslote). • Indien Fnet = 0 in Vgl. 9-23 gestel word, dan is dP/ dt = 0 • P= konstant (geslote, geïsoleerde sisteem) (9-42) • In woorde: Indien geen eksterne krag op ‘n sisteem van deeltjies inwerk nie, sal die totale liniêre momentum van die sisteem nie verander nie. • Bekend as: wet van behoud van liniêre momentum: • Pi = Pf (geslote, geïsoleerde sisteem) (9-43) • [Tot. Lin. momentum by ‘n begintydti ] = [Tot. Lin. momentum by ‘n later tydtf ]

33. Vgls. 9-42 en 9-43 is vektorvergelykings en dus ekwivalent aan drie vergelykings wat ooreenstem met die behoud van liniêre momentum in die drie rigtings van die xyz –assestelsel. • Afhangende van die kragte wat op die sisteem werk, kan liniêre momentum in een of twee rigtings behoue bly, maar nie noodwendig in alle rigtings nie. • As die komponent van die netto eksterne krag op ‘n geslote sisteem nul is langs ‘n as, dan kan die komponent van liniêre momentum op die sisteem langs die as nie verander nie. • Doen Sample Problems 9-6 tot 9-8, p215-217

34. Momentum vsKinetieseEnergie in Botsings • Beskou ‘n geslotegeïsoleerdesisteem v 2 deeltjies: • P = konstant, as Fnet = 0 • Beskounoueerder die kinetieseenergie van die 2 deeltjieswat bots: • As die totalekinetieseenergie, Ktot, voor en na ‘n botsingdieselfdebly, dan is dit ‘n elastiesebotsing. • DikwelsgaanKegtertydens ‘n botsing as andervormeverlore, bv. termieseenergie of klankenergie, dan is dit ‘n onelastiesebotsing. • Die grootsteverlies in K vindplaastydens ‘n botsingwaarna die voorwerpeaanmekaarvassit, en word ‘n volledigeonelastiesebotsinggenoem

35. Tydens ‘n botsing in ‘n geslote, geïsoleerde sisteem, mag die momentum van onderskeie liggame verander, maar die totale momentum P van die sisteem kan nie verander nie, afgesien daarvan of die botsing elasties of onelasties was. • Dit is ‘n ander manier om die wet van behoud van liniêre momentum uit te druk (in Afdeling 9-6 bespreek).

36. OnelastieseBotsings in Een-Dimensie Fig.9-14 toon twee voorwerpe net voor en net na ‘n eendimensionele botsing (wat beteken dat die beweging voor en na die botsing langs dieselfde as bly). Die snelhede voor die botsing (onderskrif i) en na die botsing (onderskrif f) word aangedui. • Die twee voorwerpe vorm die sisteem, wat geslote en geïsoleerd is. Die wet van behoud van momentum kan as volg geskryf word: [totale momentum Pi voor die botsing] = [totale momentum Pf na die botsing] • in simboolvorm as volg: p1 i + p2 i = p1 f + p2 f(behoud van momentum) (9-50)

37. OnelastieseBotsings in Een-Dimensie • Omdat die botsing in een dimensie plaasvind, kan die pyltjies op die vektore weggelaat word en vanaf p = mv, kan Vgl. 9-50 geskryf word as: • m1v1 i + m2v2 i = m1v1 f + m2v2 f(9-51) • Hiermee kan een van die ontbrekende waardes bereken word as die ander gegee word.

38. Volkome Onelastiese Botsing Fig. 9-15  Voor die botsing is m2 (teiken) in rus en m1 (projektiel) beweeg direk na regs. Na die botsing beweeg die twee saam met dieselfde snelheid V. • Vir hierdie geval word Vgl. 9-51 geskryf as m1v1 i = (m1 + m2)V(9-52) • Of (9-53) • V kan dus hieruit bereken word. • Let op dat V kleiner as v1i moet wees.

39. Snelheid van Massamiddelpunt • In ‘n geslote, geïsoleerde sisteem, kan die snelheid vcom van die massamiddelpunt nie deur ‘n botsing verander word nie, want met die sisteem geïsoleer, is daar geen netto krag wat daarop inwerk om dit te verander nie. • Om ‘n uitdrukking vir vcom te kry, word daar weer na die twee-liggaam sisteem en die eendimensionele botsing van Fig.9-14 gekyk . M.b.v. (P = Mvcom), kan vcom i.v.m. die totale liniêre momentum P van die sisteem gebring word deur die vgl. as volg te skryf: (9-54) (9-55)

40. Snelheid van Massamiddelpunt • Indien P deur Vgl.9-55 in Vgl.9-54 vervang word en daarna vir vcom opgelos word, kry ons: (9-56) • Die regterkant van bogenoemde vergelyking is ‘n konstante en vcom het dieselfde konstante waarde voor en na die botsing.

41. NB: Sample Problem 9-9, p219-220 Beginsel v werking v ballistiese pendulum

43. Uitbehoud v meganieseenergie:

44. ElastieseBotsing in Een-dimensie • Ktotvoorbotsing = Ktotnabotsing • In ‘n elastiesebotsing, kan die kinetieseenergie van elkebotsendedeeltjieverander, maar die totalekinetieseenergie van die sisteemverandernie. • Dusbv. vir ‘n stilstaandeteiken: m1v1i = m1v1f + m2v2f (lin.momentum) (9-63) • en ½m1v1i2= ½m1v1f2 + ½m2v2f2(kin.energie) (9-64) • Dusuit vgl.9-63: m1(v1i - v1f )= m2v2f(9-65) • En uit vgl.9-64: m1v1i2- m1v1f2 = m2v2f2 m1(v1i + v1f)(v1i - v1f) = m2v2f2(9-66) • Deelvgl.9-66 deur9-65 en m.b.v. Verdere algebra volg: (9-67) (9-68) en

45. (9-67) (9-68) • Gelykemassas:m1 = m2danv1f = 0 en v2f = v1itwee liggameruilsnelhedeom • ‘n Massieweteiken: m2 >> m1danv1f ≈ -v1i en v2f ≈ (2m1/m2)v1i(9-69)liggaam 1 bonsterug met fietlikdieselfdespoed, liggaam 2 beweegbaiestadigvorentoe.

46. (9-67) (9-68) • ‘n Massieweprojektiel: m1 >> m2danv1f ≈ v1i en v2f ≈ 2v1i(9-70)liggaam 1 beweeg met fietlikdieselfdespoedvorentoe, liggaam 2 beweeg teen dubbeldliggaam 1 se spoedvorentoe. • Doen Sample Problem 9-11, p223