Annuitet

1. Annuitet 4 slags rentesregning Afbetalingslån – Gryn-formlen Opsparing - Opsparingsformlen Eksempler…

2. 4 slags rentesregning Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver med deres formler. Hvis der er tale om ét beløb (et engangsbeløb) der indsættes eller lånes og der tilskrives rente til dette ene beløb, er der tale om en renteopgave.

3. 4 slags rentesregning Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver med deres formler. Hvis der er tale om ét beløb (et engangsbeløb) der indsættes eller lånes og der tilskrives rente til dette ene beløb, er der tale om en renteopgave. 1. Hvis der er tale om en periode på mindre end en termin – normalt højst ét år – er der tale om simpel rentesregning med renteformlen. Se powerpointen: Reg_Rent (Rentesregning)

4. 4 slags rentesregning Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver med deres formler. Hvis der er tale om ét beløb (et engangsbeløb) der indsættes eller lånes og der tilskrives rente til dette ene beløb, er der tale om en renteopgave. 2. Hvis der er tale om en periode på flere terminer – f.eks. flere år – er der tale om rentesregning med vækstformlen, også kaldet eksponentiel vækst. Se powerpointen: Reg_Vaek (Eksponentiel vækst)

5. 4 slags rentesregning Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver med deres formler. Hvis der er tale om opsparing eller betaling af det samme beløb (en ydelse) mange gange efter hinanden, f.eks. hver måned eller hvert kvartal, er der tale om en annuitetsopgave. 3. Hvis der er tale om, at et lån afbetales med et fast beløb hver termin, dvs. hver måned, hvert kvartal eller hvert år, er der tale om afbetalingsformlen, også kaldet Gryn-formlen. Se videre i denne powerpoint!

6. 4 slags rentesregning Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver med deres formler. Hvis der er tale om opsparing eller betaling af det samme beløb (en ydelse) mange gange efter hinanden, f.eks. hver måned eller hvert kvartal, er der tale om en annuitetsopgave. 4. Hvis der er tale om, at et fast beløb indsættes på en konto hver termin, dvs. hver måned, hvert kvartal eller hvert år, er der tale om opsparingsformlen. Se denne powerpoint!

7. 4 slags rentesregning I oversigt: Løbetid: < 1 termin Formel for simpel rente Rente-opgave Løbetid: > 1 termin Formel for Eksponentiel vækst Rente eller Annuitet? Afbetalingsformlen (Gryn-formlen) Et beløb falder = afbetaling Annuitets-opgave Et beløb vokser = opsparing Opsparingsformlen

8. Afbetalingsformlen Afbetalingsformlen (Gryn-formlen)

9. Afbetalingsformlen Der er forskellige måder at afvikle et lån på, men fælles for dem alle er, at man som låner skal tilbagebetale hele det lånte beløb samt de renter, der er påløbet i den tid, man har lånt pengene. Man tilbagebetaler hver termin noget af det lånte beløb + noget rente. Begreber: Det beløb, man har lånt, kaldes hovedstolen Det beløb, man tilbagebetaler hver termin, kaldesydelsen Den del af ydelsen, man betaler af på det lånte beløb, kaldes afdraget. Afdraget er det beløb, som lånet nedskrives med, når man betaler ydelsen.

10. Afbetalingsformlen Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele perioden kender sine udgifter. I starten af tilbagebetalingsperioden udgør renterne en stor del af ydelsen, mens afdraget på lånet er en lille del. Rente Ydelse = Afdrag + Rente Ydelsen Afdrag

11. Afbetalingsformlen Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele perioden kender sine udgifter. Senere udgør renterne en stadig mindre del af ydelsen, fordi man har betalt noget af lånet tilbage og skal betale rente af et stadig mindre beløb! Afdraget bliver omvendt stadig større! Rente Ydelsen Afdrag

12. Afbetalingsformlen Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele perioden kender sine udgifter. Senere udgør renterne en stadig mindre del af ydelsen, fordi man har betalt noget af lånet tilbage og skal betale rente af et stadig mindre beløb! Afdraget bliver omvendt stadig større! Rente Ydelsen Afdrag

13. Afbetalingsformlen Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele perioden kender sine udgifter. Senere udgør renterne en stadig mindre del af ydelsen, fordi man har betalt noget af lånet tilbage og skal betale rente af et stadig mindre beløb! Afdraget bliver omvendt stadig større! Rente Ydelsen Afdrag

14. Afbetalingsformlen Et lån, der tilbagebetales med en fast ydelse hver termin, kaldes for et annuitetslån. For et annuitetslån gælder, at … tilbagebetalingen begynder én termin efter, at man har fået udbetalt lånet (hovedstolen) … der tilskrives renter til lånet hver termin … rentefoden er den samme i hele låneperioden. (Dette er ikke altid tilfældet i virkelighedens verden, men det er vi nødt til at forudsætte, ellers giver vores formel ingen mening!)

15. Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)

16. Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)

17. Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) • termin beregnes…

18. 50.000·5 100 Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) • termin beregnes… • Rente: = 2.500

19. 50.000·5 100 Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) • termin beregnes… • Rente: = 2.500 • Afdrag: 8.000 – 2.500 • = 5.500

20. 50.000·5 100 Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) • termin beregnes… • Rente: = 2.500 • Afdrag: 8.000 – 2.500 • = 5.500 • Restgæld: 50.000 – 5.500 • = 44.500

21. Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) 2. termin beregnes…

22. 44.500·5 100 Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) 2. termin beregnes… Rente: = 2.225

23. 44.500·5 100 Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) 2. termin beregnes… Rente: = 2.225 Afdrag: 8.000 – 2.225 = 5.775

24. 44.500·5 100 Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) 2. termin beregnes… Rente: = 2.225 Afdrag: 8.000 – 2.225 = 5.775 Restgæld: 44.500 – 5.775 = 38.725

25. Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) … osv. for hver af de følgende terminer, indtil restgælden er 0 kr

26. Afbetalingsformlen Lad os se på et eksempel: Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr) Rentefoden pr. termin = 5 % Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin) Af tabellen til højre kan vi se, at lånet er tilbage-betalt efter 8 terminer.

27. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Lad os se nu opstille formlen for afbetaling af et lån, også kaldet Gryn-formlen: - hvor: G = Gælden/hovedstolen (det lånte beløb) r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal y = ydelsen, dvs. det beløb, der betales pr. termin n = antallet af terminer

28. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Bemærk, at rentefoden normalt opgives i procent, men at man i formlen skal bruge den som decimaltal. Altså… 5 % skrives som 0,05 12,5 % skrives som 0,125 og 0,75 % skrives som 0,0075 Lad os se nu opstille formlen for afbetaling af et lån, også kaldet Gryn-formlen: - hvor: G = Gælden/hovedstolen (det lånte beløb) r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal y = ydelsen, dvs. det beløb, der betales pr. termin n = antallet af terminer

29. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Bemærk også, at der tale om rentefoden pr. termin og ikke nødvendigvis pr. år. Er rentefoden pr. år = 12 % og betales ydelsen pr. måned, er rentefoden pr. termin = 1 %, og er rentefoden pr. år = 8 % og betales ydelsen pr. kvartal, er rentefoden pr. termin = 2 %, Lad os se nu opstille formlen for afbetaling af et lån, også kaldet Gryn-formlen: - hvor: G = Gælden/hovedstolen (det lånte beløb) r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal y = ydelsen, dvs. det beløb, der betales pr. termin n = antallet af terminer

30. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling: 1. Vi skal beregne G – dvs. at vi skal finde hovedstolen (det beløb, der oprindelig blev lånt). Vi kender vores ydelse (y), rentesatsen (r) og tiden vi bruger på tilbagebetalingen (n). Hvis jeg har råd til at betale 800 kr/måned (y) i 40 måneder (n), og banken vil have 1 % i rente pr. måned (r) – hvor stort et beløb kan jeg da låne?

31. 1 – (1 + r)–n G = y· r Afbetalingsformlen Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling: 2. Vi skal beregne y – dvs. at vi skal finde ydelsen. Vi kender det lånte beløb (G), rentesatsen (r) og tiden vi skal bruge på tilbagebetalingen (n). Hvis jeg har låner 180.000 kr (G) i 64 måneder (n), og banken vil have 0,75 % i rente pr. måned (r) – hvor meget skal jeg da betale i ydelse pr. måned?

32. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling: 3. Vi skal beregne r – dvs. at vi skal finde den rentefod, vi betaler. Vi kender hovedstolen (G), ydelsen (y) og tiden vi bruger på tilbagebetalingen (n). Hvis jeg har lånt 85.000 kr (G) og kan tilbagebetale lånet over 30 måneder (n) med en ydelse på 3.500 kr pr. måned (y), hvilken rentesats betaler jeg da?

33. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling: 4. Vi skal beregne n – dvs. den tid, vi bruger på tilbage-betalingen af lånet. Vi kender hovedstolen (G), vores ydelse (y) samt rentesatsen (r). Hvis jeg har lånt 120.000 kr (G) til 0,5 % pr. måned (r) og betaler en ydelse på 2.400 kr. pr. måned (y), hvor mange måneder går der da, inden jeg har betalt lånet tilbage?

34. Afbetalingsformlen Eksempler Beregning af G

35. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 1: Ibrahim har optaget et lån i en bank, og betaler hvert kvartal i 10 år en ydelse på 5.500 kr. Hvad var lånets hovedstol, når bankens kvartalsrente er 4 %?

36. 1 – (1 + 0,04)–40 G = 5.500· 0,04 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 1: Ibrahim har optaget et lån i en bank, og betaler hvert kvartal i 10 år en ydelse på 5.500 kr. Hvad var lånets hovedstol, når bankens kvartalsrente er 4 %? y = 5.500 kr r = 4 % pr. kvartal n = 10·4 = 40 kvartaler

37. 1 – (1 + 0,04)–40 G = 5.500· 0,04 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 1: Ibrahim har optaget et lån i en bank, og betaler hvert kvartal i 10 år en ydelse på 5.500 kr. Hvad var lånets hovedstol, når bankens kvartalsrente er 4 %? y = 5.500 kr r = 4 % pr. kvartal n = 10·4 = 40 kvartaler På lommeregneren tastes: 5500·(1–(1+0,04) –40)/0,04

38. 1 – (1 + 0,04)–40 G = 5.500· 0,04 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 1: Ibrahim har optaget et lån i en bank, og betaler hvert kvartal i 10 år en ydelse på 5.500 kr. Hvad var lånets hovedstol, når bankens kvartalsrente er 4 %? y = 5.500 kr r = 4 % pr. kvartal n = 10·4 = 40 kvartaler På lommeregneren tastes: 5500·(1–(1+0,04) –40)/0,04 Bemærk parenteserne! De skal med, når du taster ind på lommeregneren!

39. 1 – (1 + 0,04)–40 G = 5.500· 0,04 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 1: Ibrahim har optaget et lån i en bank, og betaler hvert kvartal i 10 år en ydelse på 5.500 kr. Hvad var lånets hovedstol, når bankens kvartalsrente er 4 %? y = 5.500 kr r = 4 % pr. kvartal n = 10·4 = 40 kvartaler På lommeregneren tastes: 5500·(1–(1+0,04) –40)/0,04 G = 108.860,26

40. 1 – (1 + 0,04)–40 G = 5.500· 0,04 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 1: Ibrahim har optaget et lån i en bank, og betaler hvert kvartal i 10 år en ydelse på 5.500 kr. Hvad var lånets hovedstol, når bankens kvartalsrente er 4 %? y = 5.500 kr r = 4 % pr. kvartal n = 10·4 = 40 kvartaler På lommeregneren tastes: 5500·(1–(1+0,04) –40)/0,04 G = 108.860,26 Lånets hovedstol var på 108.860 kr. (Ibrahim lånte 108.860 kr.)

41. 1 – (1 + 0,01)–60 G = 1.250· 0,01 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Eksempel 2: Jens betaler 1.250 kr. af hver måned i 5 år på et lån, hvor renten er 1 % pr. måned. Hvor mange penge havde Jens oprindelig lånt? y = 1.250 kr r = 1 % pr. måned n = 5·12 = 60 måneder På lommeregneren tastes: 1250·(1–(1+0,01) –60)/0,01 G = 56.193,80 Jens havde lånt 56.194 kr.

42. Afbetalingsformlen Eksempler Beregning af y

43. 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Vi skal nu ændre formlen, idet y skal isoleres (stå alene)

44. G·r = y·(1 – (1 + r)–n) 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Vi skal nu ændre formlen, idet y skal isoleres (stå alene) Dette gøres ved at gange med ”r” på begge sider, altså…

45. G·r = y·(1 – (1 + r)–n) G·r = y (1 – (1 + r)–n) 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Vi skal nu ændre formlen, idet y skal isoleres (stå alene) Dette gøres ved at gange med ”r” på begge sider, altså… Dernæst divideres med parentesen på begge sider…

46. G·r = y·(1 – (1 + r)–n) G·r = y (1 – (1 + r)–n) G·r y = 1 – (1 + r)–n 1 – (1 + r)–n G = y · r Afbetalingsformlen Vi skal nu ændre formlen, idet y skal isoleres (stå alene) Dette gøres ved at gange med ”r” på begge sider, altså… Dernæst divideres med parentesen på begge sider… - hvilket giver følgende formel til at finde ydelsen…

47. G·r y = 1 – (1 + r)–n Afbetalingsformlen Eksempel 1: Kris optager et lån på 50.000 kr. i en bank, og skal tilbagebetale det over 20 måneder med et fast beløb pr. måned. Hvor stor en ydelse betaler han, når renten er 0,6 % pr. måned?

48. 50.000·0,006 y = 1 – (1 + 0,006)–20 G·r y = 1 – (1 + r)–n Afbetalingsformlen Eksempel 1: Kris optager et lån på 50.000 kr. i en bank, og skal tilbagebetale det over 20 måneder med et fast beløb pr. måned. Hvor stor en ydelse betaler han, når renten er 0,6 % pr. måned? G = 50.000 kr r = 0,6 % pr. måned n = 20 måneder

49. 50.000·0,006 y = 1 – (1 + 0,006)–20 G·r y = 1 – (1 + r)–n Afbetalingsformlen Eksempel 1: Kris optager et lån på 50.000 kr. i en bank, og skal tilbagebetale det over 20 måneder med et fast beløb pr. måned. Hvor stor en ydelse betaler han, når renten er 0,6 % pr. måned? G = 50.000 kr r = 0,6 % pr. måned n = 20 måneder På lommeregneren tastes: 50000·0,006/(1–(1+0,006) –20)

50. 50.000·0,006 y = 1 – (1 + 0,006)–20 G·r y = 1 – (1 + r)–n Afbetalingsformlen Eksempel 1: Kris optager et lån på 50.000 kr. i en bank, og skal tilbagebetale det over 20 måneder med et fast beløb pr. måned. Hvor stor en ydelse betaler han, når renten er 0,6 % pr. måned? G = 50.000 kr r = 0,6 % pr. måned n = 20 måneder På lommeregneren tastes: 50000·0,006/(1–(1+0,006) –20) Bemærk parenteserne! De skal med, når du taster ind på lommeregneren!