KÓDOLÁSELMÉLET

1. KÓDOLÁSELMÉLET Nagy Szilvia 3. Konvolúciós kódolás 2009.

2. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Keret, kódszókeret, kódsebesség Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A konvolúciós kódolás során a tömörített b 1 , b 2 , b 3 , … üzenetet k bites szakaszokra – üzenetszegmensekre – bontjuk, és m+1 egymás utáni üzenetszegmensből alakítjuk ki a kódoló aktuális kimenetét. A kódoló mindig m darab k hosszúságú üzenetszegmenst – keretet – tárol, és egy van a bemenetén.

3. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Keret, kódszókeret, kódsebesség Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Egy lépés során a kódoló • beolvas egy üzenetszegmenst • az m+1 darab, k hosszúságú bitsorozatból létrehoz egy n hosszúságú kimeneti bitsorozatot, a kódszókeretet.A kódsebesség: R = k/n. • eldobja a legrégebben tárolt keretet és elraktározza az újonnan beolvasottat Egy üzenetszegmens m+1 lépés során befo-lyásolja a kimenetet, utána tűnik csak el a tárolókból. A kódoló kényszerhossza K = k (m+1) bit.

4. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Kényszerhossz, fa-kód, trellis Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Ugyanez az üzenetszegmens a kimeneten n (m+1) bit kialakításában vesz részt, az N = n (m+1) mennyiség a kódoló blokkhossza. A K kényszerhosszú, N blokkhosszú, lineáris, időinvariáns trellis kódokat (N, K) paraméterű konvolúciós kódoknak nevezzük. • A konvolúciós kódok tervezése sok esetben lehetőséget nyújt a moduláció tervezésére is.

5. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Kódparaméterek Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok • A konvolúciós kódolók létrehozhatók léptetőregiszterekkel, például: k=1, n=2, m=2, K=3, N=6-ra

6. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúció Jellemezzük a konvolúciós kódoló p-edik ágát egy olyan félig végtelen bitsorozattal, amelyiknek a j-edik eleme akkor és csak akkor 1, ha a p-edik ágban 1-es együtthatóval jelenik meg bi−j. A kódolónkra: az első ág bitsorozata: g1=1 0 1 0 0 0 … a második ág bitsorozata: g2=1 1 1 0 0 0 … Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok

7. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúció az első ág bitsorozata: g1=1 0 1 0 0 0 … a második ág bitsorozata: g2=1 1 1 0 0 0 … Az első ág kimenete: b1, b2, b3+b1, b4+b2, b5 +b3, …== g1b A második ág kimenete: b1, b2+b1, b1+b2+b3, b2+b3+b4, b3+b4 +b5,…= =g2b Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok

8. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Állapotátmenet-gráf Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Nézzük a kódolónk tárolóinak állapotai közötti átmeneteket gráfon ábrázolva: bemeneti bitek kimeneti bitpárosok

9. a trellisnek ezen része tetszőleges számszor ismételhető a tárolók kiürítése: Blokk-kód üzemmód KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Trellis diagram Az állapotátmenet-gráfról, vagy az áramkör blokkváz-latáról leolvashatók a különféle bemeneti kombinációk hatására a kimeneten és a tárolókban megjelent bitek, melyeket a trellisen lehet ábrázolni:

10. első mélységbeli csomópontok KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Trellis diagram Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Az egyszerűsített trellisen az azonos tárolóállapotok, mint egy sorban lévő pontok szerepelnek, és a bemenetet sem mindig tüntetik fel az élekre (a felfelé menő piros élek az 1 bemeneti bitet, a lefelé muta-tó kékek a 0-t jelentik:

11. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Trellis diagram Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Az egyszerűsített trellisen a különböző üzenetek kódolását lehet nyomon követni: Legyen a kódolandó üzenetszakasz 0 0 1 0 1 1 1 0 (trellis – rácsozat)

12. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Polinom reprezentáció Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Az áramkörünk tulajdonképpen két polinomszorzó eredményeit fésüli össze: A bináris polinomjaink: Az üzenethez rendelhető polinom:

13. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Polinom reprezentáció Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Az ágakat jellemző bináris polinomok: Az üzenethez rendelhető polinom: Az kimenet szétosztható 2 darab külön bitfolyamra, melyekhez a következő polinomok rendelhetők:

14. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Polinom reprezentáció Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Ha hosszabb az üzenetkeret, az üzenetet is k darab különálló bitfolyamra kell bontani, és a generáló polinomoknak is két fontos indexe lesz. Ezek a polinomok mátrixba rendezhetők: A mátrix első sora jellemzi az első bemeneti bit hatását az n darab kimenetre, a második sor a második bemeneti bitét, …

15. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Polinom reprezentáció Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A kódoló polinom-mátrixa: Az üzenethez és a kimenethez rendelhető polinomok vektorokba rendezhetők: Így

16. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: A kódoló paraméterei: k=2, n=3, m=3, K=8, N=12. A tárolóknak összesen 2 5 = 32-féle állapota lehetséges, az állapotátmeneti gráf 32 csúccsal rendelkezik, a trellis 32 sorral.

17. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: A generáló polinomok:

18. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: A generáló polinom-mátrix:

19. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: Az üzenet és kimenet felbontása:

20. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: Az üzenethez két-, a kimenethez három komponensű polinom-vektor tartozik:

21. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Példa: A polinom-mátrix: A kód komponensei:

22. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő, kicsit egyszerűbb kódoló áramkört: A kódoló paraméterei: k=2, n=3, m=2, K=6, N=9. A tárolóknak összesen 2 3 = 8-féle állapota lehetséges, az állapotátmeneti gráf 32 csúccsal rendelkezik. Ezeket fogjuk most felrajzolni. 2 2 = 4-féle bemeneti kombináció lehetséges, így minden csúcsból négy ág indul ki. Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok

23. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő, kicsit egyszerűbb kódolót: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

24. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Nézzük a következő kódoló áramkör trellisét: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

25. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Kódoljuk a 01 11 00 01 00 10 11 üzenetet: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

26. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Kódoljuk a 01 11 00 01 00 10 11 üzenetet: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

27. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Kódoljuk a 01 11 00 01 00 10 11 üzenetet: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

28. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Kódoljuk a 01 11 00 01 00 10 11 üzenetet: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

29. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Kódoljuk a 01 11 00 01 00 10 11 üzenetet: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

30. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Példa: Kódoljuk a 01 11 00 01 00 10 11 üzenetet: 00 bemenet01 bemenet10 bemenet11 bemenet

31. Engedjünk csupa 1-est a bemenetre. Ekkor rövid tranziens (két lépés, 11 10 kimenet) után a kimenet csupa nulla lesz. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Katasztrofális kódoló Módosítsuk kicsit az első kódolónkat, és nézzük az állapotátmeneti gráfját:

32. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Katasztrofális kódoló Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Az olyan kódolókat amelyek nem csak tiszta nulla bemenetre, hanem valamilyen más, periodikus bemeneti sorozatra is tiszta nulla kimenetet adnak, katasztrofális kódolóknak nevezik. A katasztrofális kódolónak az állapotátmeneti gráfján mindig van egy olyan hurok, amelyik nem a tiszta nulla állapotból indul és mégis tisztanulla a kimene-te, azaz nulla a hurok kimeneténekHamming-súlya.

33. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Katasztrofális kódoló Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A katasztrofális kódoló pontos definíciója: Az olyan kódolók, melyek tetszőlegesen nagy Hamming-súlyú bemenetre is korlátos Hamming-súlyú maradhat a kimenet. (l. a kódolónkra bármennyi 1-est engedünk, a kimenet lehet 3-nál nem nagyobb súlyú.) Szeretnénk elkerülni a katasztrofáliskódolókat, ezért szeretnénk egy olyan feltételt, amely az állapotátmenet-gráf (hosszadalmas) felrajzolása nélkül is megmondja, hogy katasztrofális-e a kódoló vagy nem.

34. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Katasztrofális kódoló Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Ha k=1, azaz a kódsebesség 1/n, akkor létezik ilyen feltétel: a kódoló akkor és csak akkor nem katasztrofális, ha az ágait jellemző polinomok legnagyobb közös osztója 1: A katasztrofális kódolónkra:

35. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Távolságprofil, szabad távolság Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Vizsgáljuk a kódoló lehetséges kimeneteiből mindig az első r kódszókeretet. Az így ka-pott r ∙n hosszúságú vektoroknak értel-mezhető a Hamming-távolsága. Jelöljük ezek közül a minimálisat dr*-gal. Ekkor r növelésével ez a minimális távolság nem fog csökkenni: A d1*, d2*, d3*,… sorozatot a kódoló távolságprofiljának nevezik. A dr*-okból álló monoton növekvő sorozat határértéke, avagy ezen értékek maximuma a kód szabad távolsága:

36. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Kódolási nyereség Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A csatornakódolás során ezesetben is a kódtávolság növelésére törekedünk. Vegyük a kódolatlan üzenet dref szabad távolságát referenciának. A kódolási nyereség: a kódolt üzenet szabad kódtávolságá-nak és a referenciatávolság aránya decibelskálán.

37. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A konvolúciós kódolók kimenetét nem csak n bitként lehet értelmezni, hanem komplex számként is: például a áramkör három bitnyi kimenete értelmezhető 8PSK modulátor fázisszögeként is (23=8):

38. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Komplex kódábécével jelentős kódolási nyereség érhető el. Lássuk: Nézzük a kódoló állapotátmenet-gráfját

39. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Nézzük a kódoló trellisét:

40. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Nézzük az egyes állapotok távolságát: • a kiindulási bitpárokat, mint komplex számokat értelmezve a távolsá-gaik euklideszi mértékkel: • a kimeneti bittrióknak, mint komplex számoknak a távolsága:

41. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé Keressük meg a tiszta nulla bemenetre adott tiszta nulla kimenethez euklideszi távolságban legközelebb eső kódolt üzenetet: A hozzá tartozó résztávolságok:

42. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé A tiszta nulla bemenetre adott tiszta nulla kimenet euklideszi távolsága a hozzá legközelebb eső kódolt üzenettől: Az eredeti üzenet távolsága a tiszta nulla üzenettől Így a kódolási nyereség:

43. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A valós számokkal és Hamming-távolsággal ugyanez a kódolási nyereség: az üzenet: 10 00 00 00 00 … Hamming-távolsága a 00 00 00 00 00 … üzenettől: 1 kódolt üzenet: 010 100 010 000 000 Hamming-távolsága a 000 000 000 000 000 … kódolt üzenettől: 3 Így a kódolási nyereség:

44. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Maximum likelihood dekódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A Viterbi-dekódolás olyan algoritmus amelyet a trellis kódok maximum likelihood dekódolására fejlesztettek ki és optimalizáltak. Szemléltetés: Bináris szimmetrikus csatorna p < 1/2 paraméterrel. Legyen a csatornára adott vektor c = ( c 1 , c 2 , …, c N ), a kimeneten észlelt vektor v=( v 1 , v 2 , …, v N ). A p( v|c ) feltételes valószínűség:

45. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Maximum likelihood dekódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok mivel a csatorna mindkét bit esetén 1−p valószínűséggel továbbít helyes jelet és p valószínűséggel hibáz; N darab szimbólum van és ebből d( v, c ) helyen tér el a két vektor egymástól, azaz ennyi helyen rontott a csatorna.

46. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Maximum likelihood dekódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Maximum likelihood döntésnél tehát a valószínűséget kell maximalizálni, azaz, mivel a d(v, c) Hamming-távolságot kell minimalizálni.

47. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Maximum likelihood dekódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Tehát a d(v, c) Hamming-távolságot kell minimalizálni. Jelöljük az i-edik kódszókeretet ci-vel, a belőle a csatorna kimenetén kapott szimbólumsorozatot vi-vel, távolságukat d(vi, c i )-vel. ekkor a Hamming-távolság minimumát kell keresni (d(c,v) a fenti szorzat kitevőjében van).

48. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Maximum likelihood dekódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A trellisben minden kódszókeretet egy-egy él reprezentál. Rendeljünk hozzá minden élhez egy olyan súlyfaktort avagy metrikát (mértéket), amely arányos ezzel a mennyiséggel, járjunk végig minden lehetséges utat, és válasszuk ki közülük a maximális súlyút. (Ha a Hamming-távolság a metrika akkor a minimumot kell keresni) Ez a Viterbi-dekódolás alapötlete. A legegyszerűbb, ha a vett bitsorozattól mért Hamming-távolságot nevezzük ki metrikának. (BSC esetén jó is)

49. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás Maximum likelihood dekódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok Más típusú diszkrét, emlékezet nélküli csatornánál is lehet a szorzatként előálló p(v|c) likelihood helyett olyan mennyiséget találni, amelyet egy-egy kódszókerethez tartozó részmennyiségek összegeként lehet meghatározni:

50. KÓDOLÁSELMÉLET – Konvolúciós kódolás A Viterbi-algoritmus Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotátme-neti gráf, trellis Polinom-reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Maximum likelihood dekódolás Visszacsatolt konvolúciós kódolók Turbó kódok A Viterbi-dekódolás A következő ciklust hajtja végre amíg el nem fogy a vett szimbólumsorozat: • beolvas egy kódszókeretet, az i-ediket: ci-t • kiszámolja a trellis i-edik és i+1-edik mélységi csomópontjai közötti ágak súlyát a ci ismeretében • előhívja az i-edik mélységi csomópontokig vezető utak metrikáját, ezekhez hozzáadja az újakat, így minden i+1-edik csomóponthoz kap több útvonalat különféle metrikával;