Arithmétique et algèbre Continuités et ruptures : lettres, signe égal, expressions

1. Arithmétique et algèbreContinuités et ruptures : lettres, signe égal, expressions Séminaires démultipliés 2013 Jour 2

2. Activité – analyse des erreurs d’élèves • Analysez les réponses d’élèves : • Identifiez les erreurs des élèves • Pour chacune d’elles, apportez une explication Temps 1 : Travail par 2 (15 min) Temps 2 : Travail en groupes de 4 (30 min) • Répartition des questions de la façon suivante : • G1 : 1-7-3-9 • G2 : 2-8-4-7 • G3 : 3-9-5-7 • G4 : 4-10-6-7 • G5 : 5-1-7-10 • G6 : 6-2-8-7

3. Statut de la lettre • Lettre pour désigner • Un objet • Une variable • Une inconnue • Un nombre indéterminé • Un paramètre

4. Lettre pour désigner un objet • La lettre symbolise un objet mathématique, un symbole d’unité, elle marque uneabréviation : • La lettre désigne un objet précis : un point A, un cercle C • La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres, 2 t pour 2 tonnes • La lettre désigne une abréviation d’un objet mathématique : A = L l ; P =   D. Enseignement primaire, début d’enseignement moyen

5. Lettre pour désigner une variable • Les valeurs que peut admettre la lettre varient dans un intervalle ou un ensemble • Quel nombre peut-on mettre à la place de t dans 1,2 < t < 1,5 ? • ABCD est un carré de côté 8 cm et M un point du segment [AB], tel que AM = x. Exprimer l'aire A du quadrilatère MBCD quand M varie sur le segment [AB]. Dès le début de l’enseignement moyen

6. Lettre pour désigner une inconnue • Ce statut est rencontré dans les situations de mise en équation d’un problème ou lors d’une résolution d’équation : • Que vaut le nombre x si le triple de la différence de x et de 7 est égal à la moitié de la somme de x et de 1 ?

7. Lettre pour désigner un nombre indéterminé • La lettre ne représente plus des nombres particuliers mais au contraire, des nombres quelconques comme dans les identités où l’égalité est universellement vraie : • Pour tous les nombres k, a, b : k(a + b) = ka + kb • Pour tous les nombres x : x + x = 2x • Les identités remarquables

8. Lettre pour désigner un paramètre • La lettre représente une quantité supposée connue par rapport à d’autres lettres qui ont : • soit le statut de variable : f : x → ax • soit le statut d’inconnue : ax + b = 0 • soit le statut d’indéterminée : a(x + y) = ax + ay

9. Statut de la lettre selon la tâche • a) A(x) = 3(x + 4) • x est ici une variable • b) 3(x + 4) = 24 • x est ici une inconnue

10. Du côté des élèves • 6 niveaux d’interprétation identifiés chez des élèves de 11 à 17 ans : • Lettre ignorée • Lettre évaluée • Lettre – objet • Lettre – inconnue spécifique • Lettre – nombre généralisé • Lettre – variable Niveau pré-algébrique Nécessaires pour comprendre l’algèbre élémentaire

11. Du côté des élèves • Lettre ignorée • Prise en compte d’éléments numériques uniquement • Ex. 5 + 3y = 8 ou 5 + 3y = 8y • Lettre évaluée • Besoin d’attribuer une valeur numérique à la lettre manipulée • Ex. le périmètre d’un polygone à n côtés égaux de 2 cm chacun est 28 cm. • Lettre – objet • La lettre n’a pas de statut de nombre, elle correspond à l’abréviation d’un mot • Ex. 5 + 3t = 8 tonnes

12. Statut du signe égal Enseignement primaire • 4 + 6 = 10 • Signe égal pour annoncer le résultat • 54 = 3  18 • Signe égal pour signifier la décomposition d’un nombre • 15/10 = 3/2 • Signe égal pour signifier que différentes écritures représentent un même nombre

13. Enseignement moyen Statut du signe égal • k(a + b) = ka + kb • Signe égal pour traduire une identité • Calculer a + 2b pour a = 1 et b = 0,7 • Signe égal comme symbole d’affectation • (2x + 3)(x – 2) = 2x² – x – 6 • Signe égal pour signifier que deux expressions ont la même valeurquel que soit x • Pour quelle valeur de x a-t-on 2x + 3 = 5x ? • Signe égal pour signifier que deux expressions peuvent avoir la même valeur pour une valeur de x

14. Du côté des élèves • Ex. Dans un match de football l’équipe qui reçoit marque x buts, l’équipe visiteuse marque y buts. Exprimer le nombre total de buts marqués dans ce match. • Réponse : z buts (x + y = z) Signe égal comme annonceur du résultat

15. Du côté des élèves • 4 + 3x = 7x Est-ce toujours vrai ? • C’est pareil car 3+4 = 7 et le prof a dit que 3x c’est 3 multiplié par x, et on multiplie dans les deux cas • C’est faux car il faudrait des parenthèses, c’est (4+3)x qui est égal à 7x • Si on remplace x par 1, c’est vrai • Si on remplace x par 2, c’est faux • On ne peut pas savoir, c’est tantôt vrai, tantôt faux • Ce n’est pas toujours vrai • C’est toujours vrai à condition de prendre 1 pour x.

16. Aspect procédural et structural d’une expression • L’expression 2n+1 sert à la fois à • Calculer la valeur de l’expression pour des valeurs de n données • Aspect procédural • Désigner un nombre impair lorsque n est entier • Aspect structural

17. Du côté des élèves • Ex. trouver la valeur de 2r+1 dans 4(2r+1)+7=35 • Résoudre pour r, puis calculer 2r+1 (aspect procédural) • Trouver le nombre dont le quadruple augmenté de 7 donne 35 (aspect structural)

18. Conclusion • Difficultés dans l’apprentissage de l’algèbre • Bouleverse certaines conceptions d’arithmétique des élèves • Nécessite de la part des enseignants de trouver des moyens de faire comprendre les nouvelles significations des objets mathématiques connus