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§ 4. 1 - § 4.3

《 近世代数 》 精品课程. 第四章 整环里的因子分解. § 4. 1 - § 4.3. 目的与要求 : ◆ 掌握整除 , 单位 , 相伴元 , 平凡因子 , 真因子 , 素元 , 唯一分解的概念及性质 . ◆ 掌握唯一分解环的概念及等价定义 , 了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性 . ◆ 掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与唯一分解环的关系. 单位. 整除. 《 近世代数 》 精品课程. §4.1 素元 唯一分解. 定义 4.1.1 整环 I 中的可逆元 ε 称 I 的一个单位. 注 :.

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  1. 《近世代数》精品课程 第四章 整环里的因子分解 § 4.1- § 4.3 目的与要求: ◆掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元,唯一分解的概念及性质. ◆掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性. ◆掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与唯一分解环的关系.

  2. 单位 整除 《近世代数》精品课程 §4.1 素元 唯一分解 定义4.1.1整环I中的可逆元ε称I的一个单位. 注: 单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定是一个单位，而单位未必是单位元. 定义4.1.2称整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如 在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被 b整除，我们 说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a 来表示.

  3. 相伴元 《近世代数》精品课程 定义4.1.3元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一个单位. 平凡因子；真因子 定义4.1.4单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子. 素元 定义4.1.5整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不 是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.

  4. 定 理4.1.1两个单位 和 的乘积 是一个单位， 单位 的逆 也是一个单位. 定 理4.1.2 证明(1) (2) (3) 《近世代数》精品课程

  5. 证明 ,矛盾. 故a有真因子. 《近世代数》精品课程 定 理4.1.3整环中一个不等于零的元a有真因子的充 分而且必要条件是：a=bc，b和c都不是单位元. 推论 假定a≠0，并且a有真因子b，a=bc，那么c也是a 的真因子.

  6. 定义4.1.6我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，假如以下条件能被满足：定义4.1.6我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，假如以下条件能被满足： （i） ( 是I的素元); （ii）若同时 ( 是I的素元); 那么 ,且可把 的次序掉换 （ 是I的单位）. 《近世代数》精品课程 唯一分解

  7. (iii) 证明(i) (ii) 《近世代数》精品课程 例 是整环， 是4在此环中两种不同的分解.

  8. 例　 是一个UFD, 不是一个UFD． 《近世代数》精品课程 §4.2 唯一分解环 唯一分解环 定义4.2.1一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD)，如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解．

  9. 证明　当 定理4.2.1　假定I是一个UFD， 是I中的素元，则对任意 有： ． 中有一个是零或是单位时，定理显真. 皆非零元，也非单位. 于是 .又令 于是 由分解唯一性知 ；如 如 推论　在一个UFD中, 若素元 ，则 必整除某一个 ． 《近世代数》精品课程

  10. 定理4.2.3假定I是唯一分解环, 定理4.2.2　若整环I满足： (1) (2) 若 那么I一定是唯一分解环. 定义4.2.2 定义4.2.3 (1)在I中, (2) 《近世代数》精品课程

  11. 证明　设 例 1 另一方面，若 则 《近世代数》精品课程 §4.3 主理想环 定义4.3.1　如果整环I中的每一个理想都是主理想， 则称I是一个主理想环，记为PID.

  12. 例 2 证明：设 另一方面，若 故 《近世代数》精品课程

  13. 引理4.3.1 设是一个PID, 则I中的每一个真因子序列一定 是有限序列. 即若序列 中每一个元素都是前面一个 元的真因子，则该列一定是有限序列. 引理4.3.2设 注：定理的逆不成立. 例如 是一个PID, 则I是UFD. 定理4.3.1设 是一个PID, 《近世代数》精品课程

  14. 《近世代数》精品课程 § 4.4- § 4.6 目的与要求: ◆掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系 ◆掌握本原多项式的定义与性质,以及多项式的可约性判断. ◆掌握多项式的根,重根,导数；重根的判别定理.

  15. 定义4.4.1设I是整环，若 存在映射 例1整环 证明令 其中 则 故 《近世代数》精品课程 §4.4 欧氏环

  16. 定理4.4.2 引理4.4.1假定 定理4.4.1任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一 定是一个唯一分解环. 的最高系数 注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D未必是欧氏环. 如复数域的子环 是一个P.I.D但不是欧氏环. 其中 《近世代数》精品课程

  17. 例3Gauss整数环 证明易证 是整环. 令 ， 则 设 则存在 使得 令 则 若 因此 《近世代数》精品课程 例2数域F上的多项式环

  18. 定理4.4.3域F上的一元多项式环 证明显然 则 由引理4.4.1可知， 其中 即 《近世代数》精品课程

  19. 《近世代数》精品课程 附注几种常见的整环之间的关系图： 例①可取 整环① 例②可取 UFD② 例③可取 PID③ 例④可取或数域F 上的一元多项式环； ED④ 例⑤可取有理数域、实 数域、复数域等． 域⑤

  20. 设 ， 上的一元多项式环，则有如下简单事实： (1) (2) (3)若本原多项式 (4) (5) 《近世代数》精品课程 §4.5 多项式环的因子分解

  21. 唯一分解. 引理4.5.1 引理4.5.2假设 引理4.5.3 定理4.5.2若 定理4.5.1若 (1) 必要条件是 (2) 多项式，则 《近世代数》精品课程

  22. 定义4.6.1设 定理4.6.1假定 定理4.6.2 推论 的充分必要条件是 《近世代数》精品课程 §4.6 因子分解与多项式的根

  23. 定理4.6.3 定义4.6.2 推论 《近世代数》精品课程

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