Dělitelnost přirozených čísel

1. Dělitelnost přirozených čísel Rozklad na prvočinitele

2. Úvodní opakování Druhy čísel podle počtu možných dělitelů: Prvočíslo je číslo, které má právě dva různé dělitele (číslo jedna a samo sebe). Složené číslo je číslo, které má víc než dva různé dělitele. Číslo 1 není ani prvočíslo ani číslo složené, neboť má jediného dělitele, samo sebe.

3. Rozklad čísla na prvočinitele. Co znamená pojem prvočinitel? Je to slovo, které vzniklo spojením dvou matematických pojmů: Prvočinitel Prvočíslo Činitel Označení pro člen početní operace násobení. Jak jsme si zopakovali před malou chvílí: Prvočíslo je číslo, které má právě dva různé dělitele (číslo jedna a samo sebe). 4 . 5 = 20 činitel součin činitel

4. Rozklad čísla na prvočinitele. Co je tedy myšleno rozkladem na prvočinitele? Jak lze vyvodit z předcházejícího snímku, je to rozklad čísla na součin prvočísel. Každé složené číslo lze totiž jediným způsobem napsat jako součin několika prvočísel! Naším úkolem tedy je naučit se rozkládat složená čísla na prvočinitele (součin prvočísel). Vraťme se k příkladu použitému na předchozím snímku. Jde v něm o rozklad složeného čísla na prvočinitele? 4 . 5 = 20 Ne! Proč? činitel součin Činitel 4 není prvočíslo! činitel

5. Rozklad čísla na prvočinitele. Rozložme tedy číslo 20 na prvočinitele (součin prvočísel). Většinou existuje více možností, jak postupovat. V našem případě například následující dvě: 1.) 20 = 2 . 10 = 2 . 2 . 5 2.) 20 = 4 . 5 = 2 . 2 . 5 2 . 5 2 . 2 Rozložte podobně na prvočinitele čísla 180 a 630. 180 = 2 . 90 = 2 . 2 . 45 = 2 . 2 . 3 . 15 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 2 . 45 3 . 15 3 . 5 630 = 3 . 210 = 3 . 3 . 70 = 3 . 3 . 7 . 10 = 3 . 3 . 7 . 2 . 5 3 . 70 7 . 10 2 . 5 Který výsledek se vám zdá být přehlednější a „hezčí“? První, v němž jsou prvočísla uspořádána přehledně od nejmenšího k největšímu, nebo druhý, kde jsou „halabala“?

6. Rozklad čísla na prvočinitele. Naučíme se postup, při kterém budeme čísla zapisovat do dvou sloupečků. Do pravého prvočísla, na která budeme rozkládat a zároveň s nimi dělit, do levého výsledek dělení. Postupovat budeme tak dlouho, dokud v levém sloupci nezůstane číslo 1. Př.: Rozložte na prvočinitele číslo 180. Při volbě prvočísla, kterým budeme dělit, vycházíme postupně od nejmenšího a využíváme znalostí znaků dělitelnosti pro určení, zda s ním dané číslo dělit půjde či nikoli. 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5

7. Tak ještě jednou a pomalu. Př.: Rozložte na prvočinitele číslo 420. 420 2 První prvočíslo je číslo 2. Je číslo 35 dělitelné dvěma? Ne, nekončí sudou číslicí. Druhým prvočíslem je číslo 3. Je tedy číslo 35 dělitelné číslem 3? Ne, ciferný součet není dělitelný číslem 3. Dalším prvočíslem v pořadí je tedy číslo 5. Je číslo 35 dělitelné číslem 5? Ano, končí číslicí 5. Budeme tedy dělit číslem 5. První prvočíslo je číslo 2. Je číslo 7 dělitelné dvěma? Ne, nekončí sudou číslicí. Druhým prvočíslem je číslo 3. Je tedy číslo 7 dělitelné číslem 3? Ne, ciferný součet není dělitelný číslem 3. Dalším prvočíslem v pořadí je tedy číslo 5. Je číslo 7 dělitelné číslem 5? Ne, nekončí číslicí 0 ani 5. Dalším prvočíslem je číslo 7. Je číslo 7 dělitelné číslem 7? Ano, budeme tedy dělit číslem 7. 210 2 105 3 První prvočíslo je číslo 2. Je číslo 105 dělitelné dvěma? Ne, nekončí sudou číslicí. Druhým prvočíslem je číslo 3. Je tedy číslo 105 dělitelné číslem 3? Ano, ciferný součet je dělitelný číslem 3. Budeme tedy dělit číslem 3. První prvočíslo je číslo 2. Je číslo 420 dělitelné dvěma? Ano, končí sudou číslicí. Budeme tedy dělit číslem 2. 35 5 První prvočíslo je číslo 2. Je číslo 210 dělitelné dvěma? Ano, končí sudou číslicí. Budeme tedy opět dělit číslem 2. A jsme na konci našeho snažení. V pravém sloupci máme prvočinitele čísla 420. 7 7 1 420 = 2 . 2 . 3 . 5 . 7

8. A nyní něco na procvičení - poprvé. Rozložte na prvočinitele čísla 144, 240, 300. 144 2 144 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 72 2 36 2 18 2 240 2 9 3 120 2 3 3 60 2 1 30 2 15 3 5 5 240 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 1

9. A nyní něco na procvičení - podruhé. Rozložte na prvočinitele čísla 300, 630. 300 2 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 150 2 75 3 25 5 5 5 630 2 1 315 3 105 3 35 5 7 7 1 630 = 2 . 3 . 3 . 5 . 7

10. A nyní něco na procvičení - potřetí. Které z čísel 60, 96, 200 lze rozložit na největší počet prvočinitelů? 60 2 96 2 200 2 30 2 48 2 100 2 15 3 24 2 50 2 5 5 12 2 25 5 1 6 2 5 5 3 3 1 1 60 = 2 . 2 . 3 . 5 4 200 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 5 96 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 6

11. A na konec už úplně sami! Rozložte na součin prvočísel složená čísla: 282, 405, 822, 592, 112, 612.